绪言和误差.ppt

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1、计算物理2010.9第一章绪论.什么是计算物理.计算物理的产生和发展.计算物理的主要内容.与实验物理及理论物理的关系.学习该门课的主要方法什么叫计算物理?计算物理学是一门新兴的交叉学科，其是以计算机及计算机技术为工具，运用计算数学的方法，解决复杂物理问题的一门课程。计算物理学的产生和发展物理学在解决各种问题时，通常都会涉及到计 算，但是在实际中很多问题是无法严格求解的。原因是有的问题计算过于复杂，有的问题没有解析解。计算机的出现给物理问题的求解带来了方便，很多不能靠数学方法得到解析解的物理问题，可以利用电脑的数值计算得到近似解。经典力学中三体以上问题 三体问题：研究三个可视为质点的天体在相互之

2、间万有引力作用下的运动规律问题。计算物理学科形成的原始动力是二战时美国核武器的研制，它是和计算机的诞生息息相关且是并肩发展的。美国陆军部于1942年6月开始实施的利用核裂变反应来研制原子弹的计划，亦称曼哈顿计划。据查证,“计算物理”一词首次正式出现是在美国1963年出版的“计算物理方法”丛书。1959年美国解密曼哈顿计划，以“计算物理方法”丛书的名义陆续编辑出版。这套丛书从1963年到1977年共出版17卷，内容涉及到统计物理、量子力学、流体力学、核物理、天体物理、固体物理、等离子体物理、受控热核反应等方面的物理问题，介绍了有关的计算方法及研究成果，它反映了“计算物理”的概貌。所以计算物理发展

3、的原始动力是研制核武器的刺激。计算物理学主要包含以下内容：(1)解决实际问题中物理模型和数学模型的建立方法和数值计算方法的选取原则；(2)分析和处理一些物理问题的基本方法和解决问题的能力。简而言之，只要是能够用数值计算和模拟的方法解决的物理问题都是属于计算物理学的范畴。与实验物理及理论物理的关系 实验物理是以实验和观测为基础，揭示新的物理现象，探求物理现象后面的原因，为发现新的物理理论提供依据，或者检验理论物理推论的正确性和应用范围。理论物理是从一系列的基本物理原理出发，列出数学方程，再用传统的数学分析方法求出解析解，通过这些解析解所得到的结论和实验观测结果进行对比分析，从而解释已知的实验现象

4、并预测未来的发展。理论物理实验物理计算物理理论原理、数学方程分析检验计算数据、数值方法实验数据设备控制数据采集模拟实验对比分析预测提供实验依据，检验理论如何学好这门课 应当熟悉的高等数学相关知识：微积分，级数展开，微分方程，线性代数学习方法：上课认真听讲，注意概念的理解；课后要勤于思考，注意理论联系实际。第二章 误差分析数值计算中得到的近似值与精确值之差误差 本章主要研究误差的来源和分类，误差的计算和估计方法以及如何减小误差的危害等问题。1.模型误差 抽象,简化2.舍入误差 四舍五入 例:用3.1415926作为的近似值3.截断误差 数学模型的近似解 例:如果用右边的前两项作为sinx的近似值

5、，则误差的来源和分类 模型误差是客观存在的，而截断误差和舍入误差是由计算方法引起的，因此后两种误差是我们在计算物理课中主要研究的；讨论误差在计算过程中的传递和对计算结果的影响，并找出误差的界，对研究误差的渐进特性和改进算法的近似程度具有重大的意义。误差与有效数字1.绝对误差(error)和绝对误差限 设某物理量的精确值为x*，用某种方法计算出的近似值为x，则称x=x*-x为x*的绝对误差，简称误差。|x|显示出近似值x的准确程度，在同一量的不同近似值中，|x|越小，x的准确度越高。注意：绝对误差|x|可正可负 一般某一量x*的精确值是不知道的，因而也无法求出，但是往往可以估计出|x|的范围，即

6、存在，使得成立 （2-1）称为x的绝对误差限，简称误差限或精度；越小，近似值x的精度越高。另外一种写法：2.相对误差(relative error)与相对误差限相对误差定义为绝对误差与精确值之比，即 称为近似值的相对误差。注意:1.由于x*不可知，所以此处用x代替。2.相对误差是无量纲的数，通常用百分比表示，称为百分误差。（2-2）类似于绝对误差的情况，可以估计相对误差的范围，若存在，使得 称为近似值x的相对误差限。例：当|x-x*|1cm时，测量长度100m物体时的相对误差测量长度10m物体时的相对误差 可见前者的测量结果比后者精确，说明在分析误差时相对误差更能刻画误差的特性。（2-3）3.

7、误差与有效数字 若近似值x的绝对误差限是某一位的半个单位，就称其“准确”到这一位，且从该位直到x的第一位非零数字共有n位，则称近似数x有n位有效数字。例如：下列各数358.467，0.00427511，8.000034，8.000034102的具有5位有效数字的近似值分别是358.47，0.0042751，8.0000，800.00。有效数字既能表示数字的大小，又能表示精确程度。（2-4）其中x1，x2，xn是09这十个数字中的一个数，其中x10，n是正整数，m是整数，且x的绝对误差限满足不等式 则称近似数x具有n位有效数字。有效数字的表示法如下：设x为x*的近似数，将x写成（2-5）x*xx

8、1.7011.700.001 21.700.002 31.700.003 41.700.004 51.71-0.005 -0.004 9-0.001例：分别对以下数值保留3位有效数字，得绝对误差限是近似值末尾所在位的单位数值的一半。有效数字与绝对误差限的关系有效数字与相对误差限的关系 定理一 若某数x*的近似值x具有n位有效数字，则其相对误差限为 证明：由（2-5）式，可得 再由（2-4）式可得定理二 若近似值x的相对误差限为则x至少具有n位有效数字。证明:例：已知x的相对误差限=0.3%，问x的有效数字位数至少有几位？把x1的最大值9代入公式，得出对应n的最小值分析得，以一元函数为例：设x*

9、的近似值为x，y*=f(x*)的近似值为 y=f(x)，由泰勒展开公式，我们得到 两边除以y=f(x)，得误差危害的防止 1.选用数值稳定的计算公式，控制舍入误差的传播。在计算过程中误差不会增长的计算公式称为数值稳定的，否则就是不稳定的，为了不影响数值计算结果的精确度与真实性，在实际中我们应尽量选用数值稳定的计算公式，避免使用数值不稳定的公式。举例：求积分此值错，因为En应大于0，以下分析误差传递的过程代入由此看出，此公式会使数值不稳定，原因是误差在每一步计算时都被放大。为了解决这一问题，在下面用另一种公式计算：.当 时，所以设 得2.避免相近数相减，造成有效数字位数锐减例：使用3位计算机求

10、的值。首先计算 ，这样计算结果为0。避免方法：例：3.绝对值太小的数不能做除数 有可能数值过大超范围，同时增大误差。4.防止大数“吃掉”小数例：123456+123六位机上计算机中一般使用对阶的方法计算例：5位机上：解决方法：避免此类运算或增加电脑存储位数 5.简化公式，减少运算次数（减少舍入误差）同一个问题选用更为简单的计算公式减少运算的次数，不但可以节省计算量，提高计算速度，还能简化逻辑结构，减少误差累积，这也是数值计算所遵循的原则之一。例如：计算和式 的值 若直接逐项求和，则其运算次数很多，而且误差累积也不小。若将该和式简化为则整个计算就只需一次除法和一次减法。小结误差的基本概念和分类绝对误差及绝对误差限，相对误差和相对误差限的概念误差与有效数字的关系防止误差危害的方法作业田珊珊Email：xin_20页1，3，9题参考书：现代数值计算方法 北京大学出版社 主编 肖筱南