第二节二重积分的计算PPT讲稿.ppt

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1、第二节二重积分的计算第1页，共52页，编辑于2022年，星期二（1）如果积分区域为：）如果积分区域为：其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.X型型一、一、直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算.X型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直线轴的直线与区域边界相交不多于两个交点与区域边界相交不多于两个交点.第2页，共52页，编辑于2022年，星期二由几何意义知由几何意义知,以以D为底的曲顶柱体体积为底的曲顶柱体体积V.如图如图.过点过点x0作平面作平面x=x0,截面是平面截面是平面x=x0上的上的,以以z=f (x0,y)为曲边为曲边的曲边梯形的曲

2、边梯形.由定积分的几何意义由定积分的几何意义,zx0yDz=f (x,y)z=f (x0,y)x0ab第3页，共52页，编辑于2022年，星期二从而从而,故故右端称为先对右端称为先对 y,再对再对 x 的二次积分的二次积分(累次积分累次积分).计算原则计算原则:由里到外由里到外.即先将即先将x 看作常数看作常数,以以y 为积分变为积分变量量,求里层积分求里层积分.得得到到的的结结果果是是只只含含x,不不含含 y 的的函函数数式式,再再求求外外层层积积分分(以以x为为积积分分变量变量).第4页，共52页，编辑于2022年，星期二注注1.公式公式虽是在条件虽是在条件 f(x,y)0下得到的下得到的

3、,但对一般的但对一般的 f(x,y)都成立都成立,只须只须D是是x型区域即可型区域即可.注注2.习惯上常将右端的二次积分记作习惯上常将右端的二次积分记作即即第5页，共52页，编辑于2022年，星期二定理定理1设有界闭区域设有界闭区域D是一个是一个X型区域型区域其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.第6页，共52页，编辑于2022年，星期二（2）如果积分区域为：）如果积分区域为：Y型型则二重积分可化为先对则二重积分可化为先对 x,再对再对 y 的二次积分的二次积分.即即 Y型区域的特型区域的特点点：穿过区域穿过区域且平行于且平行于x轴的轴的直线与区域边直线与区域边界相交不多于界相交不多

4、于两个交点两个交点.第7页，共52页，编辑于2022年，星期二定理定理2设有界闭区域设有界闭区域D是一个是一个Y型区域型区域第8页，共52页，编辑于2022年，星期二若区域即非若区域即非X-型区域，型区域，又非又非Y-型区域型区域(如图如图)，在分割后的三个区域上分别使用积分公式在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割，使得每个部分区域是则必须分割，使得每个部分区域是X-型区域或型区域或Y-型区域型区域.第9页，共52页，编辑于2022年，星期二例例1.1.xy0y=xy=x2x 为为确定累次积分的上、下确定累次积分的上、下限限.作与作与y轴同向的射线轴同向的射线,从下至上穿过从下至上穿

5、过D.则则y是由下方的曲线是由下方的曲线y=x2变到上方的曲线变到上方的曲线y=x的的.解解:先画区域先画区域D的图形的图形.方法方法1：先对先对y积分积分.里层积分的下限为里层积分的下限为x2,上限为上限为x.由于该射线变化范围是由于该射线变化范围是0,1.因此因此,外层积分下限为外层积分下限为0,上限为上限为1.即即第10页，共52页，编辑于2022年，星期二第11页，共52页，编辑于2022年，星期二xy0y=xy=x211方法方法2：先对先对 x 积分积分.作与作与 x 轴同向射线轴同向射线,从左至右穿过从左至右穿过D.y则则 x 是从左方曲线是从左方曲线x=y变到右方曲线变到右方曲线

6、y=x2.即即故里层对故里层对 x 积分的下限为积分的下限为y,上限为上限为而该射线的变化范围是而该射线的变化范围是0,1.故外层对故外层对 y 的积分下限为的积分下限为0,上限为上限为1.第12页，共52页，编辑于2022年，星期二第13页，共52页，编辑于2022年，星期二例例2.2.解解:先画先画D的图形的图形.先对先对 x 积分积分.作与作与 x 轴同向的射线穿过轴同向的射线穿过D.易知易知,x 从左方曲线从左方曲线y=x2即即右方曲线右方曲线 y=x+2即即 x=2 y.而而 y 0,1.xy0y=x+2y=x2112故故第14页，共52页，编辑于2022年，星期二所以所以,原式原式

7、=问问,若先对若先对 y 积分积分,情形怎样情形怎样?xy0y=x+2y=x2112第15页，共52页，编辑于2022年，星期二例例3.3.求求解：解：由于由于是是“积不出积不出”的，怎么办？的，怎么办？要改换积分次序要改换积分次序.先画积分区域先画积分区域D的图形的图形.由积分表达式知，由积分表达式知，D：y x 1,0 y 1画曲线画曲线 x=y 和和 x=1，直线，直线y=0,y=1.如图：如图：故故 原式原式=yx0Dy=x第16页，共52页，编辑于2022年，星期二由例由例2，例，例3知，选择适当的积分顺序，知，选择适当的积分顺序，有时能使积分变得简便，易行有时能使积分变得简便，易行

8、.在作在作题时，当按某一顺序积分很难，或不可行时，题时，当按某一顺序积分很难，或不可行时，可改换积分顺序试一试可改换积分顺序试一试.第17页，共52页，编辑于2022年，星期二例例4.4.改换改换解：解：写出写出D的表达式，的表达式，画画 D 的图形的图形改为先对改为先对x再对再对y的积分的积分yx0D24第18页，共52页，编辑于2022年，星期二解解积分区域如图积分区域如图第19页，共52页，编辑于2022年，星期二解解第20页，共52页，编辑于2022年，星期二例例7 7解解先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图第21页，共52页，编辑于2022年，星期二第22页，共52页，编辑于

9、2022年，星期二关于利用对称性积分的问题关于利用对称性积分的问题(1)若若D的图形关于的图形关于x轴对称轴对称.(i)若若f(x,y)=f(x,y),即函数也关于即函数也关于y是偶函数是偶函数.yx0D2D1(ii)若若f(x,y)=f(x,y),即函数也关于即函数也关于y是奇函数是奇函数.第23页，共52页，编辑于2022年，星期二(2)若若D的图形关于的图形关于y轴对称轴对称.yx0D2D1(i)若若f(x,y)=f(x,y)，(ii)若若f(x,y)=f(x,y)，即函数也关于即函数也关于x是偶函数是偶函数.即函数也关于即函数也关于x是奇函数是奇函数.第24页，共52页，编辑于2022

10、年，星期二(3)若若D关于原点对称关于原点对称(i)(ii)第25页，共52页，编辑于2022年，星期二 利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是不过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是要要兼顾被积分函数的奇偶性和积分区域的对称性两兼顾被积分函数的奇偶性和积分区域的对称性两个方面，不可误用个方面，不可误用.第26页，共52页，编辑于2022年，星期二二、利用极坐标系计算二重积分 当一些二重积分的积分区域当一些二重积分的积分区域D

11、用极坐标表示比用极坐标表示比较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑其计算问题。其计算问题。第27页，共52页，编辑于2022年，星期二1 直系与极系下的二重积分关系（如图）（1）面积元素变换为极系下：）面积元素变换为极系下：（2）二重积分转换公式：）二重积分转换公式：第28页，共52页，编辑于2022年，星期二（3）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下的二重积分需要进行的二重积分需要进行“三换三换”：第29页

12、，共52页，编辑于2022年，星期二2 极系下的二重积分化为二次积分用两条过极点的射线夹平面区域，用两条过极点的射线夹平面区域，由两射线的倾角得到其上下限由两射线的倾角得到其上下限任意作过极点的半射线与平面区域相交，任意作过极点的半射线与平面区域相交，由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。将直系下的二重积分化为极系后，极系下的二重将直系下的二重积分化为极系后，极系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算积分仍然需要化为二次积分来计算。第30页，共52页，编辑于2022年，星期二二、利用极坐标系计算二重积分第31页，共52页，编辑于2022年，星期二具体的（如图）

13、具体的（如图）（1）区域特征如图）区域特征如图第32页，共52页，编辑于2022年，星期二区域特征如图区域特征如图第33页，共52页，编辑于2022年，星期二（2）区域特征如图）区域特征如图第34页，共52页，编辑于2022年，星期二极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积（3）区域特征如图）区域特征如图第35页，共52页，编辑于2022年，星期二解解第36页，共52页，编辑于2022年，星期二解解第37页，共52页，编辑于2022年，星期二解解第38页，共52页，编辑于2022年，星期二第39页，共52页，编辑于2022年，星期二第40页，共52页，编辑于2022年，星期二解解第41页，共5

14、2页，编辑于2022年，星期二解解第42页，共52页，编辑于2022年，星期二解解第43页，共52页，编辑于2022年，星期二第44页，共52页，编辑于2022年，星期二二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）二、小结Y型型X型型第45页，共52页，编辑于2022年，星期二二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性）第46页，共52页，编辑于2022年，星期二计算二重积分应该注意以下几点：计算二重积分应该注意以下几点：先要考虑积分区域的形状，先要考虑积分区

15、域的形状，看其边界曲线用直角坐标系方程表示简单还是极看其边界曲线用直角坐标系方程表示简单还是极坐标坐标系方程表示简单，其次要看被积函数的特点，系方程表示简单，其次要看被积函数的特点，看使用极坐标后函数表达式能否简化并易于积分。看使用极坐标后函数表达式能否简化并易于积分。首先，选择坐标系。首先，选择坐标系。其次，化二重积分为二次积分。其次，化二重积分为二次积分。根据区域形状和类型确根据区域形状和类型确定积分次序，从而穿线确定内限，夹线确定外限。定积分次序，从而穿线确定内限，夹线确定外限。最后，计算二次积分。最后，计算二次积分。由内向外逐层计算，内层积分由内向外逐层计算，内层积分计算时，外层积分变量看做常量。计算时，外层积分变量看做常量。第47页，共52页，编辑于2022年，星期二思考题思考题第48页，共52页，编辑于2022年，星期二思考题解答思考题解答第49页，共52页，编辑于2022年，星期二第50页，共52页，编辑于2022年，星期二思考题思考题第51页，共52页，编辑于2022年，星期二思考题解答思考题解答第52页，共52页，编辑于2022年，星期二