第16讲 第3章第3-4节除环和域,无零因子环的特征.ppt

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1、近近 世世 代代 数数(Abstract Algebra)主讲教师主讲教师：蔡蔡 炳炳 苓苓 （河北师范大学数学与信息科学学院（河北师范大学数学与信息科学学院)第3节 整环,除环和域 河北师范大学河北师范大学河北师范大学河北师范大学 第三章 环与域 定定义义 一个交一个交换换的的,有有单单位元位元且且的无零因子的无零因子环环称称为为整整环环.例例 1 1 整数整数环环,高斯整高斯整环环都是整环都是整环,而偶数而偶数环为环为无零因子的交无零因子的交换环换环。定定义义：设设 是有是有单单位元的位元的环环,且且如果如果中每个非零元都可逆中每个非零元都可逆,则则称称为为除除环环.交交换换的除的除环环称

2、称为为域域.例例2 2 都是域都是域.例例3 3为为域域.是有是有单单位元的交位元的交换环换环.的每个非零元都可逆的每个非零元都可逆.证证明明证证明明 可可证证下证下证,例例4 4 模模mm的剩余类环的剩余类环零元为零元为0,单位元为单位元为1.而且有结论为为域域为素数为素数.为此先考虑以下性质即可：性性质质1 1 设设,则则为为的零因子的零因子(1)(1)(2)(2)为为的可逆元的可逆元证证：(1)(1)若若为为的零因子的零因子,则则存在存在,使得使得故故.若若,则则,所以所以,矛盾矛盾.于是于是.反之反之,如果如果,设设则则所以所以,但但于是于是是零因子是零因子.(2)(2)若若为为的可逆

3、元的可逆元,则则,即即于是于是,使得使得,也就是也就是所以所以反之反之,如果如果,则则,因此因此,故故可逆可逆.剩余类环中非零元不是可逆元就是零因子剩余类环中非零元不是可逆元就是零因子.性质性质2 2为为无零因子无零因子环环为为素数素数.为为素数，若素数，若则则，或者或者，即，即若若不是素数，不是素数，则则证证：设设为为无零因子无零因子环环.为为有零因子有零因子环环.例例 5 5解解 (1)(1)(2)(2)直接直接计计算可知算可知,相相应应的逆元的逆元为为全部零因子全部零因子:全部可逆元全部可逆元:域的除法域的除法设设为为域域,则对则对任意的任意的有有，记记作作由此可定由此可定义义域域的的

4、除法除法:设设,规规定定称称为为以以除除的商的商.且有下列运算法且有下列运算法则则:说明说明：（：（1）整环，除环和域都是无零因子的环）整环，除环和域都是无零因子的环;(2)R中至少中至少2个元，则个元，则 环环R为除环当且仅当为除环当且仅当R中全体非零元集合中全体非零元集合 R*关于乘法做成群；关于乘法做成群；环环R为域当且仅当为域当且仅当(R,+)和和(R*,.)都是交换都是交换群群.（3）除环中）除环中例5 第4节 无零因子环的特征 我们知道，任意数环任意数环中，任意两个非零数之积还是非零数，而且对有在模模n的剩余类环的剩余类环中，而且满足条件的最小正整数n是存在的.不难发现，以上性质和

5、环中元的加法阶有关.定理定理1 1：无零因子无零因子环环中任意非零元中任意非零元对对加法加法的阶相同的阶相同.证证明：明：若都无限，若都无限，阶阶相同相同.定义：定义：对于加法来说，一个无零因子环对于加法来说，一个无零因子环R的的非零元的相同的（加法）阶叫做非零元的相同的（加法）阶叫做环环R的特征的特征。记作charR。注注：若无零因子环：若无零因子环R的特征是的特征是n，则，则R的所的所有非零元的有非零元的n倍为零元。倍为零元。定理定理2 2：无零因子环的特征或者无限，或者为素数无零因子环的特征或者无限，或者为素数.证明：证明：（反证法）设有限且为合数（反证法）设有限且为合数与无零因子环矛盾，故假设不成立与无零因子环矛盾，故假设不成立.推论推论：整环，除环和域的特征或为无限大或为素数p.性质性质：在特征为p的交换环R里，有