第八章二元函数的极值PPT讲稿.ppt

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1、第八章二元函数的极值第1页，共39页，编辑于2022年，星期三多元函数极值多元函数极值一、多元函数的极值和最值一、多元函数的极值和最值H=2ezsurf(-x*y/exp(x2+y2),-h,h,-h,h,-h,h)第2页，共39页，编辑于2022年，星期三1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义第3页，共39页，编辑于2022年，星期三(1)(2)(3)第4页，共39页，编辑于2022年，星期三2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件第5页，共39页，编辑于2022年，星期三证证第6页，共39页，编辑于2022年，星期三 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的仿照一元函

2、数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的点，均称为函数的驻点驻点.注意：注意：驻点驻点极值点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？第7页，共39页，编辑于2022年，星期三第8页，共39页，编辑于2022年，星期三解解第9页，共39页，编辑于2022年，星期三第10页，共39页，编辑于2022年，星期三第11页，共39页，编辑于2022年，星期三3 3、多元函数的最值、多元函数的最值 与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值求函数的最大值和最小值.求最值的一般方法求最值的一般方法设设

3、 f(x,y)在在D上连续，上连续，D内可微且在内可微且在D内内至多有有限个驻点至多有有限个驻点,这时若这时若 f(x,y)在在D内内取得最值取得最值,则这个最值也一定是极值则这个最值也一定是极值 将函数在将函数在 D D 内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在 D D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值最大者即为最大值，最小者即为最小值.故一般方法是故一般方法是第12页，共39页，编辑于2022年，星期三 在实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定函数在实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定函数在区域

4、内部确有最大值（最小值），这时如果函数在区域在区域内部确有最大值（最小值），这时如果函数在区域内只有一个驻点，则可以断定该点处的函数值就是函数在内只有一个驻点，则可以断定该点处的函数值就是函数在区域上的最大值（最小值）区域上的最大值（最小值）解解如图如图,第13页，共39页，编辑于2022年，星期三第14页，共39页，编辑于2022年，星期三例例3 要造一个容量一定的长方体箱子，问选择怎样的尺要造一个容量一定的长方体箱子，问选择怎样的尺寸，才能使所用材料最少？寸，才能使所用材料最少？解解 设箱子的长、宽、高分别是设箱子的长、宽、高分别是x,y,z，容量为，容量为V，表面，表面积为积为S。则：。

5、则：V=xyzS=2(xy+yz+yx)第15页，共39页，编辑于2022年，星期三 根据实际问题可知根据实际问题可知S一定存在最小值。唯一的极一定存在最小值。唯一的极值应该是最小值。值应该是最小值。第16页，共39页，编辑于2022年，星期三例例4 某工厂生产两种产品甲与乙，出售单价分别为某工厂生产两种产品甲与乙，出售单价分别为10元与元与9元，生产元，生产x单位的产品甲与单位的产品甲与 y单位的产品乙总单位的产品乙总费用是费用是 求取得最大利润时，两种产品的产量各多少求取得最大利润时，两种产品的产量各多少?解解 设设L(x,y)表示产品甲与乙分别生产表示产品甲与乙分别生产x与与y单位时所单

6、位时所得的总利润因为总利润等于总收入减去总费用，所得的总利润因为总利润等于总收入减去总费用，所以以第17页，共39页，编辑于2022年，星期三得驻点得驻点(120,80)由题意知，生产由题意知，生产120单位产品甲与单位产品甲与80单位产品单位产品乙设所得利润最大乙设所得利润最大 是极大值是极大值第18页，共39页，编辑于2022年，星期三解解由由第19页，共39页，编辑于2022年，星期三无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件并无其他条件.条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值第20页，共39页，编辑于20

7、22年，星期三二、条件极值与拉格朗日乘数法二、条件极值与拉格朗日乘数法第21页，共39页，编辑于2022年，星期三 一些较简单的条件极值问题可以把它转化为无条件极一些较简单的条件极值问题可以把它转化为无条件极值来求解值来求解降元法，但这种方法需要经过解方程和代入降元法，但这种方法需要经过解方程和代入的手续，对于较复杂的方程就不容易做到，有时甚至是不的手续，对于较复杂的方程就不容易做到，有时甚至是不可能的。可能的。解决条件极值问题的一般方法是解决条件极值问题的一般方法是Lagrange乘数法乘数法升元法升元法求求 z=f(x,y)其几何意义是其几何意义是其中点其中点(x,y)在曲线在曲线 L 上

8、上第22页，共39页，编辑于2022年，星期三假定点假定点P(x0,y0)为条件极值点为条件极值点在在(x0,y0)的某个邻域内的某个邻域内 且不同时为且不同时为0f(x,y)可微可微确定了一个隐函数确定了一个隐函数y=y(x)故故 z=f x,y(x)在在P(x0,y0)处取得极值处取得极值故故即即又由隐函数的微分法知又由隐函数的微分法知第23页，共39页，编辑于2022年，星期三代入上式代入上式令令得得P(x0,y0)为条件极值点的必要条件为为条件极值点的必要条件为第24页，共39页，编辑于2022年，星期三xyzoz=f(x,y)LM无条件极值点无条件极值点.P条件极值点条件极值点.第2

9、5页，共39页，编辑于2022年，星期三第26页，共39页，编辑于2022年，星期三例例6解解 销售某产品需作两种方式的广告宣传，当宣传费用分销售某产品需作两种方式的广告宣传，当宣传费用分别为别为x x 和和y y(单位：千元单位：千元)时，销售量时，销售量S S （单位：件）是（单位：件）是x x 和和 y y的函数的函数若销售产品所得的利润是销售量的若销售产品所得的利润是销售量的 1/5 1/5 减去总的广告费，减去总的广告费，两种广告费共两种广告费共2525（单位：千元）应怎样分配两种方式的（单位：千元）应怎样分配两种方式的广告费，能使利润最大，最大利润是多少广告费，能使利润最大，最大利

10、润是多少?根据题意，利润函数为根据题意，利润函数为第27页，共39页，编辑于2022年，星期三设拉格朗日函数设拉格朗日函数求其对求其对x x，y y，的一阶偏导数，并使之为零，得，的一阶偏导数，并使之为零，得方程组方程组 第28页，共39页，编辑于2022年，星期三解得，故点解得，故点(15,10)(15,10)是惟一的驻点，也是最大值是惟一的驻点，也是最大值点于是，当两种宣传方式的广告费分别为点于是，当两种宣传方式的广告费分别为1515和和10(10(单位：千元单位：千元)时，其利润最大、最大利润时，其利润最大、最大利润是是第29页，共39页，编辑于2022年，星期三例例7求内接于椭球求内接

11、于椭球 的最大长方体的体积的最大长方体的体积,长方体的各面平行于坐标面长方体的各面平行于坐标面解一解一设内接于椭球且各面平行于坐标面的长方体在第一卦设内接于椭球且各面平行于坐标面的长方体在第一卦限的顶点的坐标为限的顶点的坐标为(x,y,z)则长方体的体积为则长方体的体积为V=8xyz令令第30页，共39页，编辑于2022年，星期三解得解得或或两式相除两式相除同理同理即即代入解得代入解得三式相加得三式相加得第31页，共39页，编辑于2022年，星期三解二解二任意固定任意固定 z0 (0 z0 c )先在所有高为先在所有高为2 z0 的长方体中求体积最大者的长方体中求体积最大者因为高是固定的，故当

12、底面积最大时体积最大因为高是固定的，故当底面积最大时体积最大今上底面为内接于椭圆今上底面为内接于椭圆边平行于边平行于 x,y 轴的长方形轴的长方形当长方形的边长分别为当长方形的边长分别为（一元函数极值问题）（一元函数极值问题）第32页，共39页，编辑于2022年，星期三长方形面积最大长方形面积最大得到高为得到高为 2z0 的长方体中最大体积为的长方体中最大体积为V(z0)最大最大这时长方体在第一卦限的顶点的坐标为这时长方体在第一卦限的顶点的坐标为解三解三作变换作变换问题变成在问题变成在 下求下求 XYZ 的最大值的最大值 易知为立方体易知为立方体第33页，共39页，编辑于2022年，星期三解四解四即求即求 的最大值的最大值而此三个正数的和一定（而此三个正数的和一定（=1）当当 积最大积最大第34页，共39页，编辑于2022年，星期三四、小结四、小结多元函数的极值多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法思考题思考题第35页，共39页，编辑于2022年，星期三思考题解答思考题解答第36页，共39页，编辑于2022年，星期三练练 习习 题题第37页，共39页，编辑于2022年，星期三第38页，共39页，编辑于2022年，星期三练习题答案练习题答案第39页，共39页，编辑于2022年，星期三