第三章 函数逼近与计算PPT讲稿.ppt

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1、第三章 函数逼近与计算第1页，共87页，编辑于2022年，星期二*2第三章第三章 函数逼近与计算函数逼近与计算数数 值值 分分 析析（Numerical AnalysisNumerical Analysis）第2页，共87页，编辑于2022年，星期二一、问题的提出一、问题的提出称为逼近的称为逼近的误差或余项误差或余项。如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是函数逼近要解决的问题？函数逼近要解决的问题？1 引引 言言用简单函数用简单函数 近似地代替函数近似地代替函数 近似代替又称为逼近，近似代替又称为逼近，称为称为被逼近函数被逼近函数，两者

2、之差两者之差，是计算数学中，是计算数学中最基本的概念和方法之一。最基本的概念和方法之一。称为称为逼近函数逼近函数，函数函数*3第3页，共87页，编辑于2022年，星期二二、函数逼近问题的一般提法二、函数逼近问题的一般提法 对于函数类对于函数类 中给定的函数中给定的函数 ，要求在另一类较简，要求在另一类较简单且便于计算的函数类单且便于计算的函数类 中寻找一个函数中寻找一个函数，使，使 与与 之差在之差在某种度量意义某种度量意义下最小。下最小。注：注：本章中所研究的函数类本章中所研究的函数类 通常为区间通常为区间 上的连续函数，上的连续函数，记作记作 。函数类。函数类 通常是代数多项式、分式有理函

3、数或通常是代数多项式、分式有理函数或三角多项式三角多项式。*4第4页，共87页，编辑于2022年，星期二v区间区间a,b上的所有上的所有实连续函数实连续函数组成一个空间，记作组成一个空间，记作Ca,bv函数范数函数范数概念是概念是n维欧氏空间中向量范数概念的推广，维欧氏空间中向量范数概念的推广，在数值分析中起着重要作用在数值分析中起着重要作用.三、常用的度量标准三、常用的度量标准1.连续函数空间和函数范数连续函数空间和函数范数第5页，共87页，编辑于2022年，星期二6则称则称 是是 (或或 )上的一个上的一个向量范数向量范数(或模或模).).如果向量如果向量 (或或 )的某的某个实值函数个实

4、值函数 ，满足条件：，满足条件：(向量范数向量范数)当且仅当当且仅当（正定条件）（正定条件）（三角不等式）（三角不等式）第6页，共87页，编辑于2022年，星期二7几种常用的向量范数几种常用的向量范数.1.1.向量的向量的 -范数范数(最大范数最大范数)：2.2.向量的向量的1-1-范数范数：3.3.向量的向量的2-2-范数范数也称为向量也称为向量 的的欧氏范数欧氏范数.4.4.向量的向量的 -范数范数其中其中 .第7页，共87页，编辑于2022年，星期二8函数函数 的范数，记为的范数，记为 (函数范数函数范数)当且仅当当且仅当（正定条件）（正定条件）（三角不等式）（三角不等式）满足条件：满足

5、条件：为任意实数为任意实数第8页，共87页，编辑于2022年，星期二几种常用的函数范数几种常用的函数范数.1.1.函数的函数的 -范数范数(最大范数最大范数)2.2.函数的函数的2-2-范数范数第9页，共87页，编辑于2022年，星期二的函数逼近称为的函数逼近称为一致逼近一致逼近或或均匀逼近均匀逼近。2.一致逼近一致逼近若以函数若以函数f(x)和和P(x)的最大误差的最大误差作为度量作为度量误差误差 f(x)-P(x)“大小大小”的标准，的标准，在这种意义下在这种意义下*10第10页，共87页，编辑于2022年，星期二3.平方逼近平方逼近采用采用作为度量误差作为度量误差“大小大小”标准的函数逼

6、近称为标准的函数逼近称为平方逼近平方逼近或或均方均方逼近逼近。*11第11页，共87页，编辑于2022年，星期二2 最佳最佳一致逼近一致逼近一、最佳一致逼近的概念一、最佳一致逼近的概念设函数设函数 是区间是区间 对于任意对于任意，如果存在，如果存在多项式多项式，使得不等式，使得不等式则称多项式则称多项式 在区间在区间 上上一致逼近一致逼近(或均匀逼近或均匀逼近)于函数于函数 。上的连续函数，上的连续函数，给定的给定的成立，成立，*12存在存在吗吗?存在！存在！定理定理3.1作保障！作保障！第12页，共87页，编辑于2022年，星期二所谓所谓最佳一致逼近问题最佳一致逼近问题就是对给定区间就是对给

7、定区间 上的连续函数上的连续函数，要求一个代数多项式，要求一个代数多项式 ,使得使得 其中其中，是次数不大于是次数不大于n的的多项式集合。多项式集合。称称为最佳一致逼近多最佳一致逼近多项式式*13第13页，共87页，编辑于2022年，星期二二、最佳一致逼近多项式的存在性二、最佳一致逼近多项式的存在性【定理定理 1】（维尔斯特拉斯（维尔斯特拉斯（Weierstrass）定理）定理）若若f(x)是区间是区间a,b上的连续函数，则对于任意上的连续函数，则对于任意 0，总存总存在多项式在多项式 P(x)，使对一切，使对一切a x b 有有*14第14页，共87页，编辑于2022年，星期二上的最佳一致逼

8、近上的最佳一致逼近在在能否在所有次数不超过能否在所有次数不超过n的代数多项式中找到一个的代数多项式中找到一个是次数不大于是次数不大于n的的多项式集合多项式集合空间中的最佳一致逼近问题。空间中的最佳一致逼近问题。意义下意义下:，使得，使得其中，其中，这就是这就是三、三、*15第15页，共87页，编辑于2022年，星期二3 最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式一、最佳一致逼近多项式的存在性一、最佳一致逼近多项式的存在性 【定理定理2】（Borel定理定理)在在 中都存在对中都存在对 的最佳一致逼近多项式的最佳一致逼近多项式,记为记为 的的n次最佳一致逼近多项式次最佳一致逼近多项式。称称为为简称简称

9、最佳逼近多项式最佳逼近多项式。,使得使得 成立成立.对任意的对任意的*16第16页，共87页，编辑于2022年，星期二二、相关概念二、相关概念1、偏差、偏差上的上的偏差偏差。则称则称为为与与在在注：注：，集合，记作集合，记作 ，它有下界，它有下界0。显然，显然，若若的全体组成一个的全体组成一个*17第17页，共87页，编辑于2022年，星期二2、最小偏差、最小偏差则称则称 若记集合的若记集合的下确界下确界为为为为 在在上的上的最小偏差最小偏差。*18第18页，共87页，编辑于2022年，星期二3、偏差点、偏差点设设 若在若在 上有上有 则称则称 是是 的的偏差点偏差点。若若 若若 则称则称 则

10、称则称 为为“正正”偏差点偏差点。为为“负负”偏差点偏差点。*19偏差点总是存在的吗偏差点总是存在的吗?第19页，共87页，编辑于2022年，星期二4、交错点组、交错点组若在若在 上存在上存在使得使得 这样的点组称为这样的点组称为Chebyshev交错点组交错点组。*20个点个点第20页，共87页，编辑于2022年，星期二三、三、上最佳一致逼近的特征上最佳一致逼近的特征【引理引理3.1】若若 是是 的的最佳最佳逼近多项式，则逼近多项式，则同时同时存在正、负偏差点。存在正、负偏差点。*21画图证明！画图证明！第21页，共87页，编辑于2022年，星期二*22第22页，共87页，编辑于2022年，

11、星期二【定理定理 3】（Chebyshev定理）定理）在区间在区间 至少至少有有 个轮流为个轮流为“正正”、“负负”的偏差点。的偏差点。即有即有 个点个点 使使 *23 是是 的的最佳最佳逼近多项式的逼近多项式的充要条件充要条件是是只证充分性！只证充分性！第23页，共87页，编辑于2022年，星期二【推论推论1】【推论推论2】*24若若 ,则在则在 中存在中存在惟一惟一的最佳逼近多项式的最佳逼近多项式若若 ,则其最佳逼近多项式则其最佳逼近多项式 就是就是 一个一个Lagrange插值多项式插值多项式。反证法！反证法！第24页，共87页，编辑于2022年，星期二四、最佳四、最佳一次一次逼近多项式

12、逼近多项式1、推导过程、推导过程设设 ，且，且 在在 内不变号，内不变号，要求要求在在 上的最佳上的最佳一次一次一致逼近多项式一致逼近多项式 由定理由定理3，在在 上恰好有上恰好有3 3个点构成的个点构成的交错交错且且区间端点区间端点属于这个交错点组，属于这个交错点组，点组点组，设另一个交错点为设另一个交错点为则则*25第25页，共87页，编辑于2022年，星期二解得解得即即即即*26第26页，共87页，编辑于2022年，星期二2、几何意义、几何意义*27第27页，共87页，编辑于2022年，星期二？3、举例、举例求求 在在 上的最佳一次逼近多项式。上的最佳一次逼近多项式。解：解：由由 可算出

13、可算出 故故解得解得*28第28页，共87页，编辑于2022年，星期二由由得得于是得于是得的最佳一次逼近多项式为的最佳一次逼近多项式为故故误差限为误差限为(*)(*)在（在（*）式中若令）式中若令 ，则可得一个求根的公式，则可得一个求根的公式29第29页，共87页，编辑于2022年，星期二4 最佳平方逼近最佳平方逼近一、内积空间一、内积空间1、权函数权函数的定义的定义设设(x)定义在区间定义在区间a,b上，上，如果具有下列性质：如果具有下列性质：(1)对任意对任意x a,b，(x)0；非负函数非负函数(2)积分积分 存在存在，(n=0,1,2,)；(3)对非负的连续函数对非负的连续函数g(x)

14、，若若 则在则在(a,b)上上g(x)0。称满足上述条件的称满足上述条件的(x)为为a,b上的上的权函数权函数。第30页，共87页，编辑于2022年，星期二内积：内积：设设 ，(x)定义在区间定义在区间a,b的权函数，积分的权函数，积分*312、内积的定义和性质、内积的定义和性质称为函数称为函数 在在a,b上的上的内积内积。第31页，共87页，编辑于2022年，星期二内积内积满足下列四条公理：满足下列四条公理：（1 1）（2）32c为常数为常数;（3）（4）当且仅当当且仅当 时，时，满足内积定义的函数空间称为满足内积定义的函数空间称为内积空间。内积空间。v 连续函数空间连续函数空间Ca,b上定

15、义了内积就形成了一个内积上定义了内积就形成了一个内积空间空间 回忆回忆向量向量内积的定义，比较向量内积和函数内积内积的定义，比较向量内积和函数内积的异同！的异同！第32页，共87页，编辑于2022年，星期二3、Euclid范数及其性质范数及其性质Euclid范数的定义范数的定义设设称为称为的的Euclid范范数数。则称量则称量*33第33页，共87页，编辑于2022年，星期二Euclid范数性质（范数性质（定理定理4）对于任何对于任何 下列结论成立：下列结论成立：（Cauchy-Schwarz不等式）不等式）(三角不等式三角不等式)(平行四边形定律平行四边形定律)*34第34页，共87页，编辑

16、于2022年，星期二二、相关概念二、相关概念1、距离、距离 线性赋范空间中两元素线性赋范空间中两元素 之间的距离为之间的距离为连续函数空间连续函数空间 中，中，与与 的距离定义为的距离定义为因此，因此，中两点中两点 与与 之间的距离即为之间的距离即为也称为也称为2-2-范数意义下的范数意义下的距离距离*35第35页，共87页，编辑于2022年，星期二2、正交、正交连续函数空间连续函数空间 中中，设设 则称则称f(x)与与g(x)在在a,b上上带权带权 (x)正交正交。进一步进一步，设在设在a,b上给定上给定函数族函数族 ，若满足条件，若满足条件则称函数族则称函数族 是是a,b上上带权带权(x)

17、的正交函数族的正交函数族。若若*36第36页，共87页，编辑于2022年，星期二特别地，当特别地，当Ak 1时，则称该函数族为时，则称该函数族为标准正交函数族标准正交函数族。若上述定义中的函数若上述定义中的函数族族为多项式函数为多项式函数族族，则称之为，则称之为a,b上上带权带权(x)的正交多项式的正交多项式族族。并称并称 是是 上上带权带权(x)的的 次正交多项式次正交多项式。*37【例例】三角函数族三角函数族 1，cosx,sinx,cos2x,sin2x,就是区间就是区间 上的正交函数族（权上的正交函数族（权 ）第37页，共87页，编辑于2022年，星期二三、内积空间上的最佳平方逼近三、

18、内积空间上的最佳平方逼近1函数族的线性关系函数族的线性关系【定义定义】设函数设函数 在区间在区间 上连续，上连续，如果关系式如果关系式当且仅当当且仅当 时才成立，时才成立，函数在函数在 上是上是线性无关线性无关的，否则称的，否则称线性相关线性相关。则称则称*38第38页，共87页，编辑于2022年，星期二 是是任意任意实数，则实数，则并称并称 是生成集合的一个是生成集合的一个基基底。底。的全体是的全体是 的一个的一个子集子集，记为，记为设设 是是 上上线性无关线性无关的连的连续函数续函数,*39第39页，共87页，编辑于2022年，星期二连续函数连续函数 在在 上线性无关的上线性无关的 充分必

19、要充分必要条件是它们的克莱姆条件是它们的克莱姆(Gram)行列式行列式【定理定理5】其中其中*40第40页，共87页，编辑于2022年，星期二广义多项式广义多项式 设函数族设函数族 ，线性无关，线性无关，则其有限项的线性组合则其有限项的线性组合称为称为广义多项式广义多项式。*41第41页，共87页，编辑于2022年，星期二四、函数的最佳平方逼近四、函数的最佳平方逼近 1.1.对于给定的函数对于给定的函数要求函数要求函数使使若这样的若这样的 存在，存在，中的中的最佳平方逼近函数最佳平方逼近函数。则称为则称为 在子集在子集特别地，若特别地，若 是多项式，是多项式，则称则称为为在在上的上的 次次最佳

20、平方逼近多项式最佳平方逼近多项式。*42第42页，共87页，编辑于2022年，星期二求最佳平方逼近函数求最佳平方逼近函数 的问题的问题可归结为求它的系数可归结为求它的系数 ，使使多元函数多元函数取得极小值。取得极小值。由于由于 是关于是关于 的二次函数，的二次函数，故利用故利用多元函数多元函数取得极值的必要条件，可得：取得极值的必要条件，可得：*43第43页，共87页，编辑于2022年，星期二(k=0,1,2,n)得方程组：得方程组：*44第44页，共87页，编辑于2022年，星期二如采用函数内积记号如采用函数内积记号方程组可以简写为：方程组可以简写为：*45第45页，共87页，编辑于2022

21、年，星期二写成矩阵形式为写成矩阵形式为 法方程组！法方程组！*46第46页，共87页，编辑于2022年，星期二由于由于0,1,n线性无关，故线性无关，故Gn 0，于是上述方程组于是上述方程组存在唯一解存在唯一解 。从而得到函数从而得到函数f(x)在在中，如果存在最佳平方逼近函数，中，如果存在最佳平方逼近函数，则必是则必是*47S*(x)一定是一定是f(x)的最佳平方逼近函数吗？为什么？的最佳平方逼近函数吗？为什么？平方误差为？平方误差为？取取k=xk,(x)=1,f(x)0,1,求求f(x)在在0,1上的最佳平方逼近多项式上的最佳平方逼近多项式S*(x)第47页，共87页，编辑于2022年，星

22、期二3、举例、举例求求 在在 中的中的一次一次最佳平方逼近多项式。最佳平方逼近多项式。这是这是 上的最佳平方逼近问题，上的最佳平方逼近问题，。解：解：取取记记因为因为且同样可求得且同样可求得*48第48页，共87页，编辑于2022年，星期二所以，关于所以，关于的的法方程组法方程组为为解得解得即即为为中对中对的最佳平方逼近函数。的最佳平方逼近函数。*49第49页，共87页，编辑于2022年，星期二1、正交化手续、正交化手续 一般来说，当权函数一般来说，当权函数 及区间及区间 给定以后，可以给定以后，可以由由线性无关线性无关的的幂函数族幂函数族 利用利用正正交化方法交化方法构造出构造出正交多项式族

23、正交多项式族*505 正交多项式正交多项式第50页，共87页，编辑于2022年，星期二2、正交多项式的性质、正交多项式的性质(1)是最高次项是最高次项系数系数为为1的的 次多项式次多项式.(2)任一任一 次多项式次多项式 均可表示为均可表示为 的线性组合的线性组合.(3)当当 时时,且且 与任一次数小于与任一次数小于 的多项式的多项式正交正交.*51第51页，共87页，编辑于2022年，星期二(4)递推性递推性其中其中其中其中*52第52页，共87页，编辑于2022年，星期二且都在区间且都在区间 内内.(5)(5)设设是在是在上带权上带权项式序列项式序列,的正交多的正交多则则的的个根都是单重实

24、根个根都是单重实根,*53第53页，共87页，编辑于2022年，星期二Legendre(勒让德勒让德)多项式多项式(1)(1)定义定义 多项式多项式称为称为n 次次勒让德多项式勒让德多项式(1814年年Rodrigul（罗德利克）（罗德利克）)。*543、常用的正交多项式常用的正交多项式 区间为区间为-1,1-1,1,权函数权函数 时，由时，由 正交正交化得到的多项式称为化得到的多项式称为勒让德多项式。勒让德多项式。第54页，共87页，编辑于2022年，星期二*55因为因为 是是2n次多项式，求次多项式，求n阶导数后得：阶导数后得：这样首项这样首项xn的系数是的系数是所以所以最高项系数为最高项

25、系数为1 1的勒让德多项式是的勒让德多项式是第55页，共87页，编辑于2022年，星期二(2)性质性质性质性质1 正交性正交性勒让德多项式序列勒让德多项式序列 是是-1,1上带权上带权 的正交多项式序列。即：的正交多项式序列。即：*56第56页，共87页，编辑于2022年，星期二 性质性质2 奇偶性奇偶性 当当n为偶数时为偶数时，为偶函数为偶函数；当当n为奇数时为奇数时，为奇函数为奇函数。*57性质性质3 在区间在区间(-1,1)内有内有n个不同的实零点个不同的实零点第57页，共87页，编辑于2022年，星期二性质性质4 递推关系递推关系相邻的三个勒让德多项式具有如下递推关系式：相邻的三个勒让

26、德多项式具有如下递推关系式：*58根据递推公式，可依次计算根据递推公式，可依次计算P2(x),P3(x),第58页，共87页，编辑于2022年，星期二性质性质5 在所有首项系数为在所有首项系数为1 1的的 次多项式中，次多项式中，多项式多项式 在在 上与零的上与零的平方误差最小平方误差最小。勒让德勒让德证明：证明：设设 是任意一个最高项系数为是任意一个最高项系数为1的的 次多项式，次多项式，它可表示为它可表示为于是于是当且仅当当且仅当时等号才成立，时等号才成立，即当即当 时平方误差最小。时平方误差最小。*59第59页，共87页，编辑于2022年，星期二第一类切比雪夫多项式第一类切比雪夫多项式(

27、1)(1)定义定义*60 区间为区间为-1,1,-1,1,权函数权函数 时，由时，由 正交化得到的多项式称为正交化得到的多项式称为切比雪夫切比雪夫多项式多项式（第一类）（第一类）。令令 ，则，则故故Tn(x)为关于为关于 的的 次代数多项式。次代数多项式。第60页，共87页，编辑于2022年，星期二(2)性质性质性质性质1 正交性正交性切比雪夫多项式序列切比雪夫多项式序列 Tn(x)是是在区间在区间-1,1上带权上带权 的正交多项式序列。的正交多项式序列。且且*61第61页，共87页，编辑于2022年，星期二 性质性质2 递推关系递推关系相邻的相邻的三个三个切比雪夫多项式具有如下递推关系式：切

28、比雪夫多项式具有如下递推关系式：由此可得：由此可得：Tn(x)的最高项系数是的最高项系数是2n-1,且且第62页，共87页，编辑于2022年，星期二 性质性质3 在区间在区间-1,1上有上有 个不同的零点个不同的零点*63 性质性质4 只含只含x的偶次幂，的偶次幂，只含只含x的齐奇次幂的齐奇次幂第63页，共87页，编辑于2022年，星期二性质性质5 多项式多项式 在在 上与零的上与零的偏差最小偏差最小。*64定理定理3.7 在区间在区间 上所有上所有首项系数为首项系数为1 1的的 次多项式次多项式中，中，与零的与零的偏差偏差最小最小，为，为 。v 分析与最佳一致逼近多项式的关系！分析与最佳一致

29、逼近多项式的关系！v 切比雪夫定理切比雪夫定理【例例】利用定理利用定理3.7求求 在在-1,1上的最佳二上的最佳二次逼近多项式（自己看！）次逼近多项式（自己看！）第64页，共87页，编辑于2022年，星期二其他常用的正交多项式其他常用的正交多项式(1)第二类第二类Chebyshev(切比雪夫切比雪夫)多项式多项式第二类切比雪夫多项式的表达式为：第二类切比雪夫多项式的表达式为：*65 区间为区间为-1,1,-1,1,权函数权函数 时，由时，由 正交化得到的多项式称为正交化得到的多项式称为切比雪夫切比雪夫多项式多项式（第二（第二类）类）。第65页，共87页，编辑于2022年，星期二 相邻的三项具有

30、递推关系式：相邻的三项具有递推关系式：第二类切比雪夫多项式的性质：第二类切比雪夫多项式的性质：是区间是区间-1,1上带权上带权的的正交多项式序列正交多项式序列。*66第66页，共87页，编辑于2022年，星期二(2)拉盖尔拉盖尔(Laguerre)多项式多项式*67拉盖尔多项式的表达式为：拉盖尔多项式的表达式为：区间为区间为 ,权函数权函数 时，由时，由 正交化得到的多项式称为正交化得到的多项式称为拉盖尔多项式拉盖尔多项式。第67页，共87页，编辑于2022年，星期二 是在区间是在区间0,+)上带权上带权 的的正交正交多项式序列多项式序列。相邻的三项具有递推关系式：相邻的三项具有递推关系式：拉

31、盖尔多项式的性质：拉盖尔多项式的性质：*68第68页，共87页，编辑于2022年，星期二(3)埃尔米特埃尔米特(Hermite)多项式多项式为埃尔米特多项式。为埃尔米特多项式。*69 区间为区间为 ,权函数权函数 时，由时，由 正交化得到的多项式称为埃尔米特正交化得到的多项式称为埃尔米特多项式多项式。埃尔米特多项式的表达式为：埃尔米特多项式的表达式为：第69页，共87页，编辑于2022年，星期二的的正交正交多项式序列。多项式序列。是区间是区间(-,+)上带权上带权 相邻的三项具有递推关系式：相邻的三项具有递推关系式：埃尔米特多项式的性质：埃尔米特多项式的性质：*70第70页，共87页，编辑于2

32、022年，星期二6 函数按函数按正交正交多项式展开多项式展开设设为为，其中，其中上带权上带权的的正交正交多项式，多项式，给定给定若若为为在在上的上的 次次最佳平方最佳平方逼近多项式，逼近多项式，则由正交多项式的性质得：则由正交多项式的性质得：即即*71第71页，共87页，编辑于2022年，星期二若若f(x)在在Ca,b 上按上按正交正交多项式多项式 展开，则展开，则 *72上式右端的级数称为上式右端的级数称为广义广义Fourier级数级数，系数，系数 广义广义Fourier系数系数 取函数取函数 按按Legendre多项式多项式 展开的最佳展开的最佳平方逼近多项式平方逼近多项式 ，则，则其中其

33、中平方误差平方误差为：为：第72页，共87页，编辑于2022年，星期二【例例】求求在在上的上的三次最佳平方逼近三次最佳平方逼近多项式。多项式。解：解：先计算先计算即即*73又：又：第73页，共87页，编辑于2022年，星期二所以得所以得所以有所以有均方误差为均方误差为最大误差为最大误差为*74第74页，共87页，编辑于2022年，星期二7 曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法1.1.问题的提出问题的提出已知测量数据：已知测量数据：要求简单函数要求简单函数，使得，使得总体上尽可能小。总体上尽可能小。称为称为“残差残差”77你有办法吗？你有办法吗？第77页，共87页，编辑于2022年，星期二注

34、：注：使使尽可能小的度量准则尽可能小的度量准则:常见做法：常见做法：v使使 最小最小较复杂较复杂v使使 最小最小不可导，求解困难不可导，求解困难v使使 最小最小*78这种构造近似函数的方法称为这种构造近似函数的方法称为曲线拟合曲线拟合；合函数合函数。称为称为拟拟第78页，共87页，编辑于2022年，星期二最小二乘法最小二乘法对于给定的一组数据对于给定的一组数据(xi,yi)(i=0,1,m)，要求在函数空间中，要求在函数空间中 找一个函数找一个函数 ，使误差平方和，使误差平方和达到最小达到最小,其中其中*79如何如何求求S*(x)呢？呢？若若 k(x)是是k 次多项式，那么次多项式，那么S*(

35、x)就是就是 n次多项式。次多项式。最小二乘法的最小二乘法的一般一般提法：提法：第79页，共87页，编辑于2022年，星期二记记则则I 实际上是实际上是 a0,a1,an 的多元函数，的多元函数，在在 I的极值点处应的极值点处应有有即：即：*80第80页，共87页，编辑于2022年，星期二于是，得到关于于是，得到关于a1,a2,an的的法方程组法方程组*81存在唯一的存在唯一的解解ak*(k=0,1,2,n)！所以所以S*(x)一定是数据点的一定是数据点的最小最小二乘解吗？为什么？二乘解吗？为什么？第81页，共87页，编辑于2022年，星期二2、举例、举例【例例1 1】给定给定 的一组实验数据

36、的一组实验数据求它的拟合函数。求它的拟合函数。*82xi 1234 5fi44.568 8.5i2131 1第82页，共87页，编辑于2022年，星期二解：解：作图可知：所有点都分布在一条直线的附近，故可选择作图可知：所有点都分布在一条直线的附近，故可选择线性函数线性函数作为拟合函数，故可设作为拟合函数，故可设 ,其中其中 故：故：*83第83页，共87页，编辑于2022年，星期二由上可得法方程组：由上可得法方程组：*84解方程组可得：解方程组可得：所以拟合曲线为所以拟合曲线为第84页，共87页，编辑于2022年，星期二【例例2】给给定定 的一组实验数据的一组实验数据求它的拟合函数。求它的拟合函数。*85第85页，共87页，编辑于2022年，星期二3.用用正交函数正交函数作最小二乘拟合作最小二乘拟合给定给定与正交函数系与正交函数系可利用正交化手可利用正交化手续进行构造行构造则最小二乘拟合函数为：则最小二乘拟合函数为：*86第86页，共87页，编辑于2022年，星期二*87作业：作业：P7722，23，24第87页，共87页，编辑于2022年，星期二