等差数列与等比数列的性质精选文档.ppt

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1、等差数列与等比数列的性质本讲稿第一页，共四十一页一、一、.等差数列的性质等差数列的性质1若公差若公差 ，则为递增等差数列，则为递增等差数列，若公差若公差 ,则为递减等差数列则为递减等差数列,若公差若公差 ,则为常数列则为常数列.d0d0，则，则lgan是等差数列是等差数列.（2k-1）ak本讲稿第三页，共四十一页nda中中8 在等差数列在等差数列an中，当项数为偶数中，当项数为偶数2n时时;S偶偶-S奇奇=;项项 数为奇数数为奇数2n-1时时;S奇奇-S偶偶=，S2n-1=(2n-1)a中中(这里这里a中中 即即an);S奇奇 S偶偶=(k+1)k.9若等差数列若等差数列an、bn的前的前n项

2、和分别为项和分别为Sn、Tn,且且 =f(n),则则 =f(2n-1).10“首正首正”的递减等差数列中的递减等差数列中,前前n项和的最大值是所项和的最大值是所 有有非负项非负项 之和之和;“首负首负”的递增等差数列中的递增等差数列中,前前n项和的项和的 最小最小 值是所有值是所有非正项非正项之和之和.思考：思考：类比等差数列的基本性质，归纳总结等比数列类比等差数列的基本性质，归纳总结等比数列 的基本性质的基本性质本讲稿第四页，共四十一页2.2.等比数列的性质等比数列的性质(1)(1)当当m m+n n=p p+q q 时，则有时，则有 ,特别地，当特别地，当 m m+n n=2=2p p 时

3、，则有时，则有a am ma an n=a ap p2 2.(2)(2)若若 a an n 是等比数列，则是等比数列，则 kakan n、aan n2 2、1/a1/an n 成等比数列；成等比数列；(3)(3)若若 a an n、b bn n 成等比数列，则成等比数列，则 a an nb bn n、成等比数列成等比数列;(4)(4)若若 a an n 是等比数列是等比数列,且公比且公比q q-1,-1,则数列则数列S Sn n,S S2 2n n-S Sn n,S S3 3n n-S S2 2n n,也是也是 数列数列.当当q q=-1,=-1,且且n n为偶数时为偶数时,数数 列列S Sn

4、 n,S S2 2n n-S Sn n,S S3 3n n-S S2 2n n,是常数数列是常数数列0,0,它不是等比数列它不是等比数列.aman=apaq等比等比注意：注意：下标成等差，对应的项成等比下标成等差，对应的项成等比与首末两项距离相等的两项之积相等与首末两项距离相等的两项之积相等,即即 a1an=a2an-1=a3an-2=本讲稿第五页，共四十一页(5)(5)若若a a1 10,0,q q1,1,则则 a an n 为为 数列；若数列；若a a1 10,1,1,则则 a an n 为为 数列数列;若若a a1 10,00,0q q1,1,则则 a an n 为递减为递减 数列；若数

5、列；若a a1 10,00,0q q11，则，则 a an n 为为递增数列递增数列；若；若q q0,0,0,n n=1,2,=1,2,，且且a a5 5a a2 2n n-5-5=2=22 2n n(n n3),3),则则 当当n n11时时,log,log2 2a a1 1+log+log2 2a a3 3+log+log2 2a a2 2n n-1-1=()=()A.n(2n-1)B.(n+1)2C.n2 D.(n-1)2C本讲稿第二十页，共四十一页 本本题题是是等等差差、等等比比的的求求值值题题，难难点点是是找找条条件件和和目目标标之之间间的的对对应应关关系系.解解题题时时，根根据据等

6、等差差、等等比比数数列列的的“成成对对下下标标和和”性性质质，列列出出方方程程或或多多个个恒恒等等式式是是解解题题的的关关键键.一一般般的的，对对于于涉涉及及等等差差、等等比比数数列列的的通通项项公公式式的的条条件件求求值值题题，合合理理利利用用通通项或相关性质进行化归是基本方法项或相关性质进行化归是基本方法.本讲稿第二十一页，共四十一页 1(2010(2010湖湖北北省省模模拟拟)设设数数列列 a an n、b bn n 都都是是正正项项等等比比数数列列，S Sn n、T Tn n分分别别为为数数列列lglga an n 与与lglgb bn n 的的前前n n项项和和,且且 =,则则log

7、logb b5 5a a5 5=.由题知，由题知，=logb5a5 logb5a5=.本讲稿第二十二页，共四十一页 （1）两个等差数列）两个等差数列an，bn的前的前n项和的比是项和的比是 (7n2)(n3)，这两个数列中第这两个数列中第7项的比项的比a7 b7.=，(2)已知数列已知数列an是等比数列是等比数列，且且Sm10，S2m30，则则S3m_70_.(3)等差数列的前等差数列的前n项和为项和为54，前，前2n项的和为项的和为60，则前则前3n项的和为项的和为 18 .解答解答(1).例例3“和与部分和和与部分和和与部分和和与部分和”性质性质性质性质本讲稿第二十三页，共四十一页(2)解

8、析：解析：解法一解法一：Sm10，S2m30，整体消元技巧整体消元技巧得得1qm3，qm2.代入代入得得 10，10(把把 整体作为未知元很关键整体作为未知元很关键)S3m (10)(123)70.解法二：解法二：an是等比数列，是等比数列，Sm，S2mSm，S3mS2m，即，即10,20，S3m30满足满足10(S3m30)202，S3m3040，S3m70.答案答案：70本讲稿第二十四页，共四十一页 巧巧用用性性质质，减减少少运运算算，在在有有关关等等差差、等等比比数数列列的的计计算算中中非非常常重重要要.巧巧用用性性质质，构构造造一个新的等差或等比数列求解一个新的等差或等比数列求解.本讲

9、稿第二十五页，共四十一页对对于有于有穷穷的等差、等比数列的相关的等差、等比数列的相关计计算算问题问题有着特殊的有着特殊的计计算方法，算方法，比如在一个比如在一个项项数数n为为奇数的等差数列中奇数的等差数列中 (其中其中 为为中中项项)(1)项项数数为为奇奇数数的的等等差差数数列列，奇奇数数项项之之和和为为44，偶偶数数 项项之之和和为为33，求，求该该数列的中数列的中间项间项和和项项数数(2)一一个个等等差差数数列列的的前前12项项和和为为354，前前12项项中中偶偶数数项项和和与与奇奇 数数项项和之比和之比为为 32 27，求等差数列的公差，求等差数列的公差例例4本讲稿第二十六页，共四十一页

10、解答：解答：(1)根据已知条件根据已知条件 设等差数列的项数为设等差数列的项数为n，则则 因此该数列中间项为因此该数列中间项为11，项数为项数为7.S偶偶 (S偶偶S奇奇)192.S奇奇162，d 5.本讲稿第二十七页，共四十一页 .已知一个等比数列的首项为已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为项数是偶数，其奇数项的和为85，偶偶数项的和为数项的和为170.求这个数列的公比和项数求这个数列的公比和项数解答：解答：解法一：解法一：设该设该等比数列的公比等比数列的公比为为q，项项数数为为2n，则则S偶偶qS奇奇q 2.又又S2nS偶偶S奇奇 8517022n1255.2n8，故数列

11、公比，故数列公比为为2，项项数数为为8.解法二：解法二：设该设该数列公比数列公比为为q，项项数数为为2n，则则奇数奇数项项、偶数、偶数项项也构成等比数也构成等比数列，且公比列，且公比为为q2，可推出，可推出q21.故有故有 q2，n4.故故这这个数列的公比个数列的公比为为2，项项数数为为8.本讲稿第二十八页，共四十一页1 1 知三求二：在等差（比）数列中，知三求二：在等差（比）数列中，a a1 1,d d(q q),),n n,a an n,S Sn n共五个量中知道其中任意共五个量中知道其中任意 三个，就可以求出其他两个三个，就可以求出其他两个.解这类问题时，一般是转化为首项解这类问题时，一

12、般是转化为首项a a1 1和公差和公差 d d(公比公比q q)这两个基本量的有关运算这两个基本量的有关运算.【方法规律方法规律】2了了解解和和掌掌握握等等差差数数列列和和等等比比数数列列的的基基本本性性质质，有有利利于于更更深深刻刻地地理理解解等等差差数数列列和和等等比比数数列列问问题题，使有关的计算和证明问题能做到更简洁、明了、快速和准确使有关的计算和证明问题能做到更简洁、明了、快速和准确 巧用性质、减少运算量：在等差、等比数列的计算中，巧用性质非常重要，同时树巧用性质、减少运算量：在等差、等比数列的计算中，巧用性质非常重要，同时树立立“目标意识目标意识”，需要什么，就求什么，既要充分合理

13、地利用条件，又要时刻注意，需要什么，就求什么，既要充分合理地利用条件，又要时刻注意问题的目标，往往能取得与问题的目标，往往能取得与“巧用性质巧用性质”解题相同的效果解题相同的效果.本讲稿第二十九页，共四十一页(1)(1)若等差数列若等差数列 a an n 的的项项数数为为2 2n n1 1，则则S S偶偶(n n1)1)a an n，S S奇奇nanan n；(2)(2)若等差数列若等差数列 a an n 的的项项数数为为2 2n n，公差，公差为为d d，则则S S偶偶S S奇奇ndnd；(3)(3)若等比数列若等比数列 a an n 的的项项数数为为2 2n n，公比，公比为为q q，则则

14、 q q.(4)(4)等比数列的相关等比数列的相关结论结论可以看作是等差数列可以看作是等差数列结论结论的的“运算升运算升级级”.3 3除去以上所列出的等差数列和等比数列的基本性质之外，还要注意以下的一除去以上所列出的等差数列和等比数列的基本性质之外，还要注意以下的一些常见情况：些常见情况：本讲稿第三十页，共四十一页(本本题题满满分分12分分)若若Sn是是公公差差不不为为0的的等等差差数数列列an的的前前n n项项和和，且且S1，S2，S4成成等等比数列比数列，(1)求数列求数列S1，S2，S4的公比的公比；(2)若若S24，求求an的通项公式的通项公式.本讲稿第三十一页，共四十一页【考卷实录考

15、卷实录】本讲稿第三十二页，共四十一页【分析点评分析点评】1.考题对等差数列和等比数列进行综合考查，考卷实录中第考题对等差数列和等比数列进行综合考查，考卷实录中第(1)问很好把握了等问很好把握了等差数列前差数列前n项和的特征项和的特征SnAn2Bn.而第而第(2)问利用了已知问利用了已知Sn求求an，要注意，要注意an 要注意对要注意对a1S1是否适合是否适合anSnSn1，n2的检验的检验本讲稿第三十三页，共四十一页2本题的一般解法具体如下：本题的一般解法具体如下：(1)由由已已知知条条件件得得 S1S4，即即(2a1d)2a1(4a16d)，整整理理得得：d22a1d，又又d0，则，则d2a

16、1，4，数列，数列S1，S2，S4的公比为的公比为4.(2)由已知条件由已知条件4a14，则，则a11，d2，ana1(n1)d2n1.本讲稿第三十四页，共四十一页学例1 (2009安安徽徽卷卷)已已知知an为为等等差差数数列列，a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99.以以Sn表表 示示 an的的前前n项和，则使得项和，则使得Sn达到最大值的达到最大值的n是是()BA.21 B.20C.19 D.18本讲稿第三十五页，共四十一页 由由a1+a3+a5=105,得得3a3=105,即即a3=35.由由a2+a4+a6=99，得，得3a4=99，即，即a4=33.则由则由-得得d=-2，所以所以an=a4+(n-4)(-2)=41-2n.an0 an+10，解得解得19.50),则在定义域上有则在定义域上有 ,a1 ,a=1 ,0a1.f(x)g(a)=本讲稿第三十九页，共四十一页故对故对nN*，bn+1g(a)恒成立恒成立.又又b2n=g(a),注意到注意到0g(a)，解上式得，解上式得 =an ,取取=，即有，即有 an.本讲稿第四十页，共四十一页2010.10.26本讲稿第四十一页，共四十一页