第2-1节_随机变量及其分布函数_.ppt

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1、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布二、分布函数的概念二、分布函数的概念一、随机变量的概念一、随机变量的概念三、例题讲解三、例题讲解第第2-12-1节节 随机变量的分布函数随机变量的分布函数四、小结四、小结 而表示随机变量所取的值而表示随机变量所取的值时时,一般采用小写字母一般采用小写字母x,y,z等等.随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母或希腊字母,等表示等表示1.定义定义一、随机变量的概念一、随机变量的概念随机变量随着试验的结果不同而取不同的值随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率由于试验的各个结果的出现具有一定

2、的概率,因因此随机变量的取值也有一定的概率规律此随机变量的取值也有一定的概率规律.(2)随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量是一个函数随机变量是一个函数,但它与普通的函数有但它与普通的函数有着本质的差别着本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的普通函数是定义在实数轴上的,而而随机变量是定义在样本空间上的随机变量是定义在样本空间上的(样本空间的元样本空间的元素不一定是实数素不一定是实数).2.说明说明:(1)随机变量与普通的函数不同随机变量与普通的函数不同随机事件包容在随机变量这个范围更广的概随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内念之内.或者说或者说:随机

3、事件是从静态的观点来研究随机事件是从静态的观点来研究随机现象随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象机现象.(3)随机变量与随机事件的关系随机变量与随机事件的关系实例实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色观察摸出球的颜色.=红色、白色红色、白色 非数量非数量将将数量化数量化 可采用下列方法可采用下列方法 红色红色 白色白色即即有有 X(红色红色)=1,X(白色白色)=0.这样便将非数量的这样便将非数量的 =红色，白色红色，白色 数量化了数量化了.实例实例2 抛掷骰子抛掷骰子,观察出现的点数观察出

4、现的点数.=1，2，3，4，5，6样本点本身就是数量样本点本身就是数量恒等恒等变换变换且有且有则有则有3.随机变量的分类随机变量的分类离散型离散型(1)离散型离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个无限可列个,叫做离散型随机变量叫做离散型随机变量.观察掷一个骰子出现的点数观察掷一个骰子出现的点数.随机变量随机变量 X 的可能值是的可能值是:随机变量随机变量连续型连续型实例实例11,2,3,4,5,6.非离散型非离散型其它其它实例实例2 若随机变量若随机变量 X 记为记为“连续射击连续射击,直至命直至命中时的射击次数中时的射击次数”,则则 X 的可能值是

5、的可能值是:实例实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了现该射手射了30次次,则随机变量则随机变量 X 记为记为“击中目标击中目标的次数的次数”,则则 X 的所有可能取值为的所有可能取值为:实例实例2 随机变量随机变量 X 为为“测量某零件尺寸时的测量测量某零件尺寸时的测量误差误差”.则则 X 的取值范围为的取值范围为(a,b).实例实例1 随机变量随机变量 X 为为“灯泡的寿命灯泡的寿命”.(2)连续型连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间满某个区间,叫做连续型随机变量叫做连续型随机变量.则则 X

6、 的取值范围为的取值范围为对于随机变量对于随机变量X,我们不仅要知道我们不仅要知道X 取哪些值取哪些值,要知道要知道 X 取这些值的概率取这些值的概率;而且更重要的是想知而且更重要的是想知道道 X 在任意有限区间在任意有限区间(a,b)内取值的概率内取值的概率.分布分布函数函数 二、分布函数及其性质二、分布函数及其性质例如例如1.概念的概念的引入引入2.分布函数的定义分布函数的定义说明说明:(1)分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况的概率情况.例例 1 抛掷均匀硬币抛掷均匀硬币,令令求求(1)随机变量随机变量 X 的分布函数的分布函数.解解

7、:(1)（教材（教材P37例例1.1）(2)随机变量随机变量X在区间在区间 上取值的概率。上取值的概率。(2)随机变量随机变量X在区间在区间 上取值的概率为上取值的概率为证明证明:3.分布函数的性质分布函数的性质（单调不减性）（单调不减性）（有界性）（有界性）证明证明即任一分布函数处处即任一分布函数处处右连续右连续.所以所以 反过来反过来,如果一个函数具有上述性质，则一定是如果一个函数具有上述性质，则一定是某个随机变量某个随机变量 X 的分布函数的分布函数.也就是说，性质也就是说，性质(1)-(4)是鉴别一个函数是否是某随机变量的分布函数的是鉴别一个函数是否是某随机变量的分布函数的充分必要条件

8、充分必要条件.重要公式重要公式:请请填填空空设设 随机变量随机变量X X 的分布函数：的分布函数：计算计算:解：解：课堂练习：课堂练习：请同学们思考：请同学们思考：不同的随机变量不同的随机变量,它们的分布函数一定也不相同吗它们的分布函数一定也不相同吗?答答不一定不一定.例如抛均匀硬币例如抛均匀硬币,令令课堂练习：课堂练习：2.P39 例例1.22.2 离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布定定义义1 1 若若随随机机变变量量 X X 的的全全部部可可能能取取值值是是有有限限个个或或可可列列无无限限多多个个,则则称称这这种种随随机机变变量量为为离离散散型型随随机机变量。变量。一、离

9、散型随机变量的分布律一、离散型随机变量的分布律定义定义2离散型随机变量的分布律也可表示为离散型随机变量的分布律也可表示为或或其中其中 用这两条性质判断用这两条性质判断一个函数是否是一个函数是否是概率函数概率函数解解:依据概率函数的性质依据概率函数的性质:P(X=k)0,A0从中解得从中解得欲使上述函数为概率函数欲使上述函数为概率函数应有应有这里用到了常见的这里用到了常见的幂级数展开式幂级数展开式例例1.设随机变量设随机变量X的概率函数为：的概率函数为：k=0,1,2,试确定常数试确定常数A.（教材（教材P60第第4题）题）例例 2 从一批含有从一批含有10件正品及件正品及3件次品的产品中一件次

10、品的产品中一件、一件地取产品件、一件地取产品.设每次抽取时设每次抽取时,所面对的各件所面对的各件产品被抽到的可能性相等产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下在下列三种情形下,分分别求出直到取得正品为止所需次数别求出直到取得正品为止所需次数 X 的分布律的分布律.(1)每次取出的产品经检定后又放回这批产品中每次取出的产品经检定后又放回这批产品中 去去,再取下一件产品再取下一件产品;(2)每次取出的产品都不放回这批产品中每次取出的产品都不放回这批产品中;(3)每次取出一件产品后总以一件正品放回这批每次取出一件产品后总以一件正品放回这批 产品中产品中.（同型题习题课教程（同型题习题课教程P358练

11、习练习11.1第第3、4题）题）故故 X 的分布律为的分布律为解解(1)X 所取的可能值是所取的可能值是 (2)若每次取出的产品都不放回这批产品中时若每次取出的产品都不放回这批产品中时,故故 X 的分布律为的分布律为X 所取的可能值是所取的可能值是 (3)每次取出一件产品后总以一件正品放回这批每次取出一件产品后总以一件正品放回这批 产品中产品中.故故 X 的分布律为的分布律为X 所取的可能值是所取的可能值是二二 离散随机变量的分布函数离散随机变量的分布函数其中 .由于由于F(x)是是 X 取取 的诸值的诸值 xk 的概率之和，的概率之和，故又称故又称 F(x)为累积概率函数为累积概率函数.F(

12、x)是分段阶梯函数是分段阶梯函数,在在 X 的可能取的可能取值值 xk 处发生间断处发生间断,间断点为第一类跳跃间间断点为第一类跳跃间断点断点,在间断点处有跃度在间断点处有跃度 pk.见见P40 例例2.1解解 例例3 3 设汽车在开往甲地途中需经设汽车在开往甲地途中需经 过过 4 盏信号灯盏信号灯,每盏信号灯独立地每盏信号灯独立地 以概率以概率 p 允许汽车通过允许汽车通过.出发地出发地甲地甲地首次停下时已通过的信号灯盏数首次停下时已通过的信号灯盏数,求求 X 的概的概率分布与率分布与 p=0.4 时的分布函数时的分布函数.令令 X 表示表示01234xx kpk 0 1 2 3 40.6

13、0.24 0.0960.0384 0.0256代入 01234xF(x)oo1ooo例例4 4 一门大炮对目标进行轰击一门大炮对目标进行轰击,假定此目标必须假定此目标必须被击中被击中r 次才能被摧毁次才能被摧毁.若每次击中目标的概率若每次击中目标的概率为为p(0 p 1),且各次轰击相互独立且各次轰击相互独立,一次次地轰一次次地轰击直到摧毁目标为止击直到摧毁目标为止.求所需轰击次数求所需轰击次数 X 的概率的概率分布分布.解解P(X=k)=P(前前 k 1次击中次击中 r 1次，次，第第 k 次击中目标次击中目标)帕斯卡帕斯卡分分 布布（见习题课教程（见习题课教程P341例例5）3 连续型随机

14、变量连续型随机变量 及其概率密度及其概率密度定义 设设 X 是随机变量是随机变量,若存在一个非负若存在一个非负 可积函数可积函数 f(x),使得使得其中其中F(x)是它的分布函数是它的分布函数则称则称 X 是是 连续型随机变量连续型随机变量，f(x)是它的是它的概概率密度函数，率密度函数，简记为简记为概率密度。概率密度。记为记为一、一、连续型连续型 随机变量及概率随机变量及概率密度密度的概念的概念xf(x)xF(x)分布函数与密度函数 几何意义练习练习P41 例例3.1 二、二、f(x)的性质：的性质：性质性质1常利用这两个性质检验一个函数能否作为常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性随机

15、变量的概率密度。连续性随机变量的概率密度。性质性质2对于连续型对于连续型 随机变量随机变量X,a,b任意任意xbf(x)a性质性质3性质性质4在在 f(x)的连续点处，的连续点处，若若x是是 f(x)的连续点，则：的连续点，则：=f(x)对对 f(x)的进一步理解的进一步理解:f(x)描述了描述了X 在在 x 附近单位长度的附近单位长度的区间内取值的概率区间内取值的概率.故故 X的密度的密度 f(x)在在 x 这一点的值，恰好是这一点的值，恰好是X落在区间落在区间 上的概率与区间长度上的概率与区间长度 之比的极限之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于

16、线密度相当于线密度.要注意的是，密度函数要注意的是，密度函数 f(x)在某点处在某点处a的高度，并不反映的高度，并不反映X取值的概率取值的概率.但是，这但是，这个高度越大，则个高度越大，则X取取a附近的值的概率就越附近的值的概率就越大大.也可以说，在某点密度曲线的高度反也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度映了概率集中在该点附近的程度.f(x)xo注意注意:对于连续型对于连续型随机变量随机变量X,P(X=a)=0其中其中 a 是随机变量是随机变量 X 的一个可能的取值的一个可能的取值强调强调 概率为概率为0(1)的事件未必不发生的事件未必不发生(发生发生).事实上事实上注注:对对于连续型于连续型 随机变量随机变量X连续型随机变量的概率与区间的开闭无关连续型随机变量的概率与区间的开闭无关.特别说明：特别说明：连续型随机变量的分布函数一定连续，连续型随机变量的分布函数一定连续，而分布密度不一定连续。而分布密度不一定连续。设设X为为连续型随机变量连续型随机变量，X=a 是不可能是不可能事件事件,则有则有若若 X 为离散型随机变量为离散型随机变量,注意注意连连续续型型离离散散型型解解例例1 1例例2(习题课教程习题课教程P348例例14）故有故有解解(1)因为因为 X 是连续型随机变量是连续型随机变量,