Gauss求积公式.ppt

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1、第三章 数值积分与数值微分3.4 Gauss求积公式求积公式3.4.3 Gauss求积公式的余项与稳定性求积公式的余项与稳定性3.4.2 常用常用Gauss求积公式求积公式3.4.1 Gauss求积公式的基本理论求积公式的基本理论第三章 数值积分与数值微分3.4 Gauss3.4 Gauss求积公式求积公式学习目标：学习目标：掌握高斯求积公式的用法。掌握高斯求积公式的用法。会用高斯会用高斯勒让德求积公式。勒让德求积公式。第三章 数值积分与数值微分3.4.1 Gauss求积公式的基本理论求积公式的基本理论在在Newton-Cotes求积公式中求积公式中,节点是等距的节点是等距的,从而限制了求积公

2、式从而限制了求积公式的代数精度的代数精度.下面的讨论将取消这个限制条件下面的讨论将取消这个限制条件,使求积公式的代数精度使求积公式的代数精度尽可能高尽可能高.首先以简单情形论证这样做是可行的首先以简单情形论证这样做是可行的,然后给出概念和一般然后给出概念和一般理论。理论。3.4 Gauss求积公式求积公式第三章 数值积分与数值微分例例3.5 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高。解解 按代数精度的概念，分别令按代数精度的概念，分别令 时时上式左边与右边分别相等，有上式左边与右边分别相等，有有第二式和第四式可得有第二式和第四式可得 ，结

3、合第一式和第三式得，结合第一式和第三式得 取取 得得于是得到求积公式于是得到求积公式第三章 数值积分与数值微分它有它有3次代数精度，而以两个端点为节点的梯形公式只有次代数精度，而以两个端点为节点的梯形公式只有1次代数精度。次代数精度。一般地，考虑带权求积公式一般地，考虑带权求积公式（3.4.1）其中其中 为为2n+2个待定参数，适当选择这些参个待定参数，适当选择这些参数，有可能使求积公式具有数，有可能使求积公式具有2n+1次代数精度。次代数精度。定义定义3.3 如果求积公式（如果求积公式（3.4.1）具有）具有2n+1次代数精度，则称该公式次代数精度，则称该公式Gauss型公式型公式。称。称

4、其节点为其节点为Gauss点点。第三章 数值积分与数值微分 如果象例如果象例3.5那样，直接利用代数精度的概念去求那样，直接利用代数精度的概念去求n=1个个Gauss点和点和n+1个求积系数，则要联立个求积系数，则要联立2n+2个非线性方程组。方程组是可解的，但个非线性方程组。方程组是可解的，但当当n稍大时，解析的求解就很难，数值求解非线性方程组也不容易。下稍大时，解析的求解就很难，数值求解非线性方程组也不容易。下面从分析面从分析Gauss点的特性着手研究点的特性着手研究Gauss公式的构造问题公式的构造问题 。定理定理 3.5 对于插值求值公式对于插值求值公式(3.4.1),其节点其节点 是

5、是Gauss点的充分必要条件是多项式点的充分必要条件是多项式 与任意与任意不超过不超过n次多项式次多项式 P(x)带权正交带权正交,即即 （3.4.2）第三章 数值积分与数值微分证证.先证必要性先证必要性.设设P(x)是任意次数不超过是任意次数不超过n的多项式的多项式,则则 的次数不超过的次数不超过 2n+1。因此。因此,如果如果 是是Gauss点，则求积公点，则求积公式（式（3.4.1）对于）对于 是准确成立的，即有是准确成立的，即有但但 故（故（3.4.2）成立）成立。再证充分性。设再证充分性。设f(x)是任意个次数不超过是任意个次数不超过2n+1的多项式，用的多项式，用 除除f（x），记

6、商为），记商为P（x），余式为），余式为Q(x)，即，即其中其中P(x)和和Q(x)都是次数不超过都是次数不超过n的多项式。利用（的多项式。利用（3.4.2）有）有由于（由于（3.4.1）是插值型的，它对于）是插值型的，它对于Q(x)能准确立即能准确立即第三章 数值积分与数值微分注意到注意到 知知 ，从而有，从而有由此可见，公式（由此可见，公式（3.4.1）对于一切次数不超过）对于一切次数不超过2n+1的多项式均能准确成立。因此，的多项式均能准确成立。因此，是是Gauss点，定理得证。点，定理得证。由于由于n+1次正交多项式与比它次数低的任意多项式正交，并且次正交多项式与比它次数低的任意多项式

7、正交，并且n+1次次正交多项式恰好有正交多项式恰好有n+1各互异的实的单根，我们有下面的推论。各互异的实的单根，我们有下面的推论。第三章 数值积分与数值微分 推论推论 n+1次正交多项式的零点是次正交多项式的零点是n+1点点Gauss公式的公式的Gauss点。点。利用正交多项式得出利用正交多项式得出Guass点点后，利用插值原理可得后，利用插值原理可得Gauss公式的求积系数为公式的求积系数为其中其中 是关于是关于Gauss点的点的Lagrange插值基函数。插值基函数。例例 3.6 确定确定 使下列公式为使下列公式为Gauss公式：公式：解解 我们可以像例我们可以像例3.5一样一样,直接由代

8、数精度的概念构造直接由代数精度的概念构造Gauss公式。公式。这里这里,我们用正交多项式的零点作为我们用正交多项式的零点作为Gauss点的办法构造该点的办法构造该Gauss公式。公式。先构造区间先构造区间0，1上权函数上权函数 的正交多项式的正交多项式 这里我们这里我们直接用正交性求解。设直接用正交性求解。设 第三章 数值积分与数值微分则由则由得得 ，由，由得得b=-8/9，从而得，从而得c=-8/63。由。由 的零点的零点按代数精度的概念，分别令按代数精度的概念，分别令f(x)=1，x时公式准确成立，得时公式准确成立，得由此解得由此解得 从而得到从而得到Gauss求积公式。求积公式。得a=-

9、2/5.由 第三章 数值积分与数值微分3.4.2 常用常用Gauss求积公式求积公式1.GaussLegendre求积公式求积公式在区间在区间-1，1上取权函数上取权函数 ，那么相应的正交多项式为，那么相应的正交多项式为Legendre多多项式。以项式。以Legendre多项式的零点为多项式的零点为Gauss点的求积公式为点的求积公式为 （3.4.3）称之为称之为Gauss-Legendre求积公式求积公式。第三章 数值积分与数值微分当当n=1时，二次时，二次Legendre多项式多项式零点为零点为 。此时，公式（。此时，公式（3.4.3）即为例）即为例3.5所给出的公式。所给出的公式。当当n

10、=2时，三次时，三次Legendre多项式多项式零点为零点为 。以此为以此为Gauss点，仿两点点，仿两点Gauss-Legendre求积公式，求相应的求积系数，可构造出具有五求积公式，求相应的求积系数，可构造出具有五次代数精度的次代数精度的3点点Gauss-Legendre求积公式求积公式第三章 数值积分与数值微分使使 时，时，并有，并有 对于上式右边的积分可以应用对于上式右边的积分可以应用Guss-Legendre求积公式。求积公式。1,1-tbax,kAGuass-Legendre求积公式中的求积公式中的Gauss点点 和求积系数和求积系数 见表见表3-5。对于一般区间对于一般区间a，b

11、上的求积，如果用上的求积，如果用Gauss-Legendre求积公式，那么求积公式，那么务必须作变量替换务必须作变量替换第三章 数值积分与数值微分表表3-5 0543 02 11 2 00N第三章 数值积分与数值微分例例3.7 用用Gauss-Legendre求积公式求积公式(n=1,2)计算积分计算积分解解 由于区间为由于区间为0,1,所以先作变量替换所以先作变量替换x=(1+t)/2,得得对于对于n=2,由三点由三点Gauss-Legendre公式有公式有令令 对于对于n=1,由两点由两点Gauss-Legendre公式有公式有容易求出定积分的精确值为容易求出定积分的精确值为 I=e-2=

12、0.718281828，由此可见，由此可见,n=1时的实时的实际误差为际误差为0.0063340054,n=2时的实际误差为时的实际误差为0.000030049。第三章 数值积分与数值微分以此为以此为Gauss点点,利用利用Chebyshev多项式的性质可得相应的求积系数多项式的性质可得相应的求积系数 为为其中其中 是关于是关于Gauss点的点的Lagrange插值基函数插值基函数.从而有从而有Gauss-Chebyshev求积公式求积公式2.Guass-Chebyshev求积公式求积公式 在区间在区间-1,1上取权函数上取权函数 的正交多项式是的正交多项式是Chebyshev正交正交多项式。

13、多项式。n+1次次Chebyshev多项式多项式 的零点为的零点为 第三章 数值积分与数值微分(3.4.4)对于对于n=1,二点二点Gauss-Chebyshev求积公式为求积公式为对于对于n=2,三点三点Gauss-Chebyshev求积公式为求积公式为例例3.8 计算积分计算积分解解 选用选用n=2的的Gauss-Chebyshev求积公式计算求积公式计算,这时这时 于是有于是有第三章 数值积分与数值微分3.4.3 Gauss求积公式的余项与稳定性求积公式的余项与稳定性定理定理 3.6 设设 ,则则Guass公式公式(3.4.1)的余项是的余项是(3.4.5)证证 由由Gauss点点 构造

14、次数不超过构造次数不超过2n+1的的Hermite插值插值多项式多项式H(x),满足条件满足条件由于由于Gauss公式具有公式具有2n+1次代数精度它对于次代数精度它对于H(x)能准确成立能准确成立,即即第三章 数值积分与数值微分对于两点对于两点Gauss-Legendre求积公式有求积公式有由Hermite插值多项式的插值余项有在考虑到 在a,b上保号,应用积分中值定理得(3.4.5),定理得证.第三章 数值积分与数值微分对比对比Newton-Cotes求积公式求积公式,Gauss求积公式不但具有高精度求积公式不但具有高精度,而且是数而且是数值稳定的值稳定的.Gauss公式的稳定性之所以能够

15、得到保证公式的稳定性之所以能够得到保证,是由于它的求积系数是由于它的求积系数具有非负性具有非负性.引理引理 Gauss求积公式求积公式(3.4.1)中的系数中的系数 全部为正全部为正.对于两点对于两点Gauss-Chebyshev求积公式有求积公式有第三章 数值积分与数值微分在实际计算积分的近似值在实际计算积分的近似值 时，时，不能精确地不能精确地取到，一般只能是近似值，设取到，一般只能是近似值，设 实际求实际求得的积分值为得的积分值为定理定理 3.7 对于函数值的变化所引起的求积公式的误差有对于函数值的变化所引起的求积公式的误差有证证 对于以对于以Gauss点点 为节点的插值基函数为节点的插值基函数 是是2n次多项式次多项式,故故Gauss公式公式(3.4.1)对于它能准对于它能准确确,即有即有 由于上式左端大于零由于上式左端大于零,所以有所以有第三章 数值积分与数值微分因此，（）成立，定理成立。因此，（）成立，定理成立。由定理由定理3.7可知，数据误差对于求积公式计算值的影响是可以控制的，即可知，数据误差对于求积公式计算值的影响是可以控制的，即Gauss求积公式在数值计算中是稳定的。求积公式在数值计算中是稳定的。证证 由于求积系数由于求积系数 因此有因此有在在Gauss求积公式中，取求积公式中，取f(x)=1，此时求积公式精确成立，即得，此时求积公式精确成立，即得