第2章线性系统数学模型4.ppt

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1、 2.5 信号流图 方方框框图图及及其其等等效效变变换换虽虽然然对对分分析析系系统统很很有有效效。但但对对于于复复杂杂的的控控制制系系统统，方方框框图图的的变变换换和和化化简简过过程往往显得繁琐、费时，并易于出错程往往显得繁琐、费时，并易于出错。Mason提提出出的的信信号号流流图图方方法法，既既能能表表示示系系统统的的特特点点，而而且且还还能能直直接接应应用用梅梅逊逊公公式式方方便便的的写写出出系系统统的的传传递递函函数数。因因此此，信信号号流流图图在在控控制制工工程程中中也被广泛地应用。也被广泛地应用。信信号号流流图图和和方方框框图图类类似似，都都可可用用来来表表示示系系统统结结构构和和信

2、信号号传传送送过过程程中中的的数数学学关关系系。因因而而信信号号流流图也是一种数学模型。图也是一种数学模型。12.5.1信号流图的定义 信信号号流流图是是一一种种将将线性性代代数数方方程程组用用图形形来来表表示示的方法。例如：的方法。例如：信号流信号流图中，用小中，用小圆圈圈“O”表示表示变量，并称其量，并称其为节点点。节点之点之间用用加加权的有向的有向线段段连接，称接，称为支路支路。通常在支路上通常在支路上标明前后两个明前后两个变量之量之间的数学关系，因的数学关系，因此支路的此支路的权又称又称为传输。22.5.2 信号流图的绘制 由微分方程求解由微分方程求解 方程，方程，这这与画方与画方块图

3、块图差不差不多。多。由系由系统统方方块图绘块图绘制。制。例例2-9 如如上上图图所所示示的的电电阻阻网网络络，v1为为输输入入、v3为为输输出出。选选5个个变变量量v1、i1、v2、i2、v3，由由电电压压、电电流流定律可写出四个独立方程定律可写出四个独立方程 3 将将变变量量V1(s)、I1(s)、V2(s)、I2(s)、V3(s)作作节节点点表表示示，由由因因果果关关系系用用支支路路把把节节点点与与节节点点联联接接，得信号流图。得信号流图。42.5.3信号流图的定义和术语 节点节点：表示变量或信号的点，用：表示变量或信号的点，用“”表示。表示。支路支路：连接两个节点之间的有向有权线段，方向

4、：连接两个节点之间的有向有权线段，方向 用箭头表示，权值用传输函数表示。用箭头表示，权值用传输函数表示。输入支路输入支路：指向节点的支路。：指向节点的支路。输出支路输出支路：离开节点的支路。：离开节点的支路。源节点源节点：只有输出支路的节点，也称输入节点，：只有输出支路的节点，也称输入节点，如图中节点如图中节点X1。汇节点汇节点：只有输入支路的节点，如图节点：只有输入支路的节点，如图节点X7。5混合节点混合节点：既有输入支路、又有输出支路的节点，：既有输入支路、又有输出支路的节点，如图中的如图中的X2、X3、X4、X5、X6。通道通道(路径路径)：沿着支路箭头方向通过各个相连支路：沿着支路箭头

5、方向通过各个相连支路 的路径，并且的路径，并且每个节点仅通过一次每个节点仅通过一次。如如X1到到X2到到X3到到X4或或X2到到X3又反馈回又反馈回X2。6前向通道前向通道：从输入节点：从输入节点(源节点源节点)到汇节点的通道。到汇节点的通道。如图如图X1到到X2到到X3到到X4到到X5到到X6到到X7为为 一条前向通道，又如一条前向通道，又如X1到到X2到到X3到到X5 到到X6到到X7也为另一条前向通道。也为另一条前向通道。7闭通道闭通道(反馈通道或回环反馈通道或回环)：通道的起点就：通道的起点就 是通道的是通道的 终点，如图终点，如图X2到到X3又反馈到又反馈到X2；X4到到X5 又反馈

6、到又反馈到X4。自回环自回环：单一支路的闭通道，如图中的：单一支路的闭通道，如图中的-H3构成构成 自回环。自回环。8通道传输或通道增益通道传输或通道增益：沿着通道的各支路传输的：沿着通道的各支路传输的 乘积。如从乘积。如从X1到到X7前向通道前向通道 的增益的增益G1G2G3G4G5G6。不接触回环不接触回环：如果一些回环没有任何公共的节点，：如果一些回环没有任何公共的节点，称它们为不接触回环。如称它们为不接触回环。如G2H1 与与G4H2。92.5.4信号流图的性质（1）信号流图只适用于线性系统；）信号流图只适用于线性系统；（2）信信号号流流图图所所依依据据的的方方程程式式，一一定定为为因

7、因果果函函数数形式的代数方程；形式的代数方程；（3）信号只能按箭头表示的方向沿支路传递；）信号只能按箭头表示的方向沿支路传递；（4）节节点点上上可可把把所所有有输输入入支支路路的的信信号号叠叠加加，并并把把总和信号传送到所有输出支路；总和信号传送到所有输出支路；（5）具具有有输输入入和和输输出出支支路路的的混混合合节节点点，通通过过增增加加一一个个具具有有单单位位传传输输的的支支路路，可可把把其其变变为为输输出出节节点点，即汇节点；即汇节点；（6）对于给定的系统，其信号流图不是唯一的。）对于给定的系统，其信号流图不是唯一的。102.5.5信号流图的简化（1）加加法法规规则则：n个个同同方方向向

8、并并联联支支路路的的总总传传输输，等于各个支路传输之和，如图等于各个支路传输之和，如图(a)所示：所示：（2）乘乘法法规规则则：n个个同同方方向向串串联联支支路路的的总总传传输输，等于各个支路传输之积，如图（等于各个支路传输之积，如图（b）。）。11（3）混混合合节节点点可可以以通通过过移移动动支支路路的的方方法法消消去去，如图（如图（c）。）。（4）回回环环可可根根据据反反馈馈连连接接的的规规则则化化为为等等效效支支路路，如图（如图（d）。）。12例例2-10 2-10 将将图图2-43所所示示系系统统方方框框图图化化为为信信号号流流图图并并化简求出系统的闭环传递函数化简求出系统的闭环传递函

9、数 13解解：信信号号流流图图如如图图(a)所所示示。化化G1与与G2串串联联等等效效为为G1G2支路，支路，G3与与G4并联等效为并联等效为G3+G4支路，支路，14如如图图(b)，G1G2与与-H1反反馈馈简简化化为为 支支路路，又又与与G3+G4串串联联，等等效效为为 如如图图(c)15进而求得闭环传递函数为进而求得闭环传递函数为 162.5.6信号流图的增益公式 给给定定系系统统信信号号流流图图之之后后，常常常常希希望望确确定定信信号号流流图图中中输输入入变变量量与与输输出出变变量量之之间间的的关关系系，即即两两个个节节点点之之间间的的总总增增益益或或总总传传输输。上上节节采采用用信信

10、号号流流图图简简化化规规则则，逐逐渐渐简简化化，最最后后得得到到总总增增益益或或总总传传输输。但但是是，这这样样很很费费时时又又麻麻烦烦，而而梅梅逊逊(Mason)公公式式可可以以对对复复杂杂的的信信号号流流图图直直接接求求出出系系统统输输出出与与输输入入之之间间的的总总增增益益，或或传传递递函函数数，使用起来更为方便。使用起来更为方便。17 信信号号流流图上上从从源源节点点（输入入节点点）到到汇节点点（输出出节点）的点）的总传输公式，即梅公式，即梅逊公式：公式：式中式中 系系统总统总增益（增益（总传递总传递函数）函数）前向通路数前向通路数 第第k条前向通路增益条前向通路增益18所有不同回路增

11、益乘积之和；所有不同回路增益乘积之和；所有任意两个互不接触回路增益乘积之和；所有任意两个互不接触回路增益乘积之和；所有任意所有任意m个不接触回路增益乘积之和。个不接触回路增益乘积之和。的计算公式为：的计算公式为：信号流图特征式，它是信号流图所表示的方程组的系数信号流图特征式，它是信号流图所表示的方程组的系数矩阵的行列式。在同一个信号流图中不论求图中任何一矩阵的行列式。在同一个信号流图中不论求图中任何一对节点之间的增益，其分母总是对节点之间的增益，其分母总是，变化的只是其分子。，变化的只是其分子。为为与第与第k条前向通路条前向通路不不相接触的那一部分信号流相接触的那一部分信号流图图的的值，值，称

12、为第称为第k条前向通路特征式的余因子式。条前向通路特征式的余因子式。19例例2-11 利用梅逊公式求图利用梅逊公式求图中中所示系统的传递函数所示系统的传递函数 C(s)/R(s)。20前向通道有前向通道有4条，对应条，对应Pk与与k为：为：P1=G1G2G3G4G5 1=1P2=G1G6G4G5 2=1P3=G1G2G7G5 3=1P4=-G1G6G2G7G5 4=1解：图中有解：图中有6个回环，其增益为：个回环，其增益为：L1=-G3H2，L2=-G5H1，L3=-G2G3G4G5H3，L4=-G6G4G5H3，L5=-G2G7G5H3，L6=G6H2G7G5H3其中其中L1与与L2互不接触

13、，其增益之积互不接触，其增益之积L1L2=G3G5H1H2 系统特征式系统特征式 21系统的传递函数为系统的传递函数为 22例例2-12 求图示信号流图的闭环传递函数求图示信号流图的闭环传递函数 解：系统单回环有：L1=G1，L2=G2，L3=G1G2，L4=G1G2，L5=G1G2系统的特征式 为：23前向通道有四条：前向通道有四条：P1=-G1 1=1 P2=G2 2=1 P3=G1G2 3=1 P4=G1G2 4=1 系统的传递函数为系统的传递函数为 24例例2-13 已已知知系系统统的的结结构构图图，试试：（1）画画出出系系统统的的信信号号流流图图；（2 2）利利用用梅梅森森公公式式求

14、求系系统统的的传传递函数递函数C(s)/R(s)和和C(s)/N(s)。25解：绘制系统的信号流图：解：绘制系统的信号流图：系系统统有有4个个回回环环：L1=-G1G2H1，L2=-G2G3H2，L4=-G1G5H3，L3=-G1G2G3G4H3，没没有有互互不不接接触触回环，系统特征式回环，系统特征式26R(s)到到C(s)的前向通道有的前向通道有2条：条：P1=G1G2 G3G4 1=1 P2=G1 G5 2=1 27返回N(s)到到C(s)的前向通道有的前向通道有2条：条：P1=G3G4 1=1+G1G2H1 P2=-G3G5H2 2=1 同同一一系系统统不不同同输输入入和和输输出出之之

15、间间的的前前向向通通道道不不同同，但系统的特征式相同。但系统的特征式相同。28本章小结本章小结 本本章章要要求求熟熟练练掌掌握握系系统统数数学学模模型型的的建建立立和和拉拉氏氏变变换换方方法法。对对于于线线性性定定常常系系统统，能能够够列列写写其其微微分分方方程程，会会求求传传递递函函数数，会会画画方方框框图图和和信信号号流流图图，并掌握方框图的变换及化简方法。并掌握方框图的变换及化简方法。1.数数学学模模型型是是描描述述元元件件或或系系统统动动态态特特性性的的数数学学表表达达式式，是是对对系系统统进进行行理理论论分分析析研研究究的的主主要要依依据据。用用解解析析法法建建立立实实际际系系统统的

16、的数数学学模模型型时时，分分析析系系统统的的工工作作原原理理，忽忽略略一一些些次次要要因因素素，运运用用基基本本物物理理、化化学学定定律律，获获得得一一个个既既简简单单又又能能足足够够精精确确地地反反映映系系统统动动态态特性的数学模型。特性的数学模型。292.实实际际系系统统均均不不同同程程度度地地存存在在非非线线性性，但但许许多多系系统统在在一一定定条条件件下下可可近近似似为为线线性性系系统统，故故我我们们尽尽量量对对所所研研究究的的系系统统进进行行线线性性化化处处理理(如如增增量量化化法法)，然然后后用用线线性性理理论论进进行行分分析析。但但应应注注意意，不不是是任任何何非线性特性均可进行

17、线性化处理。非线性特性均可进行线性化处理。3.传传递递函函数数是是经经典典控控制制理理论论中中的的一一种种重重要要的的数数学学模模型型。其其定定义义为为：在在零零初初始始条条件件下下，系系统统输输出出的的拉普拉斯与输入的拉普拉斯变换之比。拉普拉斯与输入的拉普拉斯变换之比。4.根根据据运运动动规规律律和和数数学学模模型型的的共共性性，任任何何复复杂杂系系统统都都可可划划分分为为几几种种典典型型环环节节的的组组合合，再再利利用用传传递递函数和图解法能较方便地建立系统的数学模型。函数和图解法能较方便地建立系统的数学模型。305.方方框框图图是是研研究究控控制制系系统统的的一一种种图图解解模模型型，它它直直观观形形象象地地表表示示出出系系统统中中信信号号的的传传递递特特性性。应应用用梅梅逊逊公公式式不不经经任任何何结结构构变变换换，可可求求出出源源节节点点和和汇汇节节点点之之间间的传递函数。信号流图的应用更为广泛。的传递函数。信号流图的应用更为广泛。31作业：作业：P4849 8、9、1032