第四章格林函数法精选文档.ppt
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1、第四章格林函数法本讲稿第一页,共三十九页格林函数又称为格林函数又称为点源函数点源函数或或影响函数影响函数。顾名思。顾名思义,它表示一个点源在一定的边界条件和义,它表示一个点源在一定的边界条件和(或或)初值条初值条件下所产生的场或影响。由于任意分布的源所产生的件下所产生的场或影响。由于任意分布的源所产生的场均可看成许许多多点源产生的场的叠加,因此格林场均可看成许许多多点源产生的场的叠加,因此格林函数一旦求出,就可算出任意源的场。格林函数法以函数一旦求出,就可算出任意源的场。格林函数法以统一的方式处理各类数学物理方程,既可以研究常微统一的方式处理各类数学物理方程,既可以研究常微分方程,又可以研究偏
2、微分方程;既可以研究齐次方分方程,又可以研究偏微分方程;既可以研究齐次方程又可以研究非齐次方程;既可以研究有界问题,又程又可以研究非齐次方程;既可以研究有界问题,又可以研究无界问题。它的内容十分丰富,应用极其广可以研究无界问题。它的内容十分丰富,应用极其广泛。这一章,我们主要介绍用格林函数求解拉普拉斯泛。这一章,我们主要介绍用格林函数求解拉普拉斯方程的边值问题。方程的边值问题。本讲稿第二页,共三十九页4.1 格林公式及其应用4.1.1 基本解基本解对拉普拉斯方程对拉普拉斯方程,其球坐标形式为:其球坐标形式为:(4.1.1)求方程求方程(4.1.1)(4.1.1)的球对称解的球对称解(即与即与和
3、和无关的解无关的解),),则有:则有:其通解为:其通解为:为任意常数为任意常数)。若取若取,则得到特解则得到特解,称此解为三维称此解为三维Laplace 方程的方程的基本解基本解,它在研究三维拉普拉斯方程中起着重要的作用它在研究三维拉普拉斯方程中起着重要的作用.本讲稿第三页,共三十九页对二维拉普拉斯方程对二维拉普拉斯方程,其极坐标形式为其极坐标形式为:(4.1.2)求方程求方程(4.1.2)(4.1.2)的径向对称解的径向对称解(即与即与无关的解无关的解),),则有:则有:其通解为:其通解为:为任意常数为任意常数)。若取若取,则得到特解则得到特解,称此解为二维称此解为二维Laplace方程的方
4、程的基本解基本解.本讲稿第四页,共三十九页4.1.2 格林公式格林公式由高斯公式由高斯公式,则得到则得到格林第一公式格林第一公式:令令 将以上两公式相减,得到将以上两公式相减,得到格林第二公式格林第二公式:调和函数调和函数:具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数。:具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数。本讲稿第五页,共三十九页4.1.3 调和函数的积分表达式由由Green公式可导出调和函数的积分表示。由于函数:公式可导出调和函数的积分表示。由于函数:除在除在 点外处处满足三维点外处处满足三维Laplace方程方程,于是有,于是有 定理:若函数定理:若函数 在在 上有一阶连续偏导数
5、,且在上有一阶连续偏导数,且在 内调和,则内调和,则 调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个函调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。本讲稿第六页,共三十九页 若函数若函数 在在 上有一阶连续偏导数,且在上有一阶连续偏导数,且在 内满足内满足Poisson方程方程 ,则同样有,则同样有 4.1.4 调和函数的性质调和函数的性质 性质性质1.设设 是区域是区域 内的调和函数,它在内的调和函数,它在上有一阶连续偏导数,则上有一阶连续偏导数,则其中其中 的外法线方向。的外法线方向。是是证明
6、证明 只要在只要在Green公式中取公式中取 即证。即证。注:此性质表明调和函数的法向导数沿区域边界的积分为零。注:此性质表明调和函数的法向导数沿区域边界的积分为零。对稳定的温度场,流入和流出物体界面的热量相等,否则就对稳定的温度场,流入和流出物体界面的热量相等,否则就不能保持热的动态平衡,而使温度场不稳定。不能保持热的动态平衡,而使温度场不稳定。本讲稿第七页,共三十九页 思考:思考:Laplace方程方程Neumann问题有解的必要条件是什么?问题有解的必要条件是什么?性质性质2(平均值定理平均值定理)设函数设函数在区域在区域 内调和,内调和,是是 内任意一点,若内任意一点,若是以是以 为中
7、心,为中心,a为半径为半径的球面,此球完全落在区域的球面,此球完全落在区域 的内部,则有的内部,则有证明:证明:由调和函数的积分表示:由调和函数的积分表示:及由性质及由性质1,有,有 本讲稿第八页,共三十九页上式称为调和函数的球面平均值公式。上式称为调和函数的球面平均值公式。又因为,在又因为,在 上有上有,所以,所以 性质性质3(极值原理极值原理)设函数设函数在区域在区域 内调和,内调和,它在它在上连续且不为常数,则它的最大值与最小值上连续且不为常数,则它的最大值与最小值只能在边界上达到。只能在边界上达到。推论推论1 设在设在 内有内有在在上连续且在边界上连续且在边界上有上有,则在,则在内有内
8、有推论推论2 Dirichlet问题问题 的解是唯一的。的解是唯一的。本讲稿第九页,共三十九页本讲稿第十页,共三十九页本讲稿第十一页,共三十九页4.2 格林函数格林函数由于调和函数有积分表示由于调和函数有积分表示:又因为又因为Dirichlet边值问题边值问题 的解唯一的解唯一,故希望故希望将此问题的解用积分表示出来。但由于在积分表达示中,将此问题的解用积分表示出来。但由于在积分表达示中,u在边界上的值虽然已知在边界上的值虽然已知,而而 在边界上的值却不知道在边界上的值却不知道.那么那么,能否作为边界条件加上能否作为边界条件加上 的值呢?的值呢?因为因为,此时的解已经是唯一的了此时的解已经是唯
9、一的了.那么只有想办法去掉那么只有想办法去掉 为此,引入格林函数的概念。为此,引入格林函数的概念。显然这是行不通的,显然这是行不通的,(4.2.1)本讲稿第十二页,共三十九页格林函数的物理背景格林函数的物理背景原点处点电荷电量原点处点电荷电量 ,点电荷密度点电荷密度处点电位处点电位即即 处点电荷电量处点电荷电量点电荷密度点电荷密度处点电位处点电位本讲稿第十三页,共三十九页4.2.1 格林函数的定义格林函数的定义设在设在 内有内有在在上有一阶连续上有一阶连续偏导数,则由格林第二公式有偏导数,则由格林第二公式有(4.2.2)将(将(4.2.1)和)和(4.2.2)两式加起来:两式加起来:(4.2.
10、3)选择调和函数选择调和函数v满足满足,于是有:于是有:(4.2.4)本讲稿第十四页,共三十九页记记(4.2.5)则有则有(4.2.6)称称 为为Laplace方程的格林函数。若方程的格林函数。若上有一阶连续偏导数,则当上有一阶连续偏导数,则当Dirichlet问题问题且在且在 上具有一阶连续偏导数的解存在时,解可以表示为上具有一阶连续偏导数的解存在时,解可以表示为在在(4.2.7)存在存在 本讲稿第十五页,共三十九页对对Poisson方程的方程的Dirichlet问题问题 上存在具有一阶连续偏导数的解,则解可以如果在如果在表示为表示为由此可见由此可见,求解求解Dirichlet问题问题,关键
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