教育专题：111集合2课时1.ppt

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1、主页主页虎林高级中学虎林高级中学 栾红民栾红民主页主页回回 顾顾 交交 流流集合元素的性质：确定性，互异性，无序性集合的概念常用数集及其表示元素与集合的关系：，主页主页重要数集：重要数集：(1)自然数集自然数集(含含0)即非负整数集，记为：即非负整数集，记为：N；(2)正整数集正整数集(不含不含0)，记为，记为N*或或N；(3)整数集，记为整数集，记为Z；(4)有理数集，记为有理数集，记为Q；(5)实数集，记为实数集，记为R.主页主页（1）有限集：）有限集：含有有限个元素的集合称为有限集。含有有限个元素的集合称为有限集。（2）无限集：）无限集：若一个集合是无限集，则该集合称为无限集。若一个集合

2、是无限集，则该集合称为无限集。1、集合的分类：、集合的分类：不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集。空集。（3）空集：）空集：主页主页思考思考1 1：这两个集合分别有哪些元素？这两个集合分别有哪些元素？考察下列集合：考察下列集合：（1 1）小于）小于5 5的所有自然数组成的集合；的所有自然数组成的集合；（2 2）方程）方程 的所有实数根组成的所有实数根组成的集合的集合.（1 1）0 0，1 1，2 2，3 3，4 4；（；（2 2）-1-1，0 0，1 1思考思考2 2：由上述两组数组成的集合可由上述两组数组成的集合可分别怎样表示？分别怎样表示？（1 1）00，1 1，2 2，3 3

3、，44（2 2）-1-1，0 0，11主页主页 2、集合的表示方法：、集合的表示方法：（1 1）列举法）列举法:把集合的元素一一列举出来，并用花括号把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法括起来表示集合的方法 注意：注意：1 1、元素间要用逗号隔开；、元素间要用逗号隔开；2 2、放在大括号内，不管次序。、放在大括号内，不管次序。思考思考：bookbook中的字母的集合能否表示为：中的字母的集合能否表示为：，o o，o o，()主页主页例例 1：用列举法表示下列集合：用列举法表示下列集合：（1）小于）小于10的所有自然数组成的集合；的所有自然数组成的集合；（2）方程）方程x2

4、=x的所有实数根组成的集合；的所有实数根组成的集合；（3）由）由120以内的所有素数组成的集合。以内的所有素数组成的集合。解：解：（1）设小于）设小于10的所有自然数组成的集合为；的所有自然数组成的集合为；那么那么0,1,2,3,4,5,6,7,8,9（2）设方程）设方程x2=x的所有实数根组成的集合；的所有实数根组成的集合；那么那么B=1,0（3）设由）设由120以内的所有素数组成的集合以内的所有素数组成的集合,那么那么C=2,3,5,7,11,13,17,19主页主页思考思考（）你能用自然语言描叙集合，（）你能用自然语言描叙集合，吗？，吗？解：小于的正偶数组成的集合。解：小于的正偶数组成的

5、集合。（）你能用列举法表示不等式（）你能用列举法表示不等式x-73的的解集吗？解集吗？答：不能，因为这是个无限集，无法列举。答：不能，因为这是个无限集，无法列举。那我们可以怎样来表示这个集合呢？那我们可以怎样来表示这个集合呢？主页主页 考察下列集合：考察下列集合：（1 1）不等式）不等式 的解组成的集合；的解组成的集合；（2 2）绝对值小于）绝对值小于2 2的实数组成的集合的实数组成的集合.思考思考1：这两个集合能否用列举法表示？这两个集合能否用列举法表示？思考思考2：如何用数学式子描述上述两个集合的元素特征？如何用数学式子描述上述两个集合的元素特征？（1 1）R R，且，且 ；（2 2）R

6、R，且，且思考思考3：上述两个集合可分别怎样表示？上述两个集合可分别怎样表示？（1 1）R|R|；（2 2）R|R|主页主页集合的表示方法：集合的表示方法：（2 2）描述法）描述法:元素的一般元素的一般符符号号及及取值范围取值范围元素所具有的元素所具有的共同特征共同特征用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。具体方法：具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。这个集合中元素所具

7、有的共同特征。主页主页例例试分别用列举法和描述法表示下试分别用列举法和描述法表示下列集合。列集合。主页主页（2）由大于）由大于10小于小于20的所有正整数组的所有正整数组成的集合。成的集合。解：解：设大于设大于10小于的所有正整数为小于的所有正整数为 ，它满足条件它满足条件 且且 ，因此，因此，用描述法表示为用描述法表示为用列举法表示为用列举法表示为主页主页又如，任何一个奇数都可以表示成又如，任何一个奇数都可以表示成所以，奇数的集合可以表示为所以，奇数的集合可以表示为主页主页 例如，图例如，图1-11-1表示任意一个集合表示任意一个集合A A；图图1-21-2表示集合表示集合11，2 2，3

8、3，4 4，5 5 图图1-11-1图图1-21-2A A1,2,3,1,2,3,5,4.5,4.(Venn(Venn图图)我们常常画一条封闭的曲线，用它的内我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部表示一个集合。部表示一个集合。3 3、图示法、图示法:韦恩图韦恩图主页主页练习：P5，第1,2题；主页主页 1.集合的表示方法集合的表示方法 （1）列举法：把集合的元素）列举法：把集合的元素一一一一列举列举出来写在大括号的方法出来写在大括号的方法 （2）描述法：用确定条件表示某）描述法：用确定条件表示某些对象是否属于这个集合的方法些对象是否属于这个集合的方法 （3）图示法）图示法课堂小结课堂小结主页主页

9、有限集：含有有限个元素的集合有限集：含有有限个元素的集合无限集：含有无限个元素的集合无限集：含有无限个元素的集合2.集合的分类集合的分类空空 集：不含任何元素的集合集：不含任何元素的集合.记作记作主页主页练习：P5，第2题；P11，习题1.1，第2,3题主页主页 1：与与 的含义是否相同？的含义是否相同？2：集合集合1，2与集合与集合(1，2)相同吗？相同吗？4:集合集合 的几何意义如何？的几何意义如何？3：集合集合 与集合与集合 相同吗？相同吗？xyo前者是函数的所有前者是函数的所有函数值函数值组成的集合；组成的集合；后者是函数的所有后者是函数的所有自变量自变量组成的集合。组成的集合。抛物线

10、上所有的点组成的集合抛物线上所有的点组成的集合主页主页大学期间康托尔主修数论，但受外尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和数学分析感兴趣。哈雷大学教授H.E.海涅鼓励他研究函数论。他于1870、1871、1872年发表三篇关于三角级数的论文。在1872年的论文中提出了以基本序列（即柯西序列）定义无理数的实数理论，并初步提出以高阶导出集的性质作为对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一步探索无穷集和超穷序数的兴趣和要求。1872年康托尔在瑞士结识了J.W.R.戴德金，此后时常往来并通信讨论。1873年他估计，虽然全体正有理数可以和正整数建立一一对应，但全体正实数似乎不能。他在1874年的论文关

11、于一切实代数数的一个性质中证明了他的估计，并且指出一切实代数数和正整数可以建立一一对应，这就证明了超越数是存在的而且有无穷多。在这篇论文中，他用一一对应关系作为对无穷集合分类的准则。格奥尔格格奥尔格康托尔康托尔康托尔（Georg Cantor，1845-1918，德）德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。其父为迁居俄国的丹麦商人。康托尔11岁时移居德国,在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学，从学于E.E.库默尔、K.（T.W.）外尔斯特拉斯和L.克罗内克。1866年曾去格丁根学习一学期

12、。1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。主页主页康托尔在1878年这篇论文里已明确提出“势”的概念(又称为基数)并且用“与自身的真子集有一一对应”作为无穷集的特征。康托尔认为，建立集合论重要的是把数的概念从有穷数扩充到无穷数。他在18791884年发表的题为关于无穷线性点集论文6篇，其中5篇的内容大部分为点集论，而第5篇很长，此篇论述序关系，提出了良序集、序数及数类的概念。他定义了一个比一个大的超穷序数和超穷基数的无穷序列，并对无穷问题作了不少的哲学讨论。在此文中他还提出了良序定理（每

13、一集合都能被良序），但未给出证明。在1891年发表的集合论的一个根本问题里，他证明了一集合的幂集的基数较原集合的基数大，由此可知，没有包含一切集合的集合。他在1878年论文中曾将连续统假设作为一个估计提出，其后在1883年论文里说即将有一严格证明，但他始终未能给出。在整数和实数两个不同的无穷集合之外，是否还有更大的无穷?从1874年初起,康托尔开始考虑面上的点集和线上的点集有无一一对应。经过三年多的探索，1877说，“我见到了，但我不相信。”这似乎抹煞了维数的区别。论文于1878年发表后引起了很大的怀疑。P.D.G.杜布瓦雷蒙和克罗内克都反对，而戴德金早在1877年7月就看到,不同维数空间的点

14、可以建立不连续的一一对应关系，而不能有连续的一一对应。此问题直到1910年才由L.E.J.布劳威尔给出证明。主页主页19世纪70年代许多数学家只承认，有穷事物的发展过程是无穷尽的，无穷只是潜在的，是就发展说的。他们不承认已经完成的、客观存在着的无穷整体，例如集合论里的各种超穷集合。康托尔集合论肯定了作为完成整体的实无穷，从而遭到了一些数学家和哲学家的批评与攻击，特别是克罗内克。康托尔曾在1883年的论文和以后的哲学论文里对于无穷问题作了详尽的讨论。另一方面，康托尔创建集合论的工作开始时就得到戴德金、外尔斯特拉斯和D.希尔伯特的鼓励和赞扬。20世纪以来集合论不断发展，已成为数学的基础理论。他的著

15、作有：G.康托尔全集1卷及康托尔-戴德金通信集等。康托尔是德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1月6日病逝于哈雷。康托尔11岁时移居德国，在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学，翌年入柏林大学，主修数学，1866年曾去格丁根学习一学期。1867年以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。集合论是现代数学的基础，康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的兴趣。康托尔肯定了无穷数的存在，并对无穷问题进行了哲学的讨论，最终建立了较完善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础。