1-习题课复变函数与积分变换(精品).ppt

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1、1一、重点与难点一、重点与难点重点：重点：难点：难点：1.复数运算和各种表示法复数运算和各种表示法2.复变函数以及映射的概念复变函数以及映射的概念1.复数方程表示曲线以及不等式表示区域复数方程表示曲线以及不等式表示区域2.映射的概念映射的概念2二、内容提要二、内容提要复数复数复变函数复变函数极限极限连续性连续性代代数数运运算算乘乘幂幂与与方方根根复复数数表表示示法法几何表示法几何表示法 向量表示向量表示法法三角及指数表示法三角及指数表示法复复球球面面复复平平面面扩扩充充曲线曲线与区域与区域判别判别定理定理极限极限的计算的计算3 1.1.复数的概念复数的概念41)两复数的和两复数的和2)两复数的

2、积两复数的积 3)两复数的商两复数的商 2.复数的代数运算复数的代数运算54)共轭复数共轭复数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数个复数称为共轭复数.共轭复数的性质共轭复数的性质6 3.3.复数的其它表示法复数的其它表示法（1 1）几何表示法）几何表示法7（2 2）向量表示法）向量表示法复数的模复数的模(或绝对值或绝对值)8 模的性质模的性质三角不等式三角不等式复数的辐角复数的辐角9辐角的主值辐角的主值10（3）三角表示法）三角表示法利用欧拉公式利用欧拉公式复数可以表示成复数可以表示成称为复数称为复数 z 的指数表示式的指数表示式.（4）

3、指数表示法）指数表示法利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成复数可以表示成11 4.复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根 1)乘积与商乘积与商 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.则有则有12 几何意义几何意义复数相乘就是把模相乘复数相乘就是把模相乘,辐角相加辐角相加.从几何上看从几何上看,两复数对应的向量分别为两复数对应的向量分别为13 两个复数的商的模等于它们的模的商两个复数的商的模等于它们的模的商;两个两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差复数的商的辐

4、角等于被除数与除数的辐角之差.则有则有14 2)幂与根幂与根(a)n次幂次幂:15 (b)b)棣莫佛公式棣莫佛公式16 5.复球面与扩充复平面复球面与扩充复平面南极、北极的定义南极、北极的定义(1)复球面复球面17 球面上的点球面上的点,除去北极除去北极 N 外外,与复平面内与复平面内的点之间存在着一一对应的关系的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用我们可以用球面上的点来表示复数球面上的点来表示复数.我们规定我们规定:复数中有一个唯一的复数中有一个唯一的“无穷大无穷大”与与复平面上的无穷远点相对应复平面上的无穷远点相对应,记作记作.因而球面因而球面上的北极上的北极 N 就是复数无穷大的几何表

5、示就是复数无穷大的几何表示.球面上的每一个点都有唯一的复数与之对球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应应,这样的球面称为这样的球面称为复球面复球面.复球面的定义复球面的定义18包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面或简称复平面.对于复数对于复数来说来说,实部实部,虚部虚部,辐角等概念均无辐角等概念均无意义意义,它的模规定为正无穷大它的模规定为正无穷大.(2)(2)扩充复平面的定义扩充复平面的定义19 6.曲线与区域曲线与区域（1 1）邻域）邻域（2 2）内点）内

6、点20 如果如果 G 内每一点都是它的内点内每一点都是它的内点,那末那末G 称为称为开集开集.(4)(4)区域区域 如果平面点集如果平面点集D满足以下两个条件满足以下两个条件,则称它则称它为一个区域为一个区域.(a)D是一个是一个开集开集；(b)D是是连通的连通的,即即D中任何两点都可以用完全中任何两点都可以用完全属于属于D的一条折线连结起来的一条折线连结起来.(3)(3)开集开集21(5)(5)边界点、边界边界点、边界 设设D是复平面内的一个区域是复平面内的一个区域,如果点如果点P P 不属不属于于D,但在但在P P 的任意小的邻域内总有的任意小的邻域内总有D中的点中的点,这样的这样的P P

7、点我们称为点我们称为D的的边界点边界点.(7)(7)有界区域和无界区域有界区域和无界区域D的所有边界点组成的所有边界点组成D的的边界边界.(6)区域区域D与它的边界一起构成闭区域与它的边界一起构成闭区域.闭区域闭区域 22 没有重点的曲线没有重点的曲线 C 称为简单曲线称为简单曲线(或若尔或若尔当曲线当曲线).).(8)(8)简单曲线简单曲线23(9)(9)光滑曲线光滑曲线 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线称为按段光滑曲线.任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成将复平面唯一地分成三个互不相交的点集三个互不相交的点集.简单

8、闭曲线的性质简单闭曲线的性质24(10)(10)单连通域与多连通域单连通域与多连通域 复平面上的一个区域复平面上的一个区域B,如果在其中任作一如果在其中任作一条简单闭曲线条简单闭曲线,而曲线的内部总属于而曲线的内部总属于B,就称为就称为单连通域单连通域.一个区域如果不是单连通域一个区域如果不是单连通域,就称就称为多连通域为多连通域.从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕的域的域.25 7.复变函数的概念复变函数的概念(1)(1)复变函数的定义复变函数的定义26(2)(2)映射的定义映射的定义27函数极限的定义函数极限的定义注意注意:8.8.复变函数的极限复变函

9、数的极限28 极限计算的定理极限计算的定理29与实变函数的极限运算法则类似与实变函数的极限运算法则类似.极限运算法则极限运算法则30（1 1）连续的定义）连续的定义 9.9.复变函数的连续性复变函数的连续性31 连续的充要条件连续的充要条件连续的性质连续的性质32有理整函数有理整函数(多项式多项式)有理分式函数有理分式函数 特殊的特殊的:在复平面内使分母不为零的点也是连续的在复平面内使分母不为零的点也是连续的.33三、典型例题三、典型例题3435 其几何意义是三角形任意一边的长不小于其几何意义是三角形任意一边的长不小于其它两边边长之差的绝对值其它两边边长之差的绝对值.3637解解38解解39解

10、解40例例6 6 满足下列条件的点组成何种图形满足下列条件的点组成何种图形?是不是区是不是区域域?若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域.解解 是实数轴是实数轴,不是区域不是区域.是以是以 为界的带形单连通区为界的带形单连通区 域域.解解41 是以是以 为焦点为焦点,以以3为半为半长轴的椭圆闭区域长轴的椭圆闭区域,它不是区它不是区域域.不是区域，因为图中不是区域，因为图中解解解解在圆环内的点不是内点在圆环内的点不是内点.42例例7 7 函数函数 将将 平面上的下列曲线变成平面上的下列曲线变成 平平面上的什么曲线？面上的什么曲线？解解又又于是于是表示表示 平面上的圆平面上的圆.(1)43解解表示表示 平面上以平面上以 为圆心，为圆心，为半径的圆为半径的圆.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.44