D8_2偏导数与全微分-2(精品).ppt

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1、第二节机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、偏导数概念及其运算偏导数概念及其运算二二、全微分概念、全微分概念 偏导数和全微分 第八章 三三、可微、偏导数、连续的关系、可微、偏导数、连续的关系 四四、全微分运算及近似计算、全微分运算及近似计算 一、一、偏导数定义及其计算法偏导数定义及其计算法引例引例:研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度,就是中的 x 固定于求一阶导数与二阶导数.x0 处,关于 t 的机动 目录 上页 下页 返回 结束 将振幅1.多元函数偏导数的概念多元函数偏导数的概念定义定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数机动 目录 上页 下页 返回 结

2、束 注意注意:同样可定义对 y 的偏导数若函数 z=f(x,y)在域 D 内每一点(x,y)处对 x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数偏导数,记为机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 y 偏导数存在,例如例如,三元函数 u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对 x 的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数定义为(请自己写出)2.二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线机动 目录 上页 下页 返回 结束 对 y 轴的例例1.求解法解法1:解法解法2:在点(1,2)

3、处的偏导数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.函数偏导数的计算举例函数偏导数的计算举例例例2.设证证:例例3.求的偏导数.解解:求证机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数记号是一个例例4.已知理想气体的状态方程求证:(P81例3.4).证证:说明说明:(R 为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,机动 目录 上页 下页 返回 结束 整体记号,机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、全微分的概念二、全微分的概念 1.一元微分概念的推广一元微分概念的推广一元函数 y=f(x)的微分猜想猜想二元函数 z=f(x,y)的微分定义定义:如果函数 z=f (x,y)在定义域 D 的内点(x,

4、y)可表示成其中 A,B 不依赖于 x,y,仅与 x,y 有关，称为函数在点(x,y)的全微分全微分,记作若函数在域 D 内各点都可微,则称函数 f(x,y)在点(x,y)可微可微，机动 目录 上页 下页 返回 结束 处全增量则称此函数在在D 内可微内可微.2.定义定义在上节已证 f(x,y)在点(0,0)并不连续!机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、全微分、偏导数、连续的关系三、全微分、偏导数、连续的关系1.偏导数、连续的关系偏导数、连续的关系函数 z=f(x,y)在点(x,y)偏导数存在函数在该点连续反例反例1 1(P81(P81例例3.3)3.3)由定义且反例反例2 2(P89 (P

5、89 Ex5)Ex5)所以 在(0,0)点连续；但是不存在，即不存在，同理不存在。上节例 目录 上页 下页 返回 结束 2.可微、偏导数的关系可微、偏导数的关系下面定理给出了可微的必要条件:函数可微偏导数存在 定理定理1 1(可微的必要条件)若函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微可微,则该函数在该点偏导数必存在,且有证证:由全增量公式得到对 x 的偏增量同样可证因此有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数可微偏导数存在 反例反例3 3(P84,(P84,例例3.5)3.5)(1)用定义可证 在点(0,0)偏导数存在,且(2)用定义可证函数在点(0,0)不可微.因此,函数在点(0,0)不

6、可微.机动 目录 上页 下页 返回 结束 推广推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三元函数由微分的定义，把自变量的增量用微分表示,记作故有下述叠加原理称为偏微分偏微分.的全微分为于是机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微由微分定义:函数在该点连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.可微、连续的关系可微、连续的关系证明证明即 在点 连续。由由反例反例2 2给出函数在一点连续，在该点偏导数不给出函数在一点连续，在该点偏导数不存在的例子，此函数在该点必不可微。存在的例子，此函数在该点必不可微。机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数在该点可

7、微 3.偏导数连续、可微的关系偏导数连续、可微的关系函数 z=f(x,y)在点(x,y)偏导数连续定理定理2(可微的充分条件)若函数的偏导数则函数在该点可微.证证：其中注意到,故有所以函数在点可微.机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数 z=f(x,y)在点(x,y)偏导数连续函数在该点可微 反例反例4 4(P86,(P86,例例3.7)3.7)(1)函数 在(0,0)点连续；(2)函数 在(0,0)点偏导数存在;且(3)函数 在(0,0)点可微；证略(见P86)机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数 z=f(x,y)在点(x,y)偏导数连续函数在该点可微(4)函数 在(0,0)点偏导数不

8、连续偏导数连续偏导数连续函数可微函数可微反例反例4 4(P86,(P86,例例3.7)3.7)函数连续函数连续反例反例3 3(P84,(P84,例例3.5)3.5)函数偏导存在函数偏导存在反例反例2 2反例反例1 1(P81(P81例例3.3)3.3)反例反例2 2例例5.计算函数在点(2,1)处的全微分.解解:例例6.计算函数的全微分.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数在 上连续，偏导数在 上连续，二、全微分运算及近似计算二、全微分运算及近似计算1.全微分运算全微分运算可知当(1)近似计算近似计算由全微分定义较小时,及有近似等式:机动 目录 上页 下页 返回 结束(可用于近似计

9、算;误差分析)(可用于近似计算)*2、全微分近似计算、全微分近似计算半径由 20cm 增大解解:已知即受压后圆柱体体积减少了 例例7.有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm,则 高度由100cm 减少到 99cm,体积的近似改变量.机动 目录 上页 下页 返回 结束 求此圆柱体例例8.8.计算的近似值.解解:设,则取则机动 目录 上页 下页 返回 结束 分别表示 x,y,z 的绝对误差界,(2)误差估计误差估计利用令z 的绝对误差界约为z 的相对误差界约为机动 目录 上页 下页 返回 结束 则设精确值为x,近似值为x0,若 ,则称为x的绝对误差界；称 为x的相当误差界。类似可以推广到三元

10、及三元以上的情形.例例9.利用公式求计算面积时的绝对误差与相对误差.解：解：故绝对误差约为又所以 S 的相对误差约为计算三角形面积.现测得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1010.在直流电路中,测得电压 U=24 伏,解解:由欧姆定律可知(欧)所以 R 的相对误差约为0.3 +0.5 R 的绝对误差约为0.8 0.3;定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差.相对误差为 测得电流 I=6安,相对误差为 0.5 ,=0.032(欧)=0.8 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求用欧姆内容小结内容小结1.偏导数的概念及其几何意义2.偏导数的运算 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 求导法则3.微分的概念4.可微、偏导数、连续的关系5.微分运算6.微分近似计算与误差估计作业作业P88 A-1;2(1)(4);3(2)(4);6;8(2).B-1;3;5.第三节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 设方程确定 u 是 x,y 的函数,连续,且求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 解答提示:P89 题 7 即 xy0 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束