第一章 向量代数 平面与直线.ppt

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1、第一章第一章 向量代数向量代数 平面与直线平面与直线 1.1 几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算 一一.向量的概念及其表示向量的概念及其表示 1.什么叫向量？什么叫向量？2.怎样表示向量？怎样表示向量？3.向量有哪些要素？向量有哪些要素？4.什么是自由向量？什么是自由向量？5.什么是一个向量的负向量？什么是一个向量的负向量？6.什么是零向量？什么是零向量？1.21.2 1.31.3 1.41.4 第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.1 1.1 几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算几何向量及其线性

2、运算 二二.向量的加法向量的加法 1.平行四边形法则的物理学背景平行四边形法则的物理学背景 2.平行四边形法则与三角形法则的等价性平行四边形法则与三角形法则的等价性 3.向量加法有哪些运算性质？向量加法有哪些运算性质？交换律交换律交换律交换律;结合律结合律结合律结合律;存在零向量存在零向量存在零向量存在零向量;每个向量都有反向量每个向量都有反向量每个向量都有反向量每个向量都有反向量.阿贝尔群阿贝尔群阿贝尔群阿贝尔群(AbelianAbelian group)group)第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.1 1.1 几何向量

3、及其线性运算几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算 三三.向量与数量的乘法向量与数量的乘法 1.定义定义 注注:m =m=0 或或 =.2.运算性质运算性质 (1)=.单位向量单位向量;非零向量的单位化非零向量的单位化.1 1 =;mm(n n )=()=(mnmn);(mm+n n)=mm +n n ;mm(+)=)=mm +mm .向量空间向量空间向量空间向量空间 (vector space)(vector space)模模模模 (module)(module)例例1.设设P,Q分别是分别是 ABC的的BC,AC边的中点边的中点,AP与与BQ交于点交于点M.证明证明:

4、A AB BC CMMAM=AP.2 23 3第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.1 1.1 几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算 P PQ QA AB BC CS ST T由条件可知由条件可知:BC=2BP,AC=2AQ.往证点往证点S与点与点T重合重合,即即AS=AT.P PQ Q设设AS=AP,BT=BQ,2 23 32 23 3AS AS=(=(ABAB+ACAC)=)=ABAB+AQAQ=ABAB+ABAB+BQBQ=ABAB+BTBT=ATAT1 13 31 13 32

5、 23 31 13 32 23 32 23 3例例2.设设M是是 ABC的重心的重心,O是是 ABC所在平面上所在平面上 任意一点任意一点,证明证明:A AB BC CMMO OOM=(OA+OB+OC).1 13 33OM=OA+OB+OC(OM OA)+(OM OB)+(OM OC)=AM+BM+CM=(AB+AC)+(BA+BC)+(CA+CB)=1 13 31 13 31 13 3第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.1 1.1 几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算 第一章第

6、一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.1 1.1 几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算 四四.共线、共面向量的判定共线、共面向量的判定 1.定义定义 定理定理1.1 设向量设向量 ,则则 向量向量 与与 共线共线 存在存在唯一的实数实数m使得使得 =m (即即 可以由可以由 线性表示线性表示).推论推论1.1 向量向量 1,2共线共线 存在不全为零的实数存在不全为零的实数k1,k2使得使得 k1 1+k2 2=(即即 1,2线性相关线性相关).第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代

7、数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.1 1.1 几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算 四四.共线、共面向量的判定共线、共面向量的判定 定理定理1.2 若向量若向量,不平行不平行,则则 向量向量 与与,共面共面 存在存在唯一的有序实数组实数组(m,n),使得使得 =m +n (即即 可以由可以由,线性表示线性表示).推论推论1.2 向量向量 1,2,3共面共面 存在不全为零的实数存在不全为零的实数k1,k2,k3,使使得得 k1 1+k2 2+k3 3 =(即即 1,2,3线性相关线性相关).第一章第一章 向量代数向量代数 平面与

8、直线平面与直线 1.2 空间坐标系空间坐标系 一一.仿射坐标系、直角坐标系仿射坐标系、直角坐标系 1.线性表示线性表示(1)(1)在在在在直线直线直线直线上任意一个向量都可以由直线上上任意一个向量都可以由直线上上任意一个向量都可以由直线上上任意一个向量都可以由直线上一一一一个个个个 非零非零非零非零向量向量向量向量唯一唯一唯一唯一的线性表示的线性表示的线性表示的线性表示.(2)(2)在在在在平面平面平面平面上任意一个向量都可以由平面上上任意一个向量都可以由平面上上任意一个向量都可以由平面上上任意一个向量都可以由平面上两两两两个个个个 不共线不共线不共线不共线向量向量向量向量唯一唯一唯一唯一的线

9、性表示的线性表示的线性表示的线性表示.定理定理1.3 在空间中取定三个不共面的在空间中取定三个不共面的 1,2,3,则则 对空间中任一向量对空间中任一向量 都存在唯一的有序都存在唯一的有序 实数组实数组(x,y,z),使得使得 =x 1+y 2+z 3.第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.2 1.2 空间坐标系空间坐标系空间坐标系空间坐标系 定理定理1.3 在空间中取定三个不共面的在空间中取定三个不共面的 1,2,3,则则 对空间中任一向量对空间中任一向量 都存在唯一的有序都存在唯一的有序 实数组实数组(x,y,z),使得使

10、得 =x 1+y 2+z 3.3 3 2 2 1 1O OP PQ QMM第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.2 1.2 空间坐标系空间坐标系空间坐标系空间坐标系 3 3 2 2 1 1O O2.仿射坐标系仿射坐标系O;1,2,3 坐标原点坐标原点;坐标向量坐标向量(基基);坐标轴坐标轴;坐标坐标(分量分量)坐标平面坐标平面;卦限卦限;左左(右右)手仿射坐标系手仿射坐标系3.直角坐标系直角坐标系O;i,j,k j jki iO O注注注注:建立了空间坐标系后建立了空间坐标系后建立了空间坐标系后建立了空间坐标系后,空间内的全体

11、向量所成的集空间内的全体向量所成的集空间内的全体向量所成的集空间内的全体向量所成的集 合与集合合与集合合与集合合与集合(x x,y y,z z)|)|x x,y y,z z R R 之间就有了一一对应之间就有了一一对应之间就有了一一对应之间就有了一一对应.而而而而 对应法则与所建立的空间坐标系有关对应法则与所建立的空间坐标系有关对应法则与所建立的空间坐标系有关对应法则与所建立的空间坐标系有关.我们将在第我们将在第我们将在第我们将在第 四章进一步讨论这个问题四章进一步讨论这个问题四章进一步讨论这个问题四章进一步讨论这个问题.第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平

12、面与直线平面与直线平面与直线 1.2 1.2 空间坐标系空间坐标系空间坐标系空间坐标系 二二.用坐标进行向量的线性运算用坐标进行向量的线性运算 设设 =(x1,x2,x3),=(y1,y2,y3),则则k1+k2 =(k1x1+k2y1,k1x2+k2y2,k1x3+k2y3).例例1.设两个定点为设两个定点为P1(x1,y1,z1)与与P2(x2,y2,z2),求求 向量向量P1P2的坐标的坐标.x xy yz zP P1 1P P2 2O O P1P2=OP2 OP1=(x2,y2,z2)(x1,y1,z1)=(x2 x1,y2 y1,z2 z1).第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代

13、数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.2 1.2 空间坐标系空间坐标系空间坐标系空间坐标系 例例2.设两个定点为设两个定点为P1(x1,y1,z1)与与P2(x2,y2,z2),若点若点P(x,y,z)把有向线段把有向线段P1P2分成定比分成定比,即即P1P=PP2(1),求分点求分点P的坐标的坐标.x xy yz zP P1 1P PO O P P2 2 OP OP1=(OP2 OP )OP=OP1+OP21+y=y1+y21+,x=x1+x21+,z=z1+z21+.第一章第一章 向量代数向量代数 平面与直线平面与直线 1.3 向量的数量积向量的数量积,向量积和

14、混合积向量积和混合积 一一.两个向量的数量积两个向量的数量积 1.物理背景物理背景.2.两个非零向量之间的夹角两个非零向量之间的夹角.3.数量积数量积(点积点积,内积内积)的定义的定义.=|cos (1)若非零向量若非零向量 与与 之间的夹角为之间的夹角为,则则 =0.(2)若向量若向量 =或或 =,则则 第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积,向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积 注注:=0(=或或 =或或 与与 垂直垂直)4.内积的性质内积的性

15、质.(1)正定性正定性:=|2 0,且且 =0 =.(2)对称性对称性:=.(3)(m)=m()=(m).(4)(+)=+.5.直角坐标系下向量内积的计算直角坐标系下向量内积的计算.(1)i2=j2=k2=1,i j=j k=k i=0.(2)设设 =(x1,x2,x3),=(y1,y2,y3),则则 =x1y1+x2y2+x3y3.第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积,向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积 6.模模,夹角夹角,距离公式距离公式(

16、2)设非零向量设非零向量 =(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2)之间的夹角为之间的夹角为,则则cos =|x1x2+y1y2+z1z2=(3)点点P1(x1,y1,z1)与与P2(x2,y2,z2)之间的距离为之间的距离为(1)设设 =(x,y,z),则则|=x2+y2+z2.x22+y22+z22 x12+y12+z12|P1P2|=(x2 x1)2+(y2 y1)2+(z2 z1)2 x xO OP PB BC Cy yz z第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量

17、的数量积,向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积 7.方向角和方向余弦方向角和方向余弦(1)非零向量与三个坐标轴所成的夹角称为非零向量与三个坐标轴所成的夹角称为 此向量的此向量的方向角方向角;方向角的余弦称为此方向角的余弦称为此 向量的向量的方向余弦方向余弦.x xO OP PA AB BC Cz zy yx xO OP PA Ay yz z方向余弦方向余弦:cos,cos,cos OP的方向角的方向角:=AOP,=BOP,=COP 第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量积向

18、量的数量积向量的数量积,向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积 (3)与一个非零向量的方向余弦成比例的三个数与一个非零向量的方向余弦成比例的三个数 叫做此向量的叫做此向量的方向数方向数.(2)向量向量xi+yj+zk的方向余弦的方向余弦 cos2 +cos2 +cos2 =1.cos =xx2+y2+z2,cos =yx2+y2+z2,cos =zx2+y2+z2,第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积,向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积向量

19、积和混合积 8.投影投影 ABuA B u AB向量向量AB在轴在轴u上的投影为上的投影为 其中其中 为为向量向量AB与轴与轴u的夹角的夹角.(AB)u=|AB|cos,因此因此,AB CD=|CD|(AB)CD.注注:一个非零向量在一个轴或另一个非零向量一个非零向量在一个轴或另一个非零向量 上的投影为标量上的投影为标量,其值可能是正数其值可能是正数,可能是可能是 负数负数,也可能为零也可能为零(取决于取决于).第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积,向量积和混合积向

20、量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积 二二.两个向量的向量积两个向量的向量积 1.物理背景物理背景.2.向量积向量积(叉积叉积,外积外积)的定义的定义.|=|sin 其中其中 为为向量向量 与与 之间之间的夹角的夹角.3.外积的几何意义外积的几何意义.注注:向量向量 与与 共线共线(平行平行)=.特别地特别地,=.第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积,向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积 4.外积的性质外积的性质.(1)反对称性反对称性:=.

21、(2)(m)=m()=(m).(3)(+)=+.例例1.证明证明()2+()2=2 2.例例2.已知已知|=3,|=11,且且 =30.求求|.5.用向量的坐标计算向量的外积用向量的坐标计算向量的外积.(1)i j=k,j k=i,k i=j,j i=k,k j=i,i k=j,i i=j j=k k=.j jki iO Oijk第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积,向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积 (2)设设 =a1i+a2j+a3k,=b

22、1i+b2j+b3k,则则 =(a2b3 a3b2)i+(a3b1 a1b3)j +(a1b2 a2b1)k (3)二阶行列式二阶行列式.a bc d=ad bc.=i+j +k a2 a3 b2 b3a3 a1 b3 b1a1 a2 b1 b2注注:向量向量 =a1i+a2j+a3k与与 =b1i+b2j+b3k共线共线 (平行平行)=a1 b1=a2 b2a3 b3第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积,向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积 例

23、例3.求点求点P(4,4,1)到点到点A(1,0,1)和和B(0,2,3)所所 在直线的距离在直线的距离.x xy yB Bz zA AO OP P例例4.求同时垂直于向量求同时垂直于向量 =(1,2,2)和和 =(5,4,2)的单位向量的单位向量.例例5.已知向量已知向量,有共有共 同起点但不共面同起点但不共面,求求 以它们为棱的平行以它们为棱的平行 六面体的体积六面体的体积V.V=()S=|,h=()第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积,向量积和混合积向量积和混

24、合积向量积和混合积向量积和混合积 三三.三个向量的混合积三个向量的混合积 1.,的的混合积混合积:()V=()S=|,h=()2.几何意义几何意义.设设,为不共面的三个向量为不共面的三个向量,将它们平将它们平 移到具有共同的起点移到具有共同的起点.若它们符合右手法若它们符合右手法则则,则则 与与()在在 与与 所成平面的同所成平面的同侧侧,于是于是第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积,向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积 定理定理1.4 三个三个

25、不共面不共面向量向量,混合积混合积()的绝对值等于以它们为相邻棱所作的的绝对值等于以它们为相邻棱所作的 平行六面体的体积平行六面体的体积V.当当,符合右符合右 (或左或左)手法则时手法则时()=V(或或 V).推论推论1.4 三个向量三个向量,共面的充分必要条件共面的充分必要条件 是它们的混合积是它们的混合积()=0.注注:轮换对称性轮换对称性.()=()=().第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积,向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积 3.性质

26、性质.(1)(,)=0.(2)(,)=(,).(3)(1+2,)=(1,)+(2,).(4)(m,)=m(,),其中其中m为一实数为一实数.(5)(,+m)=(,),其中其中m为一实数为一实数.注注:结合轮换对称性结合轮换对称性,由这些性质还可派生出更由这些性质还可派生出更 多类似的性质多类似的性质.如如(,)=0;(,1+2,)=(,1,)+(,2,);(,m,)=(=(,mm )=)=m(,);(,+m)=(,),等等等等.第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积,

27、向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积 例例6.由定理由定理1.3可知可知,在空间中任取三个不共面在空间中任取三个不共面 的的,后后,空间中任一向量空间中任一向量 都可以唯一都可以唯一 地表示成地表示成,的线性组合的线性组合,即存在唯一即存在唯一 的实数组的实数组(x,y,z),使得使得 =x +y +z.下面我们去求下面我们去求x,y,z的值的值.(,)=(x +y +z,)=(x,)+(y ,)+(z,)=x(,).故故x=(,)(,).类似地类似地,y=(,)(,),z=(,)(,).第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与

28、直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积,向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积 4.用向量的坐标计算向量的混合积用向量的坐标计算向量的混合积.设设 =(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),=(c1,c2,c3),则则 =(a2b3 a3b2),(a3b1 a1b3),(a1b2 a2b1),()=(a2b3 a3b2)c1+(a3b1 a1b3)c2+(a1b2 a2b1)c3 =a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2 a3b2c1 a1b3c2 a2b1c3 a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3第一章第一章第一

29、章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积,向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积 5.三阶行列式三阶行列式.a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2 a3b2c1 a1b3c2 a2b1c3 (1)定义定义(2)对角线法则对角线法则 第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量

30、积向量的数量积向量的数量积,向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积 注注:对于向量对于向量 =(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),和和 =(c1,c2,c3),采用行列式的记号采用行列式的记号,我们有我们有()=a1 a2 a3b1 b2 b3 ,c1 c2 c3 =i j ka1 a2 a3 .b1 b2 b3推论推论1.4 三个向量三个向量 =(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),=(c1,c2,c3)共面的共面的充分必要条件是充分必要条件是=0.a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3例例例例7 7.将将将将混合积的性质混合积的性质混合积的性质

31、混合积的性质翻译成三阶行列式的性质翻译成三阶行列式的性质翻译成三阶行列式的性质翻译成三阶行列式的性质.第一章第一章 向量代数向量代数 平面与直线平面与直线 1.4 空间的平面和直线空间的平面和直线 一一.平面的方程平面的方程 1.点法式方程点法式方程.r rr r0 0 x xy yz zO OP P0 0n n P P过点过点P0(x0,y0,z0)且与非零且与非零向量向量n=(A,B,C)垂直的平面垂直的平面 的方程为的方程为A(x x0)+B(y y0)+C(z z0)=0.2.一般方程一般方程.Ax+By+Cz+D=0.定理定理1.5 平面方程是三元一次方程平面方程是三元一次方程,而三

32、元一而三元一 次方程必然表示一个平面次方程必然表示一个平面.第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.4 1.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 3.在特殊位置的平面在特殊位置的平面.(1)过原点的平面过原点的平面:Ax+By+Cz=0.(2)平行于平行于x轴的平面轴的平面:By+Cz+D=0.平行于平行于y轴的平面轴的平面:Ax+Cz+D=0.平行于平行于z轴的平面轴的平面:Ax+By+D=0.(3)平行于平行于xoy面的平面面的平面:Cz+D=0.平行于平行于yoz面的平面面的平面:Ax+D=

33、0.平行于平行于xoz面的平面面的平面:By+D=0.第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.4 1.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 例例1.求通过点求通过点P0(1,2,3),且且 (1)通过通过x轴轴;(2)平行于平行于yoz平面平面 的平面方程的平面方程,并且分别作出它们的图形并且分别作出它们的图形.注注:确定确定A,B,C,D的值的值;作图时应标注一些特殊点作图时应标注一些特殊点,如与坐标轴如与坐标轴 或坐标平面的交点或坐标平面的交点.(0,2,3)(0,2,3)x xO Oy yz

34、 z(1,0,0)(1,0,0)x xO Oy yz z第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.4 1.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 4.三点式方程三点式方程.经过不共线的经过不共线的三三点点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),P3(x3,y3,z3)的平面的平面 的方程为的方程为 x x1 y y1 z z1x2 x1 y2 y1 z2 z1 =0 x3 x1 y3 y1 z3 z15.截距式方程截距式方程.xaybzc+=1 A A(a a,0,0),0,0)x xO

35、Oy yz zB B(0,(0,b b,0),0)C C(0,0,(0,0,c c)第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.4 1.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 二二.空间直线的方程空间直线的方程 1.参数方程参数方程.P P过点过点P0(x0,y0,z0)且与非零且与非零向量向量s=(l,m,n)平行的直平行的直线线L的参数方程为的参数方程为x=x0+lt,y=y0+mt,z=z0+nt.r r0 0r r2.标准标准(对称对称)方程方程.x x0lmny y0z z0=x xy yz

36、zO OP P0 0s s L L 第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.4 1.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 3.一般方程一般方程.A1x+B1y+C1z+D1=0 A2x+B2y+C2z+D2=0 4.两点式方程两点式方程.过两点过两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的直线的直线L的的方程为方程为x x1y y1z z1=x2 x1y2 y1z2 z1r r1 1r r2 2x xy yz zO OP P1 1 L L P P2 2第一章第一章第一章第一章 向量代数

37、向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.4 1.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 例例2.求过点求过点(7,6,5),垂直于直线垂直于直线L0:且平行于平面且平行于平面 0:x+y+z+1=0的直线方程的直线方程.解解:(法一法一)直线直线L0的方向向量的方向向量s0可取为可取为 s0=(,)2 1 3 3 1 1 3 21 22 3=(9,5,1).所求直线所求直线L的方向向量的方向向量s可取为可取为s=(,)5 11 11 91 19 51 1=(4,8,4).所求直线所求直线L的方程为的方程为 x+71 21y 6z 5

38、=.x 2y+z+3=0 2x 3y 3z 9=0 第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.4 1.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 例例2.求过点求过点(7,6,5),垂直于直线垂直于直线L0:且平行于平面且平行于平面 0:x+y+z+1=0的直线方程的直线方程.解解:(法二法二)直线直线L0的方向向量的方向向量s0可取为可取为 x 2y+z+3=0 2x 3y 3z 9=0=(9,5,1).过点过点过点过点(7,6,5)7,6,5)且以且以且以且以s s0 0为法向量的平面为法向量的平面为

39、法向量的平面为法向量的平面 1 1为为为为 9 9(x x+7)+7)+5 5(y y 6)+6)+1 1(z z 5)=0,5)=0,即即即即:9:9x x+5+5y y+z z+28=0.+28=0.过点过点过点过点(7,6,5)7,6,5)平行于平面平行于平面平行于平面平行于平面 0 0的平面的平面的平面的平面 2 2为为为为 (x x+7)+(+7)+(y y 6)+(6)+(z z 5)=0,5)=0,即即即即:x x+y y+z z 4=0.4=0.s0=(,)2 1 3 3 1 1 3 21 22 3故所求直线故所求直线故所求直线故所求直线L L的方程为的方程为的方程为的方程为9

40、 9x x+5+5y y+z z+28=0+28=0 x x+y y+z z 4=04=0第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.4 1.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 三三.与直线与直线,平面有关的一些问题平面有关的一些问题 1.夹角夹角.(1)两条直线的夹角两条直线的夹角.(2)两个平面的夹角两个平面的夹角.(3)直线与平面的夹角直线与平面的夹角.例例3.求直线求直线L:x+71 21y 6z 5=与平面与平面 :x+2y+z+1=0之间的夹角之间的夹角.注注:夹角夹角 的范围的范围规定

41、规定如下如下:0 /2.第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.4 1.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 2.距离距离.(1)点点P到直线到直线L的距离的距离:(2)点点P(x1,y1,z1)到平面到平面 :Ax+By+Cz+D=0 的距离的距离:d=|P0P s|s|PP0Lsn nP P P P0 0d=|(P0P)n|nP0P|n|=d=|Ax1+By1+Cz1+D|A2+B2+C2L L1 1第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面

42、与直线 1.4 1.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 (3)异面直线之间的距离异面直线之间的距离.L L2 2P P1 1P P2 2s s1 1s s2 2|(s1 s2)P1P2|s1 s2|d=V=()S=|,h=()注注注注:也可以利用混合积的也可以利用混合积的也可以利用混合积的也可以利用混合积的 几何意义来理解上述几何意义来理解上述几何意义来理解上述几何意义来理解上述 公式公式公式公式.h=V/S.自学自学自学自学:课本第课本第课本第课本第3333页页页页例例例例1010.第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与

43、直线平面与直线平面与直线 1.4 1.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 3.通过直线通过直线L:A1x+B1y+C1z+D1=0 A2x+B2y+C2z+D2=0 的平面束方程为的平面束方程为 1(A1x+B1y+C1z+D1)+2(A2x+B2y+C2z+D2)=0例例4.已知两平面已知两平面 1:2x y+z+1=0,问问 1与与 2是否相交是否相交;如果相交如果相交,求出交线在求出交线在平面平面 :2x+3y 6=0上的投影直线方程上的投影直线方程.2:x 3y+2z+4=0.第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与

44、直线平面与直线平面与直线 教学内容和基本要求教学内容和基本要求教学内容和基本要求教学内容和基本要求 1.1.理解理解理解理解几何向量的概念及其加法几何向量的概念及其加法几何向量的概念及其加法几何向量的概念及其加法,数乘运算数乘运算数乘运算数乘运算,熟悉熟悉熟悉熟悉运算规运算规运算规运算规 律律律律,了了了了解解解解两个向量共线和三个向量共面的充要条件两个向量共线和三个向量共面的充要条件两个向量共线和三个向量共面的充要条件两个向量共线和三个向量共面的充要条件;2.2.理解理解理解理解空间直角坐标系的概念空间直角坐标系的概念空间直角坐标系的概念空间直角坐标系的概念,了解了解了解了解仿射坐标系的概念

45、仿射坐标系的概念仿射坐标系的概念仿射坐标系的概念,掌握掌握掌握掌握向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示;3.3.理解理解理解理解向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积,向量积和混合积的概念向量积和混合积的概念向量积和混合积的概念向量积和混合积的概念,理解理解理解理解它们它们它们它们 的几何意义的几何意义的几何意义的几何意义,了解了解了解了解相关的运算性质相关的运算性质相关的运算性质相关的运算性质,掌握掌握掌握掌握利用坐标进行利用坐标进行利用坐标进行利用坐标进行 计算的方法计算的方法计算的方法计算的方法.4.4.理解理解理解理解平面的法向量的概念平面的法向量的概念平

46、面的法向量的概念平面的法向量的概念,熟练掌握熟练掌握熟练掌握熟练掌握平面的方程的确定平面的方程的确定平面的方程的确定平面的方程的确定 方法方法方法方法,熟悉熟悉熟悉熟悉特殊位置的平面方程的形式特殊位置的平面方程的形式特殊位置的平面方程的形式特殊位置的平面方程的形式;5.5.理解理解理解理解直线的方向向量的概念直线的方向向量的概念直线的方向向量的概念直线的方向向量的概念,熟练掌握熟练掌握熟练掌握熟练掌握直线的对称方程直线的对称方程直线的对称方程直线的对称方程,一般方程及参数方程的确定方法一般方程及参数方程的确定方法一般方程及参数方程的确定方法一般方程及参数方程的确定方法;6.6.了解了解了解了解直线直线直线直线,平面间的夹角的定义平面间的夹角的定义平面间的夹角的定义平面间的夹角的定义,了解了解了解了解点与直线点与直线点与直线点与直线,平面间平面间平面间平面间 的距离的定义的距离的定义的距离的定义的距离的定义,并并并并掌握掌握掌握掌握相关的计算相关的计算相关的计算相关的计算,会会会会求异面直线的公求异面直线的公求异面直线的公求异面直线的公 垂线方程垂线方程垂线方程垂线方程;7.7.了解了解了解了解平面束的概念平面束的概念平面束的概念平面束的概念,并并并并会会会会用平面束处理相关几何问题用平面束处理相关几何问题用平面束处理相关几何问题用平面束处理相关几何问题.