轨迹与方程.ppt

《轨迹与方程.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《轨迹与方程.ppt（44页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程作为点的轨迹，作为点的轨迹，平面曲线平面曲线方程方程F(x,y)=0或或y=f(x)曲面曲面方程方程F(x,y,z)=0或或z=f(x,y)空间曲线空间曲线方程方程所谓一一对应：所谓一一对应：1。凡在轨迹上的点其坐标一定满足方程；。凡在轨迹上的点其坐标一定满足方程；2。坐标满足方程的点一定在轨迹上。坐标满足方程的点一定在轨迹上。（1）（2）（3）（1），（），（2），（），（3）分别称为平面曲线，曲面和空）分别称为平面曲线，曲面和空间曲线的一般方程。间曲线的一般方程。这样就能把讨论点的轨迹这一几何问题转化为研这样就能把讨论点的轨迹这一几何问题转化为研究方程的代

2、数问题。究方程的代数问题。在上述一般方程中，动点的轨迹是反映两个坐标在上述一般方程中，动点的轨迹是反映两个坐标x与与y之间的依赖关系。之间的依赖关系。曲线的轨迹也能表现为动点的位置随时间曲线的轨迹也能表现为动点的位置随时间t变化的规律变化的规律.记作：记作：或或（4）（5）（6）公式（公式（5）称为平面曲线的矢量式参数方程；公式（）称为平面曲线的矢量式参数方程；公式（6）称为空间曲线的矢量式参数方程。称为空间曲线的矢量式参数方程。在确定了坐标标架在确定了坐标标架O；e1,e2或或O;e1,e2,e3以后，有：以后，有：（7）或或为平面曲线和空间曲线的坐标式参数方程。为平面曲线和空间曲线的坐标式

3、参数方程。（8）分别称分别称在曲面的一般方程在曲面的一般方程F(x,y,z)=0中，有中，有x,y,z三个变量，三个变量，但三个变量之间只有一个约束。因此，在曲面的但三个变量之间只有一个约束。因此，在曲面的参数方程中应该有两个参数。参数方程中应该有两个参数。曲面的矢量式参数方程：曲面的矢量式参数方程：或或曲面的坐标式参数方程为：曲面的坐标式参数方程为：对于比较复杂的曲线或曲面，用参数方程表示，通常比用对于比较复杂的曲线或曲面，用参数方程表示，通常比用一般方程表示，形式要简单一些，有时还能更直观地反映一般方程表示，形式要简单一些，有时还能更直观地反映出动点的变化规律。出动点的变化规律。2 2。1

4、 1 平面曲线的方程平面曲线的方程例例1。已知直线。已知直线L通过定点通过定点M(a,b),并且它与非零矢量并且它与非零矢量v=X,Y共线，求直线共线，求直线L的方程。的方程。.M(a,b)Lv(X,Y)解：解：在直线上任取一点在直线上任取一点P(x,y),记记OP(x,y)（1）（2）消去参数消去参数t,得得L的的对称式方程：对称式方程：（3）或写成或写成L的的一般方程：一般方程：直线直线L的矢量式参的矢量式参数方程为：数方程为：直线直线L的坐标式的坐标式参数方程为：参数方程为：称对称式方程中的称对称式方程中的X，Y为为L的方向矢量。易知：的方向矢量。易知：一般方程中的糸数一般方程中的糸数B

5、，-A是是L的方向矢量。的方向矢量。那就是说，如果考察直线那就是说，如果考察直线L的一般方程：的一般方程：就是就是L的方向矢量，的方向矢量，如果给定两条直线：如果给定两条直线：那么，两直线平行，重合，相交的充要条件分别是：那么，两直线平行，重合，相交的充要条件分别是：如记：如记：两直线的夹角为：两直线的夹角为：就是垂直于就是垂直于L的直线的方向矢量，称为的直线的方向矢量，称为L的法矢量。的法矢量。注意两矢量夹角与两直线夹角之间的区别：注意两矢量夹角与两直线夹角之间的区别：例例2。一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上的一点。一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上的一点P的轨的轨迹。迹。yxOp

6、CAa解：解：取直角坐标糸，半径为取直角坐标糸，半径为a的的圆在圆在x轴轴上滚动，开始时上滚动，开始时P恰好在原恰好在原点点O，经过一定时间的滚动，经过一定时间的滚动，圆与直线的切点移到圆与直线的切点移到A，圆心圆心移到移到C。r=OP=OA+AC+CP因此，曲线的坐标式参数方程为：因此，曲线的坐标式参数方程为：该曲线称为摆线。该曲线称为摆线。这是曲线的矢量式参数方程。这是曲线的矢量式参数方程。P。74例例5内摆线和内摆线和P。77例例6渐伸线及渐伸线及P。81习题习题8外旋轮外旋轮线，习题线，习题9箕舌线轨迹方程的建立，都采用与上题相同箕舌线轨迹方程的建立，都采用与上题相同的思路：的思路：1

7、。建立各矢量间的关系；。建立各矢量间的关系；2。写出各矢量在直角坐标糸中的分矢量；。写出各矢量在直角坐标糸中的分矢量；3。写出曲线的矢量式参数方程和坐标式参数方程。写出曲线的矢量式参数方程和坐标式参数方程。关于曲线参数方程与一般方程的互换：关于曲线参数方程与一般方程的互换：2。在曲线的一般方程中，适当地选择参数。在曲线的一般方程中，适当地选择参数t,找找出出t与与x的的关关系系x=x(t)，然然后代入方程求出后代入方程求出y=y(t),得出曲线的参数方程。得出曲线的参数方程。3。因参数选择可以不同，化一般方程为参数方程，其。因参数选择可以不同，化一般方程为参数方程，其表示形式一般不是唯一的。表

8、示形式一般不是唯一的。例例1。将椭圆。将椭圆 的一般方程化为参数方程的一般方程化为参数方程代入原方程，解得：代入原方程，解得：1。在曲线的参数方程中，消去参数可得曲线的一般方程；。在曲线的参数方程中，消去参数可得曲线的一般方程；解解1：解解2：习题讲解习题讲解P。80 3。解：解：。yxP(x,y)F(-c,0)G(c,0)按题意，有方程：按题意，有方程：经整理，得：经整理，得：化简，得：化简，得：此方程表示的曲线称卡西尼卵形线。此方程表示的曲线称卡西尼卵形线。坐标轴选择如图所示，并设坐标轴选择如图所示，并设P（x,y)为曲线上的一个动点为曲线上的一个动点。由本题可见，正确地选择坐标，能使曲线

9、的轨迹方程得以简化。由本题可见，正确地选择坐标，能使曲线的轨迹方程得以简化。P。80 4。解：设等轴双曲线的参数方程为：解：设等轴双曲线的参数方程为：三角形三顶点三角形三顶点P(x1,y1)，Q(x2,y2),，R(x3,y3)都都在双曲线上，且其垂心为在双曲线上，且其垂心为H(x,y)，如图。如图。PQRH则有：则有：PH=x-x1,y-y1,RH=x-x3,y-y3,PQ=x2-x1,y2-y1,QR=x3-x2,y3-y2即：即：(x-x1)(x3-x2)+(y-y1)(y3-y2)=0,(x-x3)(x2-x1)+(y-y3)(y2-y1)=0因为因为这是一个二元一次线性方程组。可用二

10、阶行列式求这是一个二元一次线性方程组。可用二阶行列式求解，解之得：解，解之得：用用代入，得：代入，得：即垂心即垂心H在已知的等轴双曲线上。在已知的等轴双曲线上。因此有因此有作业：作业：P.80 2;6;7.（2）;8.(2),(3);10.2.2 2.2 曲面的方程曲面的方程以下给出几例常见的曲面以下给出几例常见的曲面.解解根据题意有根据题意有所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为因此球面方程是一个三元二次方程。因此球面方程是一个三元二次方程。反之，如给出三元二次方程：反之，如给出三元二次方程：（二次项糸数相等）；（二次项糸数相等）；（交叉项糸数为零）时，（交

11、叉项糸数为零）时，方程（方程（1）可通过配方得：）可通过配方得：当当当当且且（1）当当0时，表示球面；时，表示球面；=0时，是一个点（称点球）；时，是一个点（称点球）；0时，无实图形（称虚球面）时，无实图形（称虚球面）例例2：求中心在原点半径为：求中心在原点半径为R的球的参数方程的球的参数方程。xyzOMPQR解：解：其中参数其中参数因此，它的坐标因此，它的坐标式参数方程为式参数方程为根据题意有根据题意有化简得所求方程化简得所求方程解解例例4 求以求以z轴为对称轴，半径为轴为对称轴，半径为R的圆柱面的参数的圆柱面的参数方程方程zxyoPMrQ解：解：设设M是圆柱面上的一点，是圆柱面上的一点，M

12、在在xoy上的射影为上的射影为P，P在在x轴上的射影为轴上的射影为Q,ox至至op的夹角为的夹角为它的坐标式参数方程为它的坐标式参数方程为其中参数其中参数例例4 4 方程方程 的图形是怎样的？的图形是怎样的？根据题意有根据题意有图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底解解以上几例表明研究空间曲面有以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程作业作业P。881;2.(4);4.(3);5.2.3 母线平行于母线平行于坐标轴的柱面方程坐

13、标轴的柱面方程播放播放定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的柱面的准线准线，动直线动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.柱面举例柱面举例抛物柱面抛物柱面平面平面从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：（其他类推）（其他类推）实实 例例椭圆柱面椭圆柱面,母线母线/轴轴双曲柱面，母线双曲柱面，母线/轴轴抛物柱面，母线抛物柱面，母线 /轴轴思考题思考题 指出下列方程在平面解析几何中和空指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表

14、示什么图形？间解析几何中分别表示什么图形？思考题解答思考题解答平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中斜率为斜率为1的直线的直线方程方程口答：口答：P。90 习题习题2。4 空间曲线的方程空间曲线的方程空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程不能同时满足两个方程.空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点特点：例例1 1 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？解解表示圆柱面，表示圆柱面，表示平面，表示平面，交

15、线为椭圆交线为椭圆.例例2 2 方程组方程组 表示怎样的曲线表示怎样的曲线？解解上半球面上半球面,圆柱面圆柱面,交线如图交线如图.例例3 写出写出OZ轴的方程轴的方程OZ轴可以看成坐标面轴可以看成坐标面x=0和和y=0的的交线，因此，其方程交线，因此，其方程为：为：OZ轴也可以看成平面轴也可以看成平面x+y=0和和x-y=0的的交线交线,因此，其因此，其方程也可写为：方程也可写为：这说明空间曲线可以用不同形式的方程来表示。这说明空间曲线可以用不同形式的方程来表示。例例4 求在求在xoy坐标面上，半径等于坐标面上，半径等于R，圆圆心为原点的圆的方程心为原点的圆的方程解：解：半径为半径为R的球面和

16、平面的球面和平面z=0的交线的交线半径为半径为R的球面和半径为的球面和半径为R的圆柱面的交线的圆柱面的交线空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程 动点从动点从A点出发点出发，经过，经过t时间，运动到时间，运动到M点点 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t为参数，为参数，解解螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的重要螺旋线的重要性质性质：上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的角度成正比即即上升的高度上升的高度螺距螺距当曲线旋转一圈，即当曲线旋转一圈，即例例 已知维维尼安曲线的已知维维尼安曲线的一般方程一般方程yxooap求它的参数方程求它的参数方程解：解：设

17、设p(x,y)为维维尼安曲线上一为维维尼安曲线上一点点M(x,y,z)在在xoy面上的射影面上的射影,如图。如图。因为点因为点p(x,y)在圆柱面上，故有在圆柱面上，故有将它们代回球面方程，可解出将它们代回球面方程，可解出因此，维维尼安曲线的参数方程为因此，维维尼安曲线的参数方程为消去变量消去变量z后得：后得：曲线关于曲线关于 的的射影柱面射影柱面设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.射影柱面的射影柱面的特征特征：空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影称为称为如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的

18、研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影柱面和投影曲线柱面和投影曲线面上的面上的投影曲线投影曲线,面上的面上的投影曲线投影曲线,空间曲线在空间曲线在 面上的面上的投影曲线为投影曲线为空间曲线空间曲线也可表示成任意两个也可表示成任意两个投影柱面的交线：投影柱面的交线：或或或或例如，空间曲线例如，空间曲线分别消去分别消去y及及z，得得关于关于xoz和和xoy的射影柱面的射影柱面因此，该曲线也可表示成这两个射影柱面的交线：因此，该曲线也可表示成这两个射影柱面的交线：（圆柱面）圆柱面）（抛物柱面）（抛

19、物柱面）习题讲解习题讲解 P。962。口答：。口答：（1）圆，椭圆，椭圆；）圆，椭圆，椭圆；（2）椭圆，双曲线，双曲线；）椭圆，双曲线，双曲线；（3）双曲线，无，双曲线；）双曲线，无，双曲线；（4）点，抛物线，抛物线；）点，抛物线，抛物线；（5）两相交直线，抛物线，抛物线；）两相交直线，抛物线，抛物线；（6）点，两相交直线，两相交直线。）点，两相交直线，两相交直线。3。求空间曲线。求空间曲线对三个坐标面的射影柱面方程。对三个坐标面的射影柱面方程。解：解：消去消去z,得曲线关于得曲线关于xoy面的射影柱面方程：面的射影柱面方程：（圆柱面）圆柱面）消去消去x,得曲线关于得曲线关于yoz面的射影柱面

20、方程面的射影柱面方程：（圆柱面）（圆柱面）因为已知曲线在垂直于因为已知曲线在垂直于xoz坐标面的平面坐标面的平面z=x+1上，上，因此因此，z=x+1就就是曲线关于是曲线关于xoz的射影柱面。的射影柱面。8。zxyPoQMN坐标轴选取如图。坐标轴选取如图。设设P为圆柱面上的一点，直线运动的速度为为圆柱面上的一点，直线运动的速度为v，旋转运动的角旋转运动的角速度为速度为w由图可知：由图可知：OP=OQ+QP=OQ+QM+QNOQ=(vtcos )k,QN=(vtsin coswt)iQM=(vtsin sinwt)j所以，圆锥螺线的参数方程为：所以，圆锥螺线的参数方程为：9.解：解：取取 方向为方向为z轴方向轴方向,因此，因此，一方面在垂直一方面在垂直于于z轴的方向转动，另一方面又沿轴的方向转动，另一方面又沿z轴正向运轴正向运动动.设直线运动的速度为设直线运动的速度为v,旋旋转角速度为转角速度为w，并设时间并设时间t及直线及直线 上一点至坐标原点的距离上一点至坐标原点的距离u为为两个参数。两个参数。则有则有作业作业 P。961；3.(2),(4);4.(1);5;7.