3-1复变函数的积分.ppt

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1、 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分学习要点学习要点掌握复变函数积分的定义及基本性质掌握复变函数积分的定义及基本性质 掌握柯西定理掌握柯西定理 3.1 复变函数积分的概念和性质复变函数积分的概念和性质 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换一、一、曲线的概念回顾曲线的概念回顾:由有限条光滑曲线依次相由有限条光滑曲线依次相接的所组成的连续曲线称为接的所组成的连续曲线称为按按(逐逐)段光滑曲线段光滑曲线.（1）光滑曲线上的各点都有切线）光滑曲线上的各点都有切线（2）光滑曲线可以求长）光滑曲线可以求

2、长 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换闭曲线正向的定义闭曲线正向的定义:简单闭曲线简单闭曲线C C的正向是指当曲的正向是指当曲线上的点线上的点P P顺此方向前进时顺此方向前进时,邻邻近近P P点的曲线的内部始终位于点的曲线的内部始终位于P P点的左方点的左方.与之相反的方向就是曲线的负方向与之相反的方向就是曲线的负方向.曲线方向的说明曲线方向的说明:一般一般:曲线曲线C的正方向总是指从起点到终点的的正方向总是指从起点到终点的方向方向.按按(逐逐)段光滑的闭曲线称为周段光滑的闭曲线称为周(围围)线线.哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换

3、换分段光滑的曲线分段光滑的曲线C的长度是所有组成的长度是所有组成C的曲线的长度之和的曲线的长度之和.曲线曲线 的长度的长度:哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换二、二、复变函数积分的定义复变函数积分的定义 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换二、复积分存在的条件二、复积分存在的条件定理定理 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换由定理及曲线积分的计算法得由定理及曲线积分的计

4、算法得三、复积分计算的参数方程法三、复积分计算的参数方程法 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换四、四、积分性质积分性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换证明：因为证明：因为两边取极限即可得两边取极限即可得 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换例例1 计算下列积分计算下列积分oxy 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换解法解法2解解 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换这

5、两个积分都与路线这两个积分都与路线C 无关无关 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换oxy解解 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换解解oxyrC 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换例例2根据估值不等式知根据估值不等式知解解 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换练习练习 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换解解

6、:哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换解解 1)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为y=x 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换2)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为y=x 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换y=x3)积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴轴上直上直线线段的参数方程段的参数方程为为1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换 小结与思考小结与思考本课我们学习了积分的定义、存在条件以及本课我们学

7、习了积分的定义、存在条件以及计算和性质计算和性质.应注意复变函数的积分有跟微应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质积分学中的线积分完全相似的性质.本课中本课中重点掌握复积分的一般方法重点掌握复积分的一般方法.思考题思考题 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换思考题答案思考题答案 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换一、写出平面曲线复数参数方程的步骤：一、写出平面曲线复数参数方程的步骤：哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换直线的参数方程直线的参数方程 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换请预习请预习 柯西积分公式柯西积分公式谢谢同学们，再见。谢谢同学们，再见。