FE-Ch03.1-3单元与插值函数的构造.ppt

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1、本章重点和应掌握的内容本章重点和应掌握的内容1.用以构造单元插值函数规范化形式的两类自用以构造单元插值函数规范化形式的两类自然坐标的建立方法和特点。然坐标的建立方法和特点。2.构造单元插值函数的两类方法（广义构造单元插值函数的两类方法（广义Lagrange插值函数法和变结点插值函数法）插值函数法和变结点插值函数法）的步骤和特点。的步骤和特点。3.阶谱单元的基本概念和特点，以及它的插值阶谱单元的基本概念和特点，以及它的插值函数的构造方法和意义。函数的构造方法和意义。Chap.3 单元与插值函数的构造单元与插值函数的构造问题：利用广义坐标，建立有限单元法的插值函数方法繁琐，形成的单元矩阵复杂。必须

2、注意：插值函数的构成不取决于求解的微分方程式，插值函数构造方法仅取决于：几何图形（单元形状）、结点数量与位置 以及在单元结点处规定的因变量的数量。3.1 概述 利用广义坐标建立有限单元法的插值函数方法，首先将场函数表示为多项式的形式,然后利用节点条件,将多项式中的待定参数表示成场函数的节点值和单元几何的函数.无疑,形成插值函数的方法烦琐。尤其在形成三角形高阶单元时,利用面积(自然)坐标可以更方便地建立单元插值函数。在单元的选择上在单元的选择上,一维单元可以是一维单元可以是2 2节点线元或节点线元或3 3节点二次元节点二次元,二维单元常用二维单元常用3/63/6节点三角元或节点三角元或4/8/9

3、4/8/9节节点四边元点四边元,三维单元常用三维单元常用4/104/10节点四面体元或节点四面体元或8/208/20节节点六面体元点六面体元。特殊情况下,也可采用五面体元面体元。从节点参数的类型来看,可以仅包含场函数的节点值,也可能包含场函数的导数的节点值。取决于在单元交界面上的连续性的要求,这往往由泛函(或控制微分方程)中场函数导数的最高阶决定的。例如,场函数导数的最高阶为一阶时,仅要求在单元交界面上的场函数连续,即:C0连续性。从运算简单和易于满足收敛性的要求来看从运算简单和易于满足收敛性的要求来看,采用采用幂函数多项式做为插值函数比较合适幂函数多项式做为插值函数比较合适,因而得到广泛因而

4、得到广泛应用应用。然而在一些特殊问题中也有采用然而在一些特殊问题中也有采用3 3次或次或5 5次样次样条函数做为插值函数的条函数做为插值函数的。采用幂函数多项式时采用幂函数多项式时,对于对于仅满足仅满足C C0 0连续性要求的单元连续性要求的单元,则仅在单元的角点配置则仅在单元的角点配置节点节点。随着连续性要求的增加随着连续性要求的增加,单元内部的函数场一单元内部的函数场一般应当二次般应当二次(或高次或高次)变化变化,则要求不仅在单元的角点则要求不仅在单元的角点配置节点配置节点,还要在单元的边配置一至数个边节点还要在单元的边配置一至数个边节点。为为了尽可能构造完全多项式了尽可能构造完全多项式,

5、一般还会附加生成单元内一般还会附加生成单元内部节点部节点。到目前为止到目前为止,关于单元内部节点的利弊都还关于单元内部节点的利弊都还待深入研究待深入研究。一般认为一般认为,在实体在实体(二二,三三)维问题中维问题中,单元内部节点弊大于利单元内部节点弊大于利,应尽量避免应尽量避免。而在板壳问题而在板壳问题中中,单元内部节点对于稳定计算是有贡献的单元内部节点对于稳定计算是有贡献的。一一.LagrangeLagrange插值多项式：插值多项式：1.1.n n个结点构造个结点构造n-1n-1次次LagrangeLagrange插值多项式插值多项式注：注：1)1)1)1)结点结点结点结点i i i i的

6、插值函数的插值函数的插值函数的插值函数,2),2),2),2)i i i i为第个为第个为第个为第个i i i i结点坐标结点坐标结点坐标结点坐标,3),3),3),3)为自然坐标为自然坐标为自然坐标为自然坐标即：即：即：即：为结点当为结点当为结点当为结点当n-1n-1n-1n-1次插值函数。次插值函数。次插值函数。次插值函数。i=1,2ni=1,2ni=1,2ni=1,2n3.2 3.2 一维单元插值函数当构造（一维单元插值函数当构造（C C0 0）2.2.的性质的性质 i=1,2ni=1,2n1)n-11)n-1次插值函数次插值函数,共有共有n n个个2)2)3)3)3.3.构造一维单元插

7、值函数：构造一维单元插值函数：a.Lagrangea.Lagrange线性插值线性插值 (n=2)n=2)或记为：或记为：即：b.b.二次二次LagrangeLagrange插值插值(n=3)n=3)3.2.2 Hermite 单元如果要求在单元的公共界面上保持场函数导数的连续性如果要求在单元的公共界面上保持场函数导数的连续性,则节点参数中还应当包含场函数导数的节点值则节点参数中还应当包含场函数导数的节点值.此时可此时可以采用以采用HermiteHermite插值多项式作为单元插值函数插值多项式作为单元插值函数.对于一维对于一维二节点元二节点元,HermiteHermite插值多项式可以表示为

8、插值多项式可以表示为或者或者其中其中HermiteHermite插值多项式具有以下性质插值多项式具有以下性质当当1 1=0,2 2=1=1时时,和和 是以下形式的三次多项式是以下形式的三次多项式并且并且在在端端部部节节点点最最高高保保持持场场函函数数的的一一阶阶导导数数连连续续性性的的HermiteHermite多多项项式式称称为为一一阶阶HermiteHermite多多项项式式.0.0阶阶的的HermiteHermite多多项项式式就就是是LagrangeLagrange多多项项式式.一一般般地地,在在节节点点处处保保持持至至场场函函数数的的n n阶阶导导数数连连续续性性的的HermiteH

9、ermite多多项项式式称称为为n n阶阶HermiteHermite多多项项式式.在在2 2节节点点时时,它它是是的的2 2n+1n+1次次多多项项式式.函函数数的的2 2阶阶HermiteHermite多项式可以表示为多项式可以表示为或者或者其中3.3.1 三角形单元 在构造三角形单元的插值函数时在构造三角形单元的插值函数时,普遍采用自然普遍采用自然(面积面积)坐标来形成具体的形函数坐标来形成具体的形函数,其方法直观简单其方法直观简单.i iA Ai iA A对于3节点三角形单元,引入面积坐标:Li=Ai/A单元的插值函数可以表示为:Ni=Li1.二次单元二次单元有六个节点,单元插值函数可

10、以表示为i iA Ai iA A其中,是通过除节点i以外所有节点的二根直线方程 的左端项.例如,当i=1时,分别是通过节点4,6的直线方程 的左端项和通过节点2,5,3的直线方程6 61 14 45 52 23 31 1(,0)(,0)(0,(0,)(,0,(,0,)的左端项.是节点i到直线j的正则化的距离(也即面积坐标值),因此可以得到形函数:6 64 45 52 23 31 1(,0)(,0)(0,(0,)(,0,(,0,)通过类似的步骤,可以得到其余各点形函数:6 64 45 52 23 31 1(,0)(,0)(0,(0,)(,0,(,0,)2.三次单元 在构造三角形三次单元插值函数时

11、在构造三角形三次单元插值函数时,仍然采用自仍然采用自然然(面积面积)坐标通过划线法来形成具体的形函数坐标通过划线法来形成具体的形函数.对对于角节点于角节点:6 64 45 52 23 31 1(2/3,1/3(2/3,1/3,0),0)7 78 89 9(1/3,2/3(1/3,2/3,0),0)(2/3,0,1(2/3,0,1/3)/3)(1/3,0,1(1/3,0,1/3)/3)(0,1/3,(0,1/3,2/3)2/3)(0,2/3,1(0,2/3,1/3)/3)1010(1/3,1/3,1(1/3,1/3,1/3)/3)(i=1,2,3(i=1,2,3,4),4)对于边内节点对于边内节

12、点,例如例如4 4节点节点:对于中心节点对于中心节点:二二.二维、三维二维、三维LagrangeLagrange单元族：单元族：1.1.二维情况二维情况 单元结点：单元结点：方向方向n+1n+1个点个点 n n阶插值函数阶插值函数 方向方向m+1m+1个点个点 m m阶插值函数阶插值函数1)1)插值函数：（一般情况）插值函数：（一般情况）很明显，有：很明显，有：可证明：可证明：常用当有：一次单元、二次单元常用当有：一次单元、二次单元2).2).一次单元一次单元4 4结点单元（矩形）结点单元（矩形）双线性双线性LagrangeLagrange 这里插值函数以结点编号，而不是这里插值函数以结点编号

13、，而不是两个方向。原因是为了在计算机上两个方向。原因是为了在计算机上实现方便。实现方便。3).3).二次单元二次单元 9 9结点矩形单元结点矩形单元 (记作：记作：)插值函数：插值函数：角结点：角结点：边中结点：边中结点：内部中结点：内部中结点：2.Lagrange单元族的特点：1)Lagrange单元族、插值函数构造方便2)但存在一些问题：以二维为例，a)内部结点较多 (n-1)(m-1)个线性单元线性单元线性单元线性单元内部结点数为内部结点数为内部结点数为内部结点数为0 0 0 0二次单元二次单元二次单元二次单元内部结点数为内部结点数为内部结点数为内部结点数为1 1 1 1三次单元三次单元

14、三次单元三次单元内部结点数为内部结点数为内部结点数为内部结点数为4 4 4 4单元的次数越高，插值函数构造方便。相应自由度增多。b)但非完全高次项较多，位移模式包括的多项式的项为：通常：通常：p p次多项式，结点数次多项式，结点数n n，n=(p+1)n=(p+1)2 2一次单元一次单元 多项式多项式 4(4(项项)完全的一次式完全的一次式:3,75%:3,75%多余的高次项：多余的高次项：1,25%1,25%二次单元二次单元 9(9(项项)完全的二次式完全的二次式:6,67%:6,67%多余的高次项：多余的高次项：3,33%3,33%三次单元三次单元 16(16(项项)完全的三次式完全的三次

15、式:10,62.5%:10,62.5%多余的高次项：多余的高次项：6,37.5%6,37.5%而多余的项对于提高单元精度没有多少好处。给我们提出而多余的项对于提高单元精度没有多少好处。给我们提出一个问题：如何减少一些不必要的项，以提高效率。一个问题：如何减少一些不必要的项，以提高效率。三.Serendipity单元族 此类单元 Zienkiewicz 首先提出，现在使用较多。作用是减少内部结点。显然，如果是线性单元，则得到的问题与Lagrange单元族一样。对于二次以上的单元对于二次以上的单元对于二次以上的单元对于二次以上的单元,就就就就减少内部结点：减少内部结点：1.81.81.81.8结点

16、结点结点结点四边形二维单元四边形二维单元右下图表示边中结点右下图表示边中结点5 5插值函数的变化规律：插值函数的变化规律：方向二次方向二次LagrangeLagrange插值，插值，方向一次方向一次LagrangeLagrange插值，插值，i=5,6,7,8i=5,6,7,8 显然满足，显然满足，2)2)角结点插值函数：双线性插值函数构成角结点插值函数：双线性插值函数构成以以 为例，显然：为例，显然：a)a)b)b)为了满足为了满足 ，需要修正上述函数，需要修正上述函数可取：可取：同理：同理：角结点插值函数也可以按照以下划线法构成:以(1)和(1)的乘积与通过其相邻的两边中点的直线方程相乘构

17、成,以保证在两个邻边和对边满足插值函数为零.很容易验证上式与前面已有的 相同3)3)插值函数性质：插值函数性质：4)4)位移模式位移模式 单元内：单元内：较较LagrangeLagrange单元族少单元族少 项，结点减少了（自由度）项，结点减少了（自由度）但完全多项式次数不减。但完全多项式次数不减。边界上：边界上：所以单元间界面上位移协调。所以单元间界面上位移协调。5）边结点插值函数：如果只有一个边中点,可以直接表示成(或)方向二次和(或)方向一次式的乘积,以保证在两个邻边和对边满足插值函数为零.对于p次单元,一般边内节点可以采用沿主方向(例如设方向为p次,插值函数表示成方向p次和方向含待定常

18、数的一次式的乘积.角结点插值函数可以表示成一双线性函数和用适当的分数乘以相邻的两个边界上的边内节点函数之和.6 65 52 23 31 1(-1,1)(-1,1)(1,1(1,1)(-1,-1)(-1,-1)(1,-(1,-1)1)4 4(-1/3,-1)(1/3,-1)例如:构造一个六节点的过渡单元,以便进行3次1次过渡变化.要求在底边放置两个边内节点,边结点插值函数可以直接表示成:代入条件:N5(-1/3,-1)=1,N5(1/3,-1)=0;N6(-1/3,-1)=0,N6(1/3,-1)=1;可以求得:A=9/32,B=3,C=9/32,D=-3得到:角结点插值函数可以表示成一双线性函

19、数和用适当的分数乘以相邻的两个边界上的边内节点函数之和:6 65 52 23 31 1(-1,1)(-1,1)(1,1(1,1)(-1,-1)(-1,-1)(1,-(1,-1)1)4 4(-1/3,-1)(1/3,-1)其中:6 65 52 23 31 1(-1,1)(-1,1)(1,1(1,1)(-1,-1)(-1,-1)(1,-(1,-1)1)4 4(-1/3,-1)(1/3,-1)代入条件:N1(-1/3,-1)=0,N1(1/3,-1)=0;N2(-1/3,-1)=0,N2(1/3,-1)=0;可以求得:E=2/3,F=1/3,G=1/3,H=2/3得到:6 65 52 23 31 1

20、(-1,1)(-1,1)(1,1(1,1)(-1,-1)(-1,-1)(1,-(1,-1)1)4 4(-1/3,-1)(1/3,-1)右图表示沿边1562,插值函数的变化规律：N N5 5N N6 6例如:构造一个8节点的过渡单元,边内节点均匀布置。求：边内节点5，7和角结点1的插值函数表达式:12345678 由教材知道，边内点5的插值函数可以直接表示成:12345678 满足条件:N5(0,-1)=1,N6(其它边)=0。边内点7的插值函数可以表示成:代入条件:N7(-1，1/3)=1,N7(-1，-1/3)=0;可以求得:A=9/32,B=27/3212345678 5-7点连线基本方程

21、为 角结点1的插值函数仍然可以按照划线法构成:以5-7点的连线与5-8点的连线的乘积与点1的基本方程相乘构成,以保证在两个邻边和对边满足插值函数为零.5-8点连线基本方程为角点1的插值函数可以表示成:代入条件:N1(-1，-1)=1,可以求得:A=9/3212345678 角点1的插值函数:四.Serendipity单元族图谱 1、八节点三维实体元图形图形 形形 函函 数数2、十二结点三维实体元图形图形 形形 函函 数数3、三十二结点三维实体元 图形图形 形形 函函 数数4、十六结点三维实体元图形图形 形形 函函 数数5、二十四结点三维实体元图形图形 形形 函函 数数6、四结点线性四面体元图形

22、图形 形形 函函 数数7、十结点二次四面体元元图形图形 形形 函函 数数8、二十结点三次四面体元图形图形 形形 函函 数数9、六结点线性楔形元图形图形 形形 函函 数数10、十五结点二次楔形元图形图形 形形 函函 数数11、九结点楔形元图形图形 形形 函函 数数12、十二结点楔形元图形图形 形形 函函 数数 4.5.阶谱单元标准C0型单元有一个缺点，低阶单元高阶单元不能被利用变为(网格不变)阶谱单元克服来这一缺点。4.5.1.一维阶谱单元考虑一维线性单元，其形函数为:若将其改为二次单元，利用变结点的构造方法则形函数为：阶谱单元的基本概念因此单元内的近似场函数 ：其中：原原低阶低阶形函数形函数原

23、原单元的结点参数单元的结点参数二次形函数二次形函数两部分组成两部分组成 单元由线性变为二次，原线性部分保留，不用重新构造所有的形函数；阶谱单元中：不再具备标准型单元形函数的性质，故称之为阶谱函数。若将二次单元升为三次单元，无须改变原边中点的位置，只需增加一个三次函数，且该三次函数在原结点1、2点等于零。例如：判断：而：若利用阶谱函数表示单元的未知场函数可见：类推：可以发现阶谱单元有下面性质：有其物理意义二维、三维情况时，自动满足连续性。我们注意到：在二维或三维情况下，阶谱单元使得单元与单元之间自动满足C0连续。显然阶谱单元的最大优点：在用于自适应分析中可以节省编程的工作量。刚度矩阵：4.5.2

24、.二维、三维阶谱单元二维矩形单元当单元为线性的时，阶谱单元与 Lagrange双线性单元相同。当单元升为8结点的二次单元时，阶谱函数：单元内挠度函数w()的插值表示：其中:Ni采用Hermiter插值法：显然满足插值函数的要求.第3章 小结1.1.从几何形状和连续性要求上区别从几何形状和连续性要求上区别,有限元法中各有有限元法中各有 哪几种类型的单元哪几种类型的单元?2.2.有限元的插值函数为什么通常采用坐标的幂函数有限元的插值函数为什么通常采用坐标的幂函数?3.3.什么是自然坐标什么是自然坐标?为什么通常要在自然坐标内为什么通常要在自然坐标内 建立插值函数建立插值函数?4.4.如何定义面积坐

25、标和体积坐标如何定义面积坐标和体积坐标?采用它们有什么采用它们有什么 方便之处和应注意之处方便之处和应注意之处?5.5.什么是构造单元插值函数的广义什么是构造单元插值函数的广义LagrangeLagrange法法?用它构造插值函数的具体步骤是什么用它构造插值函数的具体步骤是什么?6.6.什么是构造单元插值函数的变结点法什么是构造单元插值函数的变结点法?用它构造用它构造插值函数的具体步骤是什么插值函数的具体步骤是什么?7.7.比较上述两种方法的优缺点比较上述两种方法的优缺点,如何根据单元的如何根据单元的 具体情况选择采用它们具体情况选择采用它们?8.8.什么是什么是Lagrange Lagran

26、ge 单元单元?什么是什么是SerendipitySerendipity单元单元?比较两种单元的各自特点比较两种单元的各自特点.9.9.什么是阶谱单元什么是阶谱单元?它的结点变量和插值函数它的结点变量和插值函数 相对通用的标准型单元有何好处相对通用的标准型单元有何好处?10.10.如何在有限元分析中采用阶谱单元如何在有限元分析中采用阶谱单元?相对于通用的标准型单元有何好处相对于通用的标准型单元有何好处?第3章 关键概念自然坐标自然坐标 面积坐标面积坐标 体积坐标体积坐标 LagrangeLagrange单元单元 SerendipitySerendipity单元单元阶谱单元阶谱单元广义广义LagrangeLagrange法法 变结点法变结点法