高等数学方明亮6.1 向量及其线性运算.ppt

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1、返回返回上页上页下页下页目录目录高等数学多媒体课件牛顿（牛顿（Newton）莱布尼兹（莱布尼兹（Leibniz）1/24/20231返回返回上页上页下页下页目录目录第六章第六章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何（Vector Algebra&Space Analytic Geometry）数量关系数量关系 第一部分第一部分 向量代数向量代数第二部分第二部分 空间解析几何空间解析几何 在三维空间中:空间形式空间形式 点点,线线,面面基本方法基本方法 坐标法坐标法;向量法向量法坐标坐标,方程（组）方程（组）1/24/20232返回返回上页上页下页下页目录目录主主 要要 内内 容容第一节

2、第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 第二节第二节 数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积第三节第三节 曲面及其方程曲面及其方程 第四节第四节 空间曲线及其方程空间曲线及其方程 第五节第五节 平面及其方程平面及其方程 第六节第六节 空间直线及其方程空间直线及其方程 1/24/20233返回返回上页上页下页下页目录目录第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 第六章第六章（Vector and Its Linear Operation）四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系三、空

3、间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1/24/20234返回返回上页上页下页下页目录目录一、向量的概念一、向量的概念(Concept of Vector)表示法:向量的模:向量的大小,向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为 1 的向量,零向量:模为 0 的向量,有向线段 M1 M2,或 a,1/24/20235返回返回上页上页下页下页目录目录规定:零向量与任何向量平行;若向量 a 与 b大小相等,方向相同,则称 a 与 b 相等,记作 ab;若向量 a 与 b 方向相同或相反,则

4、称 a 与 b 平行,ab;与 a 的模相同,但方向相反的向量称为 a 的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称 两向量共线.若 k(3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此 k 个向量共面.记作a;1/24/20236返回返回上页上页下页下页目录目录二、向量的线性运算二、向量的线性运算1.向量的加法向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.（Vectors Linear Operation）1/24/20237返回返回上页上页下页下页目录目录1/24/20238返回返回上页上页下页下页目录目录三角不等式2.向量的减法向量的

5、减法1/24/20239返回返回上页上页下页下页目录目录 是一个数,规定:可见 与 a 的乘积是一个新向量,记作总之:运算律:结合律分配律因此3.向量与数的乘法向量与数的乘法1/24/202310返回返回上页上页下页下页目录目录设 a 为非零向量,则(为唯一实数)证证:“”.,取 且再证数 的唯一性.则ab设 ab取正号,反向时取负号,a,b 同向时则 b 与 a 同向,设又有 b a,定理定理1 1/24/202311返回返回上页上页下页下页目录目录“”则例例1 设 M 为解解:ABCD 对角线的交点,已知 b a,b0a,b 同向a,b 反向ab（自学课本（自学课本例例12）1/24/20

6、2312返回返回上页上页下页下页目录目录三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一定点 o,坐标面 卦限(八个)zox面1.空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念（Rectangular Coordinates system in Space）1/24/202313返回返回上页上页下页下页目录目录向径坐标轴上的点 P,Q,R;坐标面上的点 A,B,C点点 M特殊点的坐标:有序数组(称为点 M 的坐标坐标)原点 O(0,0,0);在直角坐标系下1/24/202314返回返回上页

7、上页下页下页目录目录坐标轴:坐标面:1/24/202315返回返回上页上页下页下页目录目录在空间直角坐标系下,设点 M 则沿三个坐标轴方向的分向量分向量.的坐标为此式称为向量 r 的坐标分解式坐标分解式,任意向量 r 可用向径 OM 表示.2.向量的坐标表示向量的坐标表示1/24/202316返回返回上页上页下页下页目录目录四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:1/24/202317返回返回上页上页下页下页目录目录求解以向量为未知元的线性方程组解解:2 3,得代入得例例2（课本（课本例例3）1/24/202318返回返回上页上页下页下页目录目录在A

8、B直线上求一点 M,使解解:设 M 的坐标为如图所示及实数得即例例3 已知两点（课本（课本例例4）1/24/202319返回返回上页上页下页下页目录目录得定比分点公式定比分点公式:点 M 为 AB 的中点,于是得中点公式中点公式:说明说明:由1/24/202320返回返回上页上页下页下页目录目录五、向量的模五、向量的模（Module）、方向角、投影、方向角、投影 1.向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与1/24/202321返回返回上页上页下页下页目录目录证证:即为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点例例4 求证以以（自学课本（

9、自学课本例例5）1/24/202322返回返回上页上页下页下页目录目录等距解解:设该点为解得故所求点为及思考思考:(1)如何求在 xoy 面上与A,B 等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B 等距离之点的轨迹方程?离的点.例例5 在 z 轴上求与两点（自学课本（自学课本 例例6）1/24/202323返回返回上页上页下页下页目录目录(1)设动点为利用得(2)设动点为利用得且例例6 已知两点和解解:求提示提示:（自学课本（自学课本 例例7）1/24/202324返回返回上页上页下页下页目录目录设有两非零向量 任取空间一点 O,称 =AOB(0 )为向量 的夹角.类似可定义向量与轴,轴与

10、轴的夹角.与三坐标轴的夹角,为其方向角方向角.方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦.记作2.方向角与方向余弦方向角与方向余弦(Direction Angle and Cosine)1/24/202325返回返回上页上页下页下页目录目录方向余弦的性质:1/24/202326返回返回上页上页下页下页目录目录和的模、方向余弦和方向角.解解:计算向量例例7 已知两点（课本（课本 例例8）1/24/202327返回返回上页上页下页下页目录目录解解:已知角依次为求点 A 的坐标.则因点 A 在第一卦限,故于是故点 A 的坐标为 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 例例8 设点 A 位于第一卦限,（自学课本（

11、自学课本 例例9）1/24/202328返回返回上页上页下页下页目录目录3.向量在轴上的投影向量在轴上的投影(Projection).空间一点在轴上的投影:设 ，则数 称为向量 在 轴上的投影，记作 或 .则设或记作过点 作轴 的垂直平面，交点 即为点 在轴 上的投影.1/24/202329返回返回上页上页下页下页目录目录性质性质1（即即 ）,其中其中 为向量为向量 与与 轴的夹角轴的夹角;性质性质2（即（即 ）;性质性质3（即（即 ）.1/24/202330返回返回上页上页下页下页目录目录例例9 设立方体的一条对角线为OM,一条棱为OA,且 ,求OA在OM方向上的投影Prj 。解解 记 有于

12、是Prj 课后练习课后练习习题习题6-1 3；7；16；17；20；221/24/202331返回返回上页上页下页下页目录目录内容小结内容小结1.向量的概念及其线性运算向量的概念及其线性运算2.空间直角坐标系空间直角坐标系3.利用坐标变量作向量的线性运算利用坐标变量作向量的线性运算4.向量的模、方向角、投影向量的模、方向角、投影1/24/202332返回返回上页上页下页下页目录目录思考与练习思考与练习解解:因1.设求向量在 x 轴上的投影及在 y轴上的分向量.在 y 轴上的分向量为故在 x 轴上的投影为1/24/202333返回返回上页上页下页下页目录目录设求以向量行四边形的对角线的长度.该平行四边形的对角线的长度各为 对角线的长为解：解：为边的平2.1/24/202334