CH3导数与微分.ppt

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1、Chapt 3 导数与微分导数与微分1/24/20231 微积分是一门以变量为研究对象、以极微积分是一门以变量为研究对象、以极限方法作为研究工具的数学学科限方法作为研究工具的数学学科.应用极限应用极限方法研究各类变化率问题和几何学中曲线的方法研究各类变化率问题和几何学中曲线的切线问题，就产生了微分学；应用极限方法切线问题，就产生了微分学；应用极限方法研究诸如曲边梯形的面积等涉及到微小量无研究诸如曲边梯形的面积等涉及到微小量无穷积累的问题，就产生了积分学穷积累的问题，就产生了积分学.1/24/20232 微积分的主要内容是微分学与积分学微积分的主要内容是微分学与积分学.而而微分学的基本概念是导数

2、与微分微分学的基本概念是导数与微分.导数的思想导数的思想最初是法国数学家费马最初是法国数学家费马(Fermat)(Fermat)为解决极大，为解决极大，极小问题而引入的极小问题而引入的.但导数作为微分学中最主但导数作为微分学中最主要概念，却是牛顿和莱布尼茨分别在研究力学要概念，却是牛顿和莱布尼茨分别在研究力学与几何学过程中建立的与几何学过程中建立的.1/24/20233牛顿牛顿 莱布尼茨莱布尼茨1/24/20234莱布尼茨（莱布尼茨（Leibniz,1646-1716Leibniz,1646-1716）是）是1717、1818世纪世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，之交德国最重要的数

3、学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才一个举世罕见的科学天才.他博览群书，涉猎百他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献的贡献.莱布尼茨出生于德国东部莱比锡的一个莱布尼茨出生于德国东部莱比锡的一个书香之家，父亲是莱比锡大学的道德哲学教授，书香之家，父亲是莱比锡大学的道德哲学教授，母亲出生在一个教授家庭。莱布尼茨的父亲在他母亲出生在一个教授家庭。莱布尼茨的父亲在他年仅年仅6 6岁时去世，给他留下了丰富的藏书岁时去世，给他留下了丰富的藏书.莱布尼莱布尼茨因此得以广泛接触古希腊、罗马文化，阅读了茨因此得以广泛接触古希腊、罗马

4、文化，阅读了许多著名学者的著作，由此获得了坚实的文化功许多著名学者的著作，由此获得了坚实的文化功底和明确的学术目标底和明确的学术目标.1/24/202351515岁时，他进了莱比锡大学学习法律，一进校岁时，他进了莱比锡大学学习法律，一进校便跟上了大学二年级标准的人文学科的课程，便跟上了大学二年级标准的人文学科的课程，还广泛阅读了培根、开普勒、伽利略等人的著还广泛阅读了培根、开普勒、伽利略等人的著作，并对他们的著述进行深入的思考和评价作，并对他们的著述进行深入的思考和评价.在在听了教授讲授欧几里德的听了教授讲授欧几里德的几何原本几何原本的课程的课程后，莱布尼茨对数学产生了浓厚的兴趣后，莱布尼茨对

5、数学产生了浓厚的兴趣.17.17岁时岁时在耶拿大学学习了短时期的数学，并获得了哲在耶拿大学学习了短时期的数学，并获得了哲学硕士学位学硕士学位.20.20岁时，莱布尼茨转入阿尔特道夫岁时，莱布尼茨转入阿尔特道夫大学大学.这一年，他发表了第一篇数学论文这一年，他发表了第一篇数学论文论组论组合的艺术合的艺术.这是一篇关于数理逻辑的文章，其这是一篇关于数理逻辑的文章，其基本思想是出于把理论的真理性论证归结于一基本思想是出于把理论的真理性论证归结于一种计算的结果种计算的结果.这篇论文虽不够成熟，但却闪耀这篇论文虽不够成熟，但却闪耀着创新的智慧和数学才华着创新的智慧和数学才华.1/24/20236莱布尼茨

6、在阿尔特道夫大学获得博士学位后便莱布尼茨在阿尔特道夫大学获得博士学位后便投身外交界投身外交界.从从16711671年开始，他利用外交活动开年开始，他利用外交活动开拓了与外界的广泛联系，尤以通信作为他获取拓了与外界的广泛联系，尤以通信作为他获取外界信息、与人进行思想交流的一种主要方式外界信息、与人进行思想交流的一种主要方式.在出访巴黎时，莱布尼茨深受帕斯卡事迹的鼓在出访巴黎时，莱布尼茨深受帕斯卡事迹的鼓舞，决心钻研高等数学，并研究了笛卡儿、费舞，决心钻研高等数学，并研究了笛卡儿、费马、帕斯卡等人的著作马、帕斯卡等人的著作.1673.1673年，莱布尼茨被推年，莱布尼茨被推荐为英国皇家学会会员荐为

7、英国皇家学会会员.此时，他的兴趣已明显此时，他的兴趣已明显地朝向了数学和自然科学，开始了对无穷小算地朝向了数学和自然科学，开始了对无穷小算法的研究，独立地创立了微积分的基本概念与法的研究，独立地创立了微积分的基本概念与算法，和牛顿并蒂双辉共同奠定了微积分学算法，和牛顿并蒂双辉共同奠定了微积分学.1/24/2023716761676年，他到汉诺威公爵府担任法律顾问兼年，他到汉诺威公爵府担任法律顾问兼图书馆馆长图书馆馆长.1700.1700年被选为巴黎科学院院士，年被选为巴黎科学院院士，促成建立了柏林科学院并任首任院长促成建立了柏林科学院并任首任院长.1716.1716年年1111月月1414日，

8、莱布尼茨在汉诺威逝世，终年日，莱布尼茨在汉诺威逝世，终年7070岁岁.莱布尼茨对中国的科学、文化和哲学思想十莱布尼茨对中国的科学、文化和哲学思想十分关注，是最早研究中国文化和中国哲学的分关注，是最早研究中国文化和中国哲学的德国人德国人.1/24/20238莱布尼茨曾说：莱布尼茨曾说：“在从世界开始到牛顿生活在从世界开始到牛顿生活的时代的全部数学中，牛顿的工作超过了一半的时代的全部数学中，牛顿的工作超过了一半”.的确，牛顿除了在天文及物理上取得伟大的确，牛顿除了在天文及物理上取得伟大的成就，在数学方面，他从二项式定理到微积的成就，在数学方面，他从二项式定理到微积分，从代数和数论到古典几何和解析几

9、何、有分，从代数和数论到古典几何和解析几何、有限差分、曲线分类、计算方法和逼近论，甚至限差分、曲线分类、计算方法和逼近论，甚至在概率论等方面，都有创造性的成就和贡献在概率论等方面，都有创造性的成就和贡献.1/24/20239费马费马 1/24/202310费马费马 著名数学家，于著名数学家，于16011601年年8 8月月1717日在法国南日在法国南部图卢兹附近波蒙部图卢兹附近波蒙德洛马涅出生德洛马涅出生.早年于家乡早年于家乡受教育，后入图卢兹大学供读法律，毕业后任受教育，后入图卢兹大学供读法律，毕业后任职律师职律师.自自16311631年起任图卢兹议会议员年起任图卢兹议会议员.任职期任职期间

10、，他利用工余时间钻研数学，并经常以书信间，他利用工余时间钻研数学，并经常以书信与笛卡儿、梅森、惠更斯等著名学者交往，讨与笛卡儿、梅森、惠更斯等著名学者交往，讨论数学问题。他饱览群书，精通数国文字，掌论数学问题。他饱览群书，精通数国文字，掌握多门自然科学的知识握多门自然科学的知识.虽年近三十才认真注意虽年近三十才认真注意数学，但成就累累数学，但成就累累.1665 1665年年1 1月月1212日在卡斯特尔日在卡斯特尔逝世逝世.1/24/202311 他生前由于性情淡泊，为人谦逊，因此较少他生前由于性情淡泊，为人谦逊，因此较少发表论著，大多成果只留在手稿、通信或书页发表论著，大多成果只留在手稿、通

11、信或书页之空白处之空白处.他的儿子于他的儿子于16791679年把这些遗作整理年把这些遗作整理汇集成书汇集成书共两卷共两卷，在图卢兹出版，在图卢兹出版.费马对费马对数论尤其钟爱，他证明或提出众多命题，如形数论尤其钟爱，他证明或提出众多命题，如形如如4n+14n+1之素数均可唯一地表示两个平方数之和；之素数均可唯一地表示两个平方数之和；费马小定理，即如费马小定理，即如p p是素数，是素数，a a是正整数，则是正整数，则p p|(ap-a|(ap-a)等，其中以等，其中以“费马大定理费马大定理”最为著最为著名，即不可能有满足名，即不可能有满足xn+yn=znxn+yn=zn，(n2)(n2)之正之

12、正整数解整数解.1/24/202312这命题载于丢番图这命题载于丢番图算术算术16211621年拉丁文译年拉丁文译本第二卷之空白处：本第二卷之空白处：“一个高于二次的幂一个高于二次的幂是不可能分成两个同次的幂是不可能分成两个同次的幂.为此，我确信已为此，我确信已发现一美妙的证法，可惜这里空白地方太少，发现一美妙的证法，可惜这里空白地方太少，写不下写不下.”.”后来因找不到费马的证明，这激发后来因找不到费马的证明，这激发起历代数学家之研究，直至起历代数学家之研究，直至19951995年才由英国年才由英国数学家怀尔斯数学家怀尔斯(Andrew(Andrew WilesWiles)彻底证明费马彻底证

13、明费马大定理，历时超过大定理，历时超过300300多年多年.1/24/202313一一、引例、引例1.直线运动的速度问题直线运动的速度问题如图如图,取极限得取极限得瞬时速度瞬时速度第一节第一节 导数的概念导数的概念1/24/2023142.切线问题切线问题(Tangent Lines)切线：割线的极限切线：割线的极限MNT割线割线MN绕点绕点M旋旋转而趋向转而趋向极限位置极限位置MT,直线直线MT就称就称为曲线为曲线C在点在点M处处的切线的切线.1/24/2023152.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置1/24/2023162.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极

14、限位置切线位置切线位置1/24/2023172.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置1/24/2023182.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置1/24/2023192.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置1/24/2023202.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置1/24/2023212.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置1/24/2023222.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置1/24/2023232.切线问题切线问题割线的极限位置割线的

15、极限位置切线位置切线位置1/24/2023242.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置1/24/2023251/24/202326二、导数的定义二、导数的定义 (Definition of Derivatives)1.定义定义1/24/202327导数定义其它常见形式：导数定义其它常见形式：即即1/24/2023281）注注12 导函数导函数1/24/202329很明显很明显2）1/24/202330右导数右导数:(Right-hand Derivative)三、三、单侧导数单侧导数左导数左导数:(Left-hand Derivative)1/24/202331步骤步骤

16、:例例1 1解解1/24/202332例例2 2解解更一般地更一般地例如例如,1/24/202333例例3 3解解1/24/202334例例4 4解解1/24/202335例例5 5解解1/24/202336四、导数的几何意义四、导数的几何意义1 几何意义几何意义(Geometric Interpretation)切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为1/24/202337例例6 6解解根据导数的几何意义根据导数的几何意义,得切线斜率为得切线斜率为所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为1/24/202338五、函数可导与连续的关系五、函数可导与连续的关系定理定理 凡可导函数都是连续

17、函数凡可导函数都是连续函数.证证1/24/202339例例7 7解解1/24/202340解解例例8 81/24/202341小结1.导数的实质导数的实质:增量比的极限增量比的极限;3.导数的几何意义导数的几何意义:切线的斜率切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本的方法求导数最基本的方法:由定义求导数由定义求导数.6.判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.1/24/202342思考题思考题1/24/202343思考题解答思考题解答1/

18、24/2023441/24/2023451/24/2023461/24/202347练习题答案练习题答案1/24/202348一、一、和、差、积、商的求导法则和、差、积、商的求导法则定理定理2定理定理1第二节第二节 求导法则求导法则1/24/202349证证(1)(1)(2)(2)略略.1/24/202350推论推论例例1 1解解1/24/202351定理定理3推论推论注意注意:1/24/202352例例2 2解解定理定理41/24/202353证证1/24/202354注意注意:1/24/202355例例3 3解解同理可得同理可得1/24/202356例例4 4解解同理可得同理可得例例5 5

19、分段函数分段函数求导时求导时,分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求.1/24/202357解解1/24/202358例例6 6解解1/24/2023591/24/202360二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则证证法则法则1/24/202361于是有于是有即是即是反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.1/24/202362例例7 7解解同理可得同理可得1/24/202363例例8 8解解同理可得同理可得1/24/202364例例9 9解解特别地特别地1/24/202365三、复合函数的求导法则链式法则链式法则（Chain Rules)：证明证明1/2

20、4/202366注注1：链式求导法则，即：链式求导法则，即因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自乘以中间变量对自变量求导变量求导.1/24/202367注注2 例例1010解解1/24/202368例例1111解解注：熟练以后，可以不写出中间变量，此例可以注：熟练以后，可以不写出中间变量，此例可以这样写：这样写：1/24/202369例例1212解解1/24/2023701 常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式小结小结1/24/2023712 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)

21、(),(xvvxuu=可导，则可导，则（1）vuvu =)(,（2）uccu=)(（3）vuvuuv+=)(,（4）)0()(2 -=vvvuvuvu.(是常数是常数)1/24/2023723 复合函数的求导法则复合函数的求导法则利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决决.1/24/202373思考题思考题 求曲线求曲线 上与上与 轴平行轴平行的切线方程的切线方程.1/24/202374思考题解答思考题解答令令切点为切点为所求切线方程为所求切线方程为和和1/24/202375练练 习习 题题1/24/2023761/24/202377练习题答案练习

22、题答案1/24/202378定义定义隐函数的显化隐函数的显化问题问题2:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?问题问题1:隐函数是否可导隐函数是否可导?第三节第三节 隐函数及隐函数及参数式函数的导数参数式函数的导数1/24/202379一、隐函数求导法一、隐函数求导法解解直接对方程两边求导直接对方程两边求导1/24/202380对数求导法对数求导法1 对数求导法对数求导法2 2 适用范围适用范围:先在先在 两边取对数两边取对数,然后利用隐函数的然后利用隐函数的求导方法求出求导方法求出y的导数的导数.1/24/202381幂指函数求导：幂指函数求导：1/24/2023

23、82例例2 2解解等式两边取对数得等式两边取对数得1/24/2023831/24/202384例例3 3解解等式两边取对数得等式两边取对数得1/24/202385二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数消参数法消参数法 消参困难或无法消参的求导可用复合函数消参困难或无法消参的求导可用复合函数 求导方法求导方法1 由参数方程确定的函数的定义由参数方程确定的函数的定义2 由参数方程所确定的函数的求导数的方法由参数方程所确定的函数的求导数的方法1/24/202386由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得1/24/2023871/24/202388小结隐函

24、数求导法则隐函数求导法则:直接对方程两边求导直接对方程两边求导;对数求导法对数求导法:对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求按隐函数的求导法则求导导法则求导;参数方程求导参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则实质上是利用复合函数求导法则.1/24/202389思考题思考题1/24/202390思考题解答思考题解答不对不对1/24/202391练练 习习 题题1/24/2023921/24/2023931/24/202394练习题答案练习题答案1/24/2023951/24/202396变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度问题问题 即加速度是位移对时间的导数的导数。即加速度是位移

25、对时间的导数的导数。第四节第四节 高阶导数高阶导数1/24/202397高阶导数的定义记作记作类似地，类似地，二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,记作记作1/24/202398三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.高阶导数的定义高阶导数的定义1/24/202399高阶导数的求法例例1 1解解1 1 直接法直接法求高阶导数就是多次接连地求导数求高阶导数就是多次接连地求导数.例例2 21/24/2023100例例3 3解解1/24/2023101例例4 4解解2 数学归纳法证明高阶导数数学归纳法

26、证明高阶导数1/24/2023102例例5 5解解同理可得同理可得1/24/20231033 高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则公式（公式（3）称为）称为莱布尼兹公式莱布尼兹公式1/24/2023104例例6 6解解1/24/20231053 3 间接法间接法几个初等函数的高阶导数几个初等函数的高阶导数利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式,通过四则通过四则运算运算,变量代换等方法变量代换等方法,求出求出n阶导数阶导数.1/24/2023106例例7 7解解1/24/2023107例例8 8解解1/24/2023108小结与思考判断题小结与思考判断题高阶导数的定义高阶导数的定义;高阶导

27、数的运算法则高阶导数的运算法则;n阶导数的求法阶导数的求法;几个初等函数的高阶导数几个初等函数的高阶导数.1/24/2023109思考题思考题设设 连续，且连续，且 ，求求 .1/24/2023110思考题解答思考题解答可导可导不一定存在不一定存在故用定义求故用定义求1/24/2023111练练 习习 题题1/24/20231121/24/20231131/24/2023114练习题答案练习题答案1/24/20231151/24/20231161 1 面积问题面积问题 设有一边长为设有一边长为 的正方形的正方形第五节第五节 函数的微分函数的微分1/24/20231172 自由落体问题自由落体问

28、题1/24/2023118一、微分的概念一、微分的概念 定义定义1/24/2023119MNT）二、几何意义二、几何意义(如图如图)P 1/24/2023120注注1 1：注注2 2：注注3 3：1/24/2023121三三 可微与可导关系可微与可导关系定理定理证证(1)必要性必要性1/24/2023122(2)充分性充分性注注1：1/24/2023123函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分微分导数导数注注3：导数与微分的区别：导数与微分的区别1/24/2023124例例1 1解解1/24/2023125四 基本初等函数的微分公式与法则基本初等函数的微分公式与法则

29、先先计算函数的导数计算函数的导数,再再 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1 基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式1/24/20231262 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则1/24/20231273 复合函数的微分法则复合函数的微分法则结论结论：微分形式的不变性微分形式的不变性1/24/2023128例例2 2解解解解例例3 31/24/2023129例例4 4解解1/24/2023130例例5 5解解在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使使等式成立等式成立.1/24/2023131小结微分学所要解决的两类问题微分学所要解

30、决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做叫做微分学微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系:1/24/2023132导数与微分的区别导数与微分的区别:1/24/2023133思考题思考题1/24/2023134思考题解答思考题解答说法不对说法不对.从概念上讲，微分是从求函数增量引从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归

31、纳出函数增量与自变量增量之比率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念的极限，它们是完全不同的概念.1/24/2023135练练 习习 题题1/24/20231361/24/2023137练习题答案练习题答案1/24/20231381/24/2023139微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用一、计算函数增量的近似值一、计算函数增量的近似值二、计算函数的近似值二、计算函数的近似值三、误差估计三、误差估计四、小结四、小结1/24/2023140一、计算函数增量的近似值一、计算函数增量的近似值例例1 1解解1/24/2023141二、计算函数的近似值二、计算函数的近似值

32、例例1 1解解1/24/20231421/24/2023143常用近似公式常用近似公式证明证明1/24/2023144例例2 2解解1/24/2023145三、误差估计由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做差，我们把它叫做间接测量误差间接测量误差.定义：定义：问题问题:在实际工作中在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得绝对误差与相对误差无法求得?1/24/20231

33、46办法办法:将误差确定在某一个范围内将误差确定在某一个范围内.通常把绝对误差限与相对误差限简称为通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误绝对误差差与与相对误差相对误差.1/24/2023147例例3 3解解1/24/2023148四、小结近似计算的基本公式近似计算的基本公式1/24/2023149练练 习习 题题1/24/20231501/24/2023151练习题答案练习题答案1/24/2023152导数在经济学上的简单应用导数在经济学上的简单应用一一.边际函数边际函数定义定义3.4 设函数设函数可导可导,则导函数则导函数称为称为的边际函数的边际函数.称为称为在在处的边际处的边际函数值函数

34、值.1/24/2023153边际函数值的意义边际函数值的意义:表示在表示在处处当当 x 增加一个单位时增加一个单位时 y 的改变量的改变量.注注 正数表示增加正数表示增加,负数表示减少负数表示减少.例例1 设函数设函数求求解解当当 x 增加一个单位时增加一个单位时 y 增加增加300个单位个单位.1/24/2023154边际成本的经济含义边际成本的经济含义:表示当产量表示当产量达到达到1.边际成本边际成本时时,再增加一个单位的产量所引再增加一个单位的产量所引起起的总成本的变化量的总成本的变化量.例例2 已知某商品的成本函数是已知某商品的成本函数是求求 Q=10时的总成本、平均成本、边际成本时的

35、总成本、平均成本、边际成本.解解1/24/2023155边际收益的经济含义边际收益的经济含义:表示当销售量表示当销售量达到达到2.边际收益边际收益时时,再增加一个单位的销售量所引再增加一个单位的销售量所引起的总收益的变化量起的总收益的变化量.例例3 已知某商品的收益函数是已知某商品的收益函数是求求 Q=50时的总收益、平均收益、边际收益时的总收益、平均收益、边际收益.解解1/24/2023156边际利润的经济含义边际利润的经济含义:表示当销售量表示当销售量达到达到3.边际利润边际利润时时,再增加一个单位的销售量所引再增加一个单位的销售量所引起的总利润的变化量起的总利润的变化量.例例4 设某厂每

36、月生产产品的固定成本为设某厂每月生产产品的固定成本为1000元元,生产生产 x 单位产品的可变成本为单位产品的可变成本为(元元).如果每单位产品的售价为如果每单位产品的售价为30元元,试求试求:边际成本边际成本,利润函数利润函数,边际利润为零时的产量边际利润为零时的产量.1/24/2023157解解令令得得含义含义:当月产量为当月产量为1000时时,再多生产再多生产一个单位产品不会增加利润一个单位产品不会增加利润.1/24/2023158二二.函数的弹性函数的弹性若若问问:自变量改变百分之一时自变量改变百分之一时,函数值改函数值改变变百分之几百分之几?1/24/2023159设函数设函数处可导

37、处可导,定义定义3.5在点在点函数的相对改变量函数的相对改变量与自变量的相对改变量与自变量的相对改变量之比之比的极限的极限称为称为处的弹性处的弹性.记作记作:在点在点1/24/2023160而而称为称为两点之间的弧弹性两点之间的弧弹性.在点在点与与若函数若函数内可导内可导,在在则称则称的弹性函数的弹性函数.为为弹性函数值的意义弹性函数值的意义:表示在表示在处处,函数值改变的百分数函数值改变的百分数.自变量改变自变量改变百分之一时百分之一时,1/24/2023161例例5 求求为常数为常数 的弹性函数的弹性函数.解解例例6求求处的弹性处的弹性.在在解解1/24/20231622.需求弹性需求弹性

38、 设需求函数设需求函数可导可导,则称则称为需求弹性为需求弹性.注注(1)因需求函数是减函数因需求函数是减函数,故故为确保为确保定义中人为加一负号定义中人为加一负号.(2)经济含义经济含义:表示在表示在处处当当 P 增加增加1%时时 Q 将减少将减少%.1/24/2023163例例7 已知某商品的需求函数为已知某商品的需求函数为求求 p=20,30时的弹性时的弹性,并给予经济解释并给予经济解释.解解含义含义:1/24/20231643.供给弹性供给弹性 设供给函数设供给函数可导可导,则称则称为供给弹性为供给弹性.注注经济含义经济含义:表示在表示在处处当当 P 增加增加1%时时 Q 将增加将增加%

39、.(2)(1)供给函数是增函数供给函数是增函数.1/24/2023165例例 8 已知某商品的供给函数为已知某商品的供给函数为求求(1)供给弹性函数供给弹性函数(2)p=5时的供给弹性时的供给弹性,并给予经济解释并给予经济解释.解解含义含义:时时,价格上涨价格上涨1%,供应量供应量将将在在增加增加1%.1/24/2023166Chapt 3 导数与微分导数与微分 习题课习题课1/24/2023167求求 导导 法法 则则基本公式基本公式导导 数数微微 分分关关 系系高阶导数高阶导数高阶微分高阶微分一、主要内容1/24/2023168二、典型例题例例1 1解解1/24/2023169例例2 2解解两边取对数两边取对数1/24/2023170例例3 3解解先去掉绝对值先去掉绝对值1/24/20231711/24/2023172例例4 4解解1/24/2023173测测 验验 题题1/24/20231741/24/20231751/24/20231761/24/20231771/24/20231781/24/2023179测验题答案测验题答案1/24/20231801/24/20231811/24/2023182