第四章不定积分精选PPT.ppt

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1、第四章不定积分第1页，此课件共54页哦注注2：不定积分的结果必须包含一个任意常数：不定积分的结果必须包含一个任意常数C.3.不定积分的几何意义：不定积分的几何意义：表示一簇表示一簇积分曲线，每条曲线在其横积分曲线，每条曲线在其横 坐标相同的点处的坐标相同的点处的切线互相平行。切线互相平行。0 xy已知曲线的切线已知曲线的切线斜率求曲线方程斜率求曲线方程就是对斜率求不就是对斜率求不定积分。定积分。第2页，此课件共54页哦4.4.不定积分的性质不定积分的性质（1）求不定积分与求导数或微分互为逆运算）求不定积分与求导数或微分互为逆运算1234思考：思考：第3页，此课件共54页哦(2)不为零的常数因子

2、可提到积分号外不为零的常数因子可提到积分号外（3）和的积分等于积分）和的积分等于积分 的和的和第4页，此课件共54页哦5.基本积分公式表基本积分公式表第5页，此课件共54页哦第6页，此课件共54页哦第7页，此课件共54页哦6.不定积分中的常不定积分中的常 用变换与技巧用变换与技巧（1）分解、折项、同除同乘；）分解、折项、同除同乘；（2）三角变换：倍角、半角、积化和差、）三角变换：倍角、半角、积化和差、第8页，此课件共54页哦被积函数中存在复合关系先换元再说被积函数中存在复合关系先换元再说.被积函数中含抽象函数被积函数中含抽象函数 时，设法求时，设法求 的表达式的表达式.第9页，此课件共54页哦

3、对三角函数的积分，化为同角同名对三角函数的积分，化为同角同名.被积函数中含有导数的积分被积函数中含有导数的积分分部积分分部积分被积函数中出现被积函数中出现二、基本问题及解法二、基本问题及解法问题问题(一一)与原函数有关的命题与原函数有关的命题运算依据运算依据:原函数的定义、不定积分的定义、原函数的定义、不定积分的定义、不定积分与微分的关系。不定积分与微分的关系。第10页，此课件共54页哦运算方法：（运算方法：（1）在单项选择题中求不定积分，选）在单项选择题中求不定积分，选择具有任意常数择具有任意常数C的备选答案求导，若其值等于被的备选答案求导，若其值等于被积函数，则此备选答案为所求；（积函数，

4、则此备选答案为所求；（2）已知不定积）已知不定积分的结果求被积函数，则对不定积分的结果求导分的结果求被积函数，则对不定积分的结果求导第11页，此课件共54页哦分析：由分析：由而而故选故选(B)第12页，此课件共54页哦例例4.则则分析：分析：第13页，此课件共54页哦问题问题(二二)：不定积分的计算：不定积分的计算 计算不定积分，通常要对被计算不定积分，通常要对被 积函数进行适当的积函数进行适当的变换，如代数变换（根式变换、指数对数变换、倒变换，如代数变换（根式变换、指数对数变换、倒代换、分解折项，同乘、同除等）以及三角换、反代换、分解折项，同乘、同除等）以及三角换、反三角变换，将积分化为常规

5、型。三角变换，将积分化为常规型。1.直接积分法直接积分法:有些积分可直接用不定积分的性有些积分可直接用不定积分的性质和基本积分公式求之质和基本积分公式求之;或者进行代数、三角的恒或者进行代数、三角的恒等变换（因式分解、折项、添项、和角、倍角公等变换（因式分解、折项、添项、和角、倍角公式）化为简单函数和的积分。式）化为简单函数和的积分。第14页，此课件共54页哦第15页，此课件共54页哦2.第一换元法第一换元法(凑微分法凑微分法)凑微分法是当被积函数为复合函数凑微分法是当被积函数为复合函数 时，时，将积分变量将积分变量x的微分的微分dx凑成凑成 的形式再用公式。的形式再用公式。第16页，此课件共

6、54页哦第17页，此课件共54页哦第18页，此课件共54页哦第19页，此课件共54页哦第20页，此课件共54页哦例例2.求列不定积分求列不定积分第21页，此课件共54页哦3.3.第二换元法第二换元法结果要求变量回代结果要求变量回代类型特点类型特点（1）被积函数中含有根式、且又不便直接积分）被积函数中含有根式、且又不便直接积分;（2）被积函数含指数、对数、三角、反三角函）被积函数含指数、对数、三角、反三角函 数、且又不便用其他方数、且又不便用其他方 法积分法积分.第22页，此课件共54页哦（2）三角换元）三角换元变量回代用直角三角形变量回代用直角三角形第23页，此课件共54页哦第24页，此课件共

7、54页哦例例1 1 求求解解令令第25页，此课件共54页哦例例2 2 求求解解令令第26页，此课件共54页哦例例 求求解解令令第27页，此课件共54页哦第28页，此课件共54页哦例例5.求下列积分求下列积分第29页，此课件共54页哦例例6.求下列积分（指数换元）求下列积分（指数换元）第30页，此课件共54页哦例例7.求下列不定积分（三角换元）求下列不定积分（三角换元）例例8.求下列不定积分求下列不定积分第31页，此课件共54页哦第32页，此课件共54页哦.分部积分法分部积分法第33页，此课件共54页哦第34页，此课件共54页哦解（一）解（一）令令显然，显然，选择不当，积分更难进行选择不当，积分

8、更难进行.例例1 1 求积分求积分第35页，此课件共54页哦解解（再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）例例2 2 求积分求积分解（二）解（二）令令第36页，此课件共54页哦例例4 4 求积分求积分解解第37页，此课件共54页哦例例5 5 求积分求积分解解注：本题也先换元后分部积分注：本题也先换元后分部积分.第38页，此课件共54页哦例例6解解第39页，此课件共54页哦例例7 求求解:令,则第40页，此课件共54页哦5.5.其它积分其它积分第41页，此课件共54页哦第42页，此课件共54页哦第43页，此课件共54页哦4).4).抽象函数的积分抽象函数的积分运算方法运算方法:换元积分法、分部积分法。换元积分法、分部积分法。解解第44页，此课件共54页哦两边同时对两边同时对 求导求导,得得第45页，此课件共54页哦问题问题(三三)不定积分的应用不定积分的应用第46页，此课件共54页哦第47页，此课件共54页哦第48页，此课件共54页哦第49页，此课件共54页哦第50页，此课件共54页哦不定积分不定积分课后练习课后练习第51页，此课件共54页哦8计算下列不定积分计算下列不定积分第52页，此课件共54页哦第53页，此课件共54页哦第54页，此课件共54页哦