1_3微分方程的定解问题常微分方程简明教程(精品).ppt

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1、微分方程的定解问题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三节n 阶微分方程，若F满足一定基本条件则其解族是联系n 个独立任意常数的函数族，是平面上多参数的曲线族，即反之满足一定的光滑性条件则必存在一个n 阶微分方程以该函数族为自己的解族（求解运算）（微分运算）？n=1为例：为例：？函数族函数族视为带参数视为带参数C的隐函数，并设的隐函数，并设 y=y(x)则得则得等式两端求导得等式两端求导得消去参数消去参数C可得可得之间的关系式之间的关系式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.4 已知平面上的单参数椭圆族已知平面上的单参数椭圆族，求它所满足的微分方程。，求它所满足的微分方程。解：解：把

2、把视为视为y(x)的隐函数，两边求导得的隐函数，两边求导得与原等式联立消去与原等式联立消去C得得即为所求微分方程。即为所求微分方程。例例已知平面上的单参数椭圆族已知平面上的单参数椭圆族，求它所满足的微分方程。，求它所满足的微分方程。机动 目录 上页 下页 返回 结束 若函数族包含两个独立参数若函数族包含两个独立参数等式两端求一阶、二阶导数后联立得等式两端求一阶、二阶导数后联立得消去参数消去参数C1，C2可得可得之间的关系式之间的关系式机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 微分方程的定解问题微分方程的定解问题为了在微分方程的解族中找出所需特解，必须在微分方程之外

3、另加条为了在微分方程的解族中找出所需特解，必须在微分方程之外另加条件，这种条件就称为件，这种条件就称为定解条件。定解条件。微分方程加上定解条件所提出的求解微分方程加上定解条件所提出的求解问题，称为问题，称为微分方程的定解问题微分方程的定解问题定解条件个数与微分方程阶数或通解中独立任意常数的个数对应。定解条件个数与微分方程阶数或通解中独立任意常数的个数对应。例例1.5 求下列定解问题的解求下列定解问题的解解解 易知方程的通解为易知方程的通解为把定解条件代入后得把定解条件代入后得于是定解问题的解为于是定解问题的解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 两种重要定解问题两种重要定解问题1.微分方程的定

4、解条件是在某一定点微分方程的定解条件是在某一定点x0上给出未知函数及其一阶、二阶直至上给出未知函数及其一阶、二阶直至n-1 阶导数的值，这种定解问题称为阶导数的值，这种定解问题称为初值问题，或称初值问题，或称Cauchy问题。问题。2.微分方程的定解条件是在闭区间微分方程的定解条件是在闭区间a,b的端点上给出未知函数及其各的端点上给出未知函数及其各 阶导阶导数的某种组合运算值，这种定解问题称为数的某种组合运算值，这种定解问题称为边值问题。边值问题。例例1.6 求解下列边值问题求解下列边值问题解解 易知方程的通解为易知方程的通解为于是于是代入条件后得代入条件后得C1=2，C2=1，于是解为，于是解为定解问题的适定性定解问题的适定性微分方程的定解问题，若存在解而且唯一，则称定解问题是微分方程的定解问题，若存在解而且唯一，则称定解问题是适定的，否则为适定的，否则为不适定的。不适定的。加上初值条件的微分方程定解问题是加上初值条件的微分方程定解问题是适定的，适定的，其它情况不一定。比如，其它情况不一定。比如，下面的定解问题是不适定的。下面的定解问题是不适定的。例，求解例，求解下面的定解问题下面的定解问题