数值分析(25) 常微分方程初值问题(精品).ppt

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1、数值分析数值分析数值分析数值分析第九章第九章 常微分方程数值解常微分方程数值解第一节第一节 求解初值问题数值方法的基本原理求解初值问题数值方法的基本原理第二节第二节 高精度的单步法高精度的单步法 第三节第三节 线性多步法线性多步法第四节第四节 一阶微分方程组的解法一阶微分方程组的解法第五节第五节 边值问题的打靶法和差分法边值问题的打靶法和差分法数值分析数值分析数值分析数值分析考虑一阶常微分方程的初值问题考虑一阶常微分方程的初值问题/*Initial-Value Problem*/:只要只要 f(x,y)在在a,b R1 上连续，且关于上连续，且关于 y 满足满足 Lipschitz 条件条件，

2、即存在与即存在与 x,y 无关的常数无关的常数 L 使使对任意定义在对任意定义在 a,b 上的上的 y1(x)和和 y2(x)都成立，则上述都成立，则上述IVP存存在唯一解。在唯一解。要计算出解函数要计算出解函数 y(x)在一系列节点在一系列节点 a=x0 x10,使得使得对一切对一切 成立成立,则该方法收敛则该方法收敛,且有且有 由该定理可知整体截断误差总比局部截断误差低一阶由该定理可知整体截断误差总比局部截断误差低一阶 数值分析数值分析数值分析数值分析对改进的对改进的Euler法法,于是有于是有 设设L为为f关于关于y的的Lipschitz常数常数,则由上式可得则由上式可得限定限定h即可知

3、即可知Q满足满足Lipschitz条件条件,故而改进的故而改进的Euler法法收敛收敛.数值分析数值分析数值分析数值分析3.稳定性稳定性一般分析时为简单起见，只考虑一般分析时为简单起见，只考虑模型方程模型方程常数，可以常数，可以是复数是复数数值分析数值分析数值分析数值分析一般分析时为简单起见，只考虑一般分析时为简单起见，只考虑模型模型方程方程 当步长取为当步长取为 h 时，将某算法应用于上式，并假时，将某算法应用于上式，并假设只在初值产生误差设只在初值产生误差 ，则若此误差以后逐，则若此误差以后逐步衰减，就称该算法相对于步衰减，就称该算法相对于 绝对稳定绝对稳定，的全的全体构成体构成绝对稳定区

4、域绝对稳定区域。我们称。我们称方法方法A 比方法比方法B 稳定稳定，就是指就是指 A 的绝对稳定区域比的绝对稳定区域比 B 的的大大。hl l h=h数值分析数值分析数值分析数值分析例：例：考察显式欧拉法的稳定性考察显式欧拉法的稳定性 0-1-2ReImg例：例：考察梯形的稳定性考察梯形的稳定性 可见绝对稳定条件是：可见绝对稳定条件是：显式欧拉法的稳定性条件是显式欧拉法的稳定性条件是数值分析数值分析数值分析数值分析可见绝对稳定区域为：可见绝对稳定区域为：210ReImg注：注：一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式法好。的显式法好。解：解：数值分析数

5、值分析数值分析数值分析两式相减，得两式相减，得数值分析数值分析数值分析数值分析隐式隐式欧拉欧拉公式是一阶方法公式是一阶方法数值分析数值分析数值分析数值分析例：例：对于常微分方程初值问题对于常微分方程初值问题证明证明隐式隐式欧拉公式欧拉公式是一阶方法。是一阶方法。解：解：隐式隐式欧拉欧拉公式是一阶方法公式是一阶方法数值分析数值分析数值分析数值分析第二节第二节 高精度的单步法高精度的单步法 在高精度的单步法中在高精度的单步法中,应用最广泛的是应用最广泛的是Runge-Runge-KuttaKutta(龙格龙格-库塔库塔)方法方法一一、基本原理基本原理数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析

6、数值分析数值分析Runge-Kutta法的一般形式法的一般形式数值分析数值分析数值分析数值分析二、二阶龙格库塔方法二、二阶龙格库塔方法数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析三、三阶龙格库塔方法三、三阶龙格库塔方法数值分析数值分析数值分析数值分析四、四阶龙格库塔方法四、四阶龙格库塔方法数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析两点说明两点说明:数值分析数值分析数值分析数值分析R-K方法的绝对稳定区域数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析五、变步长的龙格五、变步长的龙格库塔方法库塔方法数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析习题九：习题九：P350-5，8