(条件极值)多元函数的极值与拉格朗日乘数法(精品).ppt
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1、多元函数的极值和最值多元函数的极值和最值条件极值条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法小结小结 思考题思考题 作业作业第八节第八节 多元函数的极值与多元函数的极值与 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法第八章第八章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用1一、多元函数的极值和最值一、多元函数的极值和最值1.极大值和极小值的定义极大值和极小值的定义一元函数的极值一元函数的极值的定义的定义:是在一点是在一点附近附近将函数值比大小将函数值比大小.定义定义点点P0为函数的为函数的极大值点极大值点.类似可定义极小值点和极小值类似可定义极小值点和极小值.设在点设在点P0的某个邻域的某个邻域,为为极大值极大值
2、.则称则称多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法2 注注 函数的极大值与极小值统称为函数的函数的极大值与极小值统称为函数的 函数的极大值点与极小值点统称为函数的函数的极大值点与极小值点统称为函数的多元函数的极值也是多元函数的极值也是局部的局部的,一般来说一般来说:极大值未必是函数的最大值极大值未必是函数的最大值.极小值未必是函数的最小值极小值未必是函数的最小值.有时有时,极值极值.极值点极值点.内的值比较内的值比较.是与是与P0的邻域的邻域极小值可能比极大值还大极小值可能比极大值还大.多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法3例例例例例例 函数函数 存
3、在极值存在极值,在在(0,0)点取极小点取极小值值.在在(0,0)点取极大值点取极大值.(也是最大值也是最大值).在在(0,0)点无极值点无极值.椭圆抛物面椭圆抛物面下半个圆锥面下半个圆锥面马鞍面马鞍面在简单的情形下是在简单的情形下是容易判断的容易判断的.函数函数函数函数(也是最小值也是最小值).函数函数多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法42.极值的必要条件极值的必要条件证证定理定理1 1(必要条件必要条件)则它在该则它在该点的偏导数必然为零点的偏导数必然为零:有极大值有极大值,不妨设不妨设都有都有多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法说明一元函
4、数说明一元函数有极大值有极大值,必有必有类似地可证类似地可证5推广推广 如果三元函数如果三元函数具有偏导数具有偏导数,则它在则它在有极值的有极值的必要条件必要条件为为多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法均称为函数的均称为函数的驻点驻点极值点极值点仿照一元函数仿照一元函数,凡能使凡能使一阶偏导数一阶偏导数同时为零的同时为零的点点,驻点驻点.如何判定一个驻点是否为极值点如何判定一个驻点是否为极值点如如,驻点驻点,但不是极值点但不是极值点.注注63.极值的充分条件极值的充分条件定理定理2 2(充分条件充分条件)的的某邻域内连续某邻域内连续,有一阶及二阶有一阶及二阶连续偏导数连
5、续偏导数,处处是否取得极值的条件如下是否取得极值的条件如下:(1)有极值有极值,有极大值有极大值,有极小值有极小值;(2)没有极值没有极值;(3)可能有极值可能有极值,也可能无极值也可能无极值.多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法7求函数求函数 极值的一般步骤极值的一般步骤:第一步第一步解方程组解方程组求出实数解求出实数解,得得驻点驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值第三步第三步 定出定出的的符号符号,再判定是否是极值再判定是否是极值.多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法8例例 解解又又在点在点(0
6、,0)处处,在点在点(a,a)处处,故故故故即即的极值的极值.在在(0,0)无极值无极值;在在(a,a)有极大值有极大值,多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法9解解求由方程求由方程将将方程两边分别对方程两边分别对x,y求偏导数求偏导数,由函数取极值的必要条件知由函数取极值的必要条件知,驻点为驻点为将将上方程组再分别对上方程组再分别对x,y求偏导数求偏导数,多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法法一法一10故故函数在函数在P有极值有极值.代入原代入原方程方程,为极小值为极小值;为极大值为极大值.多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘
7、数法所以所以所以所以11求由方程求由方程多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法解解 法二法二 配方法配方法 方程可变形为方程可变形为 于是于是 显然显然,根号中的极大值为根号中的极大值为4,由由可知可知,为极值为极值.即即为极大值为极大值,为极小值为极小值.12取得取得.然而然而,如函数在个别点处的如函数在个别点处的偏导数不存在偏导数不存在,这些点当然不是驻点这些点当然不是驻点,如如:函数函数不存在不存在,但函数在点但函数在点(0,0)处都具有极大值处都具有极大值.在研究函数的极值时在研究函数的极值时,除研究函数的驻点外除研究函数的驻点外,还应研究还应研究偏导数不存在的点
8、偏导数不存在的点.注注由由极值的必要条件知极值的必要条件知,极值只可能在驻点处极值只可能在驻点处但但也可能是极也可能是极值值点点.在点在点(0,0)处的偏导数处的偏导数多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法13多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法2003年考研数学年考研数学(一一),4分分选择题选择题已知函数已知函数f(x,y)在点在点(0,0)的某个邻域内连续的某个邻域内连续,则则(A)点点(0,0)不是不是f(x,y)的极值的极值点点.(B)点点(0,0)是是f(x,y)的极大值的极大值点点.(C)点点(0,0)是是f(x,y)的极小值的极小值
9、点点.(D)根据所给条件无法判断点根据所给条件无法判断点(0,0)是否为是否为f(x,y)的极值点的极值点.14其中最大者即为最大值其中最大者即为最大值,与一元函数相类似与一元函数相类似,可利用函数的极值来可利用函数的极值来求函数的最大值和最小值求函数的最大值和最小值.4.多元函数的最值多元函数的最值求最值的一般方法求最值的一般方法最小者即为最小值最小者即为最小值.将函数将函数在在D内内的所有嫌疑点的函数值及的所有嫌疑点的函数值及在在D的边界上的最大值和最小值相互比较的边界上的最大值和最小值相互比较,多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法15解解(1)求函数求函数在在D内
10、内的驻点的驻点 由于由于所以函数在所以函数在D内无极值内无极值.(2)求函数在求函数在 D边界上的最值边界上的最值(现现最值只能在边界上最值只能在边界上)围成的三角形闭域围成的三角形闭域D上的上的最大最大(小小)值值.例例多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法D16在边界线在边界线在边界线在边界线由于由于最小最小,由于由于又在端点又在端点(1,0)处处,所以所以,最大最大.有驻点有驻点 函数值函数值有有单调上升单调上升.多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法D17在边界线在边界线所以所以,最值在端点处最值在端点处.由于由于 函数单调下降函数单调下降,
11、(3)比较比较多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法D18解解此时此时的的最大值与最小值最大值与最小值.驻点驻点得得多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法上上在在求求4:94),(2222+=yxDyxyxf19对自变量有附加条件的极值对自变量有附加条件的极值.其他条件其他条件.无条件极值无条件极值对自变量除了限制在定义域内外对自变量除了限制在定义域内外,并无并无条件极值条件极值多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法二、条件极值二、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法20解解例例 已知长方体长宽高的和为已知长方体长宽高的和为1
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