初等函数与经济函数.ppt

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1、（四）初等函数1、基本初等函数以上六类函数称为基本初等函数.A.常函数 yOxB.幂函数yOx1 21yOxB.幂函数 yxOoxC.指数函数D.对数函数xay=xOE.三角函数y1o-1y1o-1E.三角函数E.三角函数F.反三角函数F.反三角函数2、初等函数例如：是初等函数。由基本初等函数经过有限次四则运算以及函数复合所得到的仅用一个解析式表达的函数，称为初等函数。注意 分段函数：有些函数，对于其定义域内自变量不同的值，不能用一个统一的解析式表示，而要用两个或 两个以上的式子表示，这类函数称为分段函数。分段函数是一个函数，而不是两个或几个函数分段函数是初等函数吗？问题1.5常用经济函数及其

2、应用单利与复利利息是只指借贷者向贷款者支付的报酬,它是根据本金的数额按一定比例计算出来的.利息又有存款利息、债券利息等几种形式.1.单利计算公式2.复利计算公式需求函数、供给函数与市场均衡需求函数是指在某一特定时期内，市场上某种商品的各种可能的购买量和决定这些购买量的诸因素之间的数量关系.假定其他因素不变,则决定某种商品需求量的因素就是这种商品的价格.Qd=f(P),Qd是需求量,P是价格.需求函数的反函数称为价格函数,习惯上将价格函数也称为需求函数.供给函数供给函数是指在某一特定时期内,市场上某种商品的各种可能的供给量和决定这些供给量的诸因素之间的数量关系.Qs=f(P),Qs表示供给量,P

3、表示价格.当商品的价格提高时,商品的供给量将会增加,供给量是关于价格的单调增加函数.市场均衡 如果需求量等于供给量，则这种商品就达到了市场均衡.Qs=Qd,P0,这个价格P0称为该商品的市场均衡价格.当市场价格高于均衡价格时,将出现供过于求的现象,当市场价格低于均衡价格时,将出现供不应求的现象.Qs=Qd=Q0，称为市场均衡数量.成本函数、收入函数与利润函数成本函数表示费用总额与产量之间的依赖关系,产品成本分为固定成本和变动成本.变动成本是指随产量变化而变化的那部分成本.成本函数C=C(x),x为产量.当产量为0时,对应的成本函数值就是产品的固定成本值.收入函数与利润函数销售某种产品的收入R，

4、等于产品的单位价格P乘以销售x，即R=Px,称为收入函数.而销售利润L等于收入R减去成本C，L=R-C，称其为利润函数.生产者盈利；生产者亏损；生产者盈亏平衡；数列极限数列极限函函 数数 极极 限限左右极限左右极限极限存在的极限存在的充要条件充要条件无穷大无穷大两者的两者的关系关系无穷小无穷小的性质的性质极限的性质极限的性质求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小判定极限判定极限存在的准则存在的准则两个重要两个重要极限极限无穷小的比较无穷小的比较等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质唯一性唯一性极限极限数列极限数列极限一、概念的引入一、概念的引入1 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥

5、细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽播放播放正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积2 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”二、数列的定义二、数列的定义例如例如注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取2.数列是整标函数数列是整标函数播放播放三、数列的极限三、数列的极限观察数列观察数列问题问题:当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某是否

6、无限接近于某一确定的数值一确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:对极限仅仅停留于直观的描述和观察是非常不够的对极限仅仅停留于直观的描述和观察是非常不够的凭观察能判定数列凭观察能判定数列的极限是多少吗的极限是多少吗显然不能显然不能问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语如何用数学语言刻划它言刻划它.这就是这就是“当当n无限增大时，无限增大时，xn无限地接近于无限地接近于1”的实的实质和精确的数学描述。质和精确的数学描述。如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注注定义定义1习惯上称为极限的习惯

7、上称为极限的N定义，它用两个定义，它用两个动态指标动态指标和和N刻画了极限的实质，用刻画了极限的实质，用|xna|定量地刻画了定量地刻画了xn 与与a 之间的距离任意小，即任给之间的距离任意小，即任给0标志着标志着“要多小要多小”的要求，用的要求，用n N表示表示n充分充分大。这个定义有三个要素：大。这个定义有三个要素：10，正数正数，20，正数正数N，30，不等式不等式|xna|（n N）定义中的定义中的具有二重性：一是具有二重性：一是的的任意性，二是任意性，二是的的相对固定性。相对固定性。的的二重性体现了二重性体现了xn 逼近逼近a 时时要要经历一个无限的过程（这个无限过程通过经历一个无限

8、的过程（这个无限过程通过的的任意任意性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通过过的的相对固定性来实现）。相对固定性来实现）。定义中的定义中的N是一个特定的项数，与给定的是一个特定的项数，与给定的有关。有关。重要的是它的存在性，它是在重要的是它的存在性，它是在相对固定后才能确定相对固定后才能确定的，且由的，且由|xna|来来选定，一般说来，选定，一般说来，越小，越小，N越越大，但须注意，对于一个固定的大，但须注意，对于一个固定的，合乎定义要求的合乎定义要求的N不

9、是唯一的。用定义验证不是唯一的。用定义验证xn 以以a 为为极限时，关键在极限时，关键在于设法由给定的于设法由给定的，求出一个相应的求出一个相应的N，使当，使当n N时，时，不等式不等式|xna|成立。成立。在在证明极限时证明极限时，n，N之间的逻辑关系如下图所示之间的逻辑关系如下图所示|xna|n N定义中的不等式定义中的不等式|xna|（n N）是指下面是指下面一串不等式一串不等式都成立，都成立，而对而对则则不要求它们一定成立不要求它们一定成立数列极限的几何意义数列极限的几何意义使得使得 N 项以后的所有项项以后的所有项都落在都落在a点的点的邻域邻域因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个

10、点因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点 这就表明数列这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外所对应的点列除了前面有限个点外都能凝聚在点都能凝聚在点a的的任意小邻域内，同时也表明数列任意小邻域内，同时也表明数列xn中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛收敛”。注意：注意：数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1 证明证明因此因此则当则当n N时，有时，有 利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式利用定义验证数列极限，有时

11、遇到的不等式|xna|不易考虑，往往采用把不易考虑，往往采用把|xna|放大的方法。放大的方法。若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单的不等式去寻找项数指标的不等式去寻找项数指标N放大的原则：放大的原则：放大后的式子较简单放大后的式子较简单 放大后的式子以放大后的式子以0为极限为极限例例2 证明证明证明证明则当则当n N时，有时，有例例3证证若若q=0则上式显然成立则上式显然成立下证下证q0的情形的情形（不妨设（不妨设1）注注在在论证极限问题时，都可以假设论证极限问题时，都可以假设1，因为因为若对小于若对小于1的的已经得到项数指标已经得到项

12、数指标N，则，则对于对于大于大于1的的上述项数指标上述项数指标N仍合乎定义要求。仍合乎定义要求。例例4证证四、四、数列极限的性质数列极限的性质1.有界性有界性例如例如,有界有界无界无界定理定理1 1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.证证由定义由定义,注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散.2.唯一性唯一性定理定理2 2 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限.分析分析直接证明较困难，采用反证法直接证明较困难，采用反证法由由数列极限的几何意义，数列极限的几何意义，在在a的任一的任一邻域内聚集着邻域内聚集着x

13、n中的无穷多个点，而在中的无穷多个点，而在该邻域之外至多有该邻域之外至多有xn中的有限个点中的有限个点证证用反证法用反证法a b不妨设不妨设a b矛盾，这说明结论成立矛盾，这说明结论成立例例5证证由定义由定义,区间长度为区间长度为1.不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的的区间内区间内.在数列在数列 xn 中中任意抽取无限多项并保持这些项在任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，得到的数列称为子数列：原数列中的先后次序，得到的数列称为子数列：定理定理3 3若若数列数列xn 收敛于收敛于a ，则，则它的任一子数列它的任一子数列也收敛，且极限也是也收敛，且极限也是a 这一定理表明的是收敛的数列与其子数列之间的关这一定理表明的是收敛的数列与其子数列之间的关系。由此可知，若数列系。由此可知，若数列xn 有有两个子数列收敛于不同的两个子数列收敛于不同的极限值，则极限值，则xn一定是发散的。一定是发散的。例例6对于数列对于数列xn 证证此时有此时有此时有此时有总之：总之：恒有恒有五五.小结小结数列数列:研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限:极限思想极限思想,精确定义精确定义,几何意义几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质:有界性唯一性有界性唯一性.