第六章第一节幻灯片PPT讲稿.ppt

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1、第六章第一节幻灯片第1页，共30页，编辑于2022年，星期三一、集合一、集合1.集合的定义集合的定义集合集合集合是数学中最基本的概念之一，集合是数学中最基本的概念之一，它不能用更简单的概念来定义，而只能对它作些解它不能用更简单的概念来定义，而只能对它作些解释释.所谓所谓集合集合是指由一些确定的对象是指由一些确定的对象(或事物或事物)汇集汇集成的整体，其中每个对象叫集合的成的整体，其中每个对象叫集合的元素元素.通常用大写字母通常用大写字母 A，B，X，Y 等表示集合，用等表示集合，用小写字母小写字母 a,b,x,y 等表示集合的元素等表示集合的元素.如果元素如果元素 a在集合在集合 A 中，就说

2、中，就说“a 属于属于 A”，记作，记作 a A；第2页，共30页，编辑于2022年，星期三如果元素如果元素 a 不在集合不在集合 A 中，就说中，就说“a 不属于不属于 A”，记作记作 a A.2.集合的表示法集合的表示法集合的表示法有两种：集合的表示法有两种：列举法列举法和和描述法描述法.列举法列举法:把集合中的元素一一列举出来把集合中的元素一一列举出来.例如，设例如，设 M 是由数是由数1,2,3 组成的集合，则组成的集合，则 M可记为可记为M=1,2,3.第3页，共30页，编辑于2022年，星期三描述法描述法:即用集合中全部元素所具有的特征即用集合中全部元素所具有的特征性质来表述集合性

3、质来表述集合.其格式是其格式是M=a|a 具有的性质具有的性质 .例如，适合方程例如，适合方程的全部点的的全部点的集合集合 M 可写成可写成第4页，共30页，编辑于2022年，星期三又例如，两个多项式又例如，两个多项式 f(x),g(x)的公因式的集合可的公因式的集合可写成写成M=d(x)|d(x)|f(x),d(x)|g(x).3.空集合空集合不包含任何元素的集合称为不包含任何元素的集合称为空集合空集合,记为记为.例如，例如，一个无解的线性方程组的解集合是空集合一个无解的线性方程组的解集合是空集合.把空集合也看作是集合，这一点与通常的习惯不把空集合也看作是集合，这一点与通常的习惯不很一致，但

4、是在数学上有好处，同时也不是完全没很一致，但是在数学上有好处，同时也不是完全没有道理的，正如把有道理的，正如把 0 也看作是数一样也看作是数一样.第5页，共30页，编辑于2022年，星期三4.两个集合之间的关系两个集合之间的关系1)相等相等如果两个集合如果两个集合 M 与与 N 含有完全相同的元素，含有完全相同的元素，即即 a M 当且仅当当且仅当 a N，那么它们就称为，那么它们就称为相等相等，记为记为M=N.2)子集合子集合如果集合如果集合 M 的元素全是集合的元素全是集合 N 的元素，即由的元素，即由a M 可以推出可以推出 a N，那么，那么 M 就称为就称为 N 的的子集子集合合，记

5、为，记为 M N 或或 N M.第6页，共30页，编辑于2022年，星期三例如，全体偶数组成的集合是全体整数组成的例如，全体偶数组成的集合是全体整数组成的集合的子集合集合的子集合.按定义，每个集合都是它自身的子按定义，每个集合都是它自身的子集合集合.我们规定，空集合是任一集合的子集合我们规定，空集合是任一集合的子集合.两个集合两个集合 M 和和 N 如果同时满足如果同时满足 M N 和和 N M，则，则 M 和和 N 相等相等.3)交集交集设设 M，N 是两个集合，既属于是两个集合，既属于 M 又属于又属于 N 的的全体元素所组成的集合称为全体元素所组成的集合称为 M 与与 N 的的交集交集，

6、记为，记为M N.第7页，共30页，编辑于2022年，星期三集合集合 M，N 的交集，用图示法可表示为如下的的交集，用图示法可表示为如下的的阴影部分的阴影部分.MNMN图图 6-1第8页，共30页，编辑于2022年，星期三例如，方程例如，方程 2x-y=1 的解集合与方程的解集合与方程 x-2y=2的解集合的交集就是方程组的解集合的交集就是方程组的解集合的解集合.又例如，设又例如，设 M=1,2,3,4 ,N=2,3 ,则则M N=2,3 .显然有显然有M N M，M N N.第9页，共30页，编辑于2022年，星期三4)并集并集属于集合属于集合 M 或者属于集合或者属于集合 N 的全体元素所

7、成的全体元素所成的集合称为的集合称为 M 与与 N 的的并集并集，记为，记为M N.集合集合 M，N 的并集，的并集，所示的红色部分所示的红色部分.MNM N用图示法可表示为如图用图示法可表示为如图设设 M=1,2,3,4 ,N=2,3,5 ,则则M N=1,2,3,4,5.图图 6-2第10页，共30页，编辑于2022年，星期三5)差集差集属于集合属于集合 M 而不属于集合而不属于集合 N 的所有元素组成的所有元素组成的集合称为的集合称为 M 与与 N 的的差集差集，记为，记为M-N.MNM-N集合集合 M，N 的差集，的差集，所示的红色部分所示的红色部分.用图示法可表示为如图用图示法可表示

8、为如图设设 M=1,2,3,4 ,N=2,3,5 ,则则M-N=1,4.图图 6-3第11页，共30页，编辑于2022年，星期三二、映射二、映射1.映射的定义映射的定义定义定义1 设设 X，Y 是非空集，所谓集合是非空集，所谓集合 X 到集合到集合Y 的一个的一个映射映射就是指一个法则就是指一个法则 ，它使，它使 X 中每一个中每一个元素元素 都有都有 Y 中一个确定的元素中一个确定的元素 与之对应与之对应.记为记为 ()=，或，或 ：.称为称为 在映射在映射 下的下的像像，而，而 称为称为 在映射在映射 下下的一个的一个原像原像.第12页，共30页，编辑于2022年，星期三M 到到 M 自身

9、的映射，有时也称为自身的映射，有时也称为 M 到自身的到自身的变换变换.注意：注意：的像是唯一的，但的像是唯一的，但 的原像不一定的原像不一定是唯一的是唯一的.2.映射的例子映射的例子例例 1 M 是全体整数的集合，是全体整数的集合，N 是全体偶数是全体偶数的集合，定义的集合，定义 (n)=2n,n M.这是这是 M 到到 N 的一个映射的一个映射.第13页，共30页，编辑于2022年，星期三例例 2 M 是数域是数域 P 上全体上全体 n 级矩阵的集合，级矩阵的集合，定义定义 1(A)=|A|，A M.这是这是 M 到到 P 的一个映射的一个映射.例例 3 M 是数域是数域 P 上全体上全体

10、 n 级矩阵的集合，级矩阵的集合，定义定义 2(a)=aE，a P.E 是是 n 级单位矩阵，这是级单位矩阵，这是 P 到到 M 的一个映射的一个映射.第14页，共30页，编辑于2022年，星期三例例 4 对于对于 f(x)P x，定义，定义 (f(x)=f (x).这是这是 P x 到自身的一个映射到自身的一个映射.例例 5 设设 A，B 是两个非空的集合，是两个非空的集合，b0 是是 B 中中一个固定的元素，定义一个固定的元素，定义 (a)=b0，a A.即即 把把 A 中的每个元素都映射到中的每个元素都映射到 b0，这是，这是 A 到到 B的一个映射的一个映射.第15页，共30页，编辑于

11、2022年，星期三例例 6 设设 M 是一集合，是一集合，定义定义 (a)=a，a M.即即 把每个元素映到它自身，称为集合把每个元素映到它自身，称为集合 M 的的恒等恒等映射映射或或单位映射单位映射，记为，记为 1M.例例 7 任意一个任意一个定义在全体实数上的函数定义在全体实数上的函数 y=f(x)都是实数集合到自身的映射都是实数集合到自身的映射.因此，因此，函数可以认为函数可以认为是映射的一个特殊情形是映射的一个特殊情形.第16页，共30页，编辑于2022年，星期三3.两个映射相等两个映射相等定义定义2 设设 、都是集合都是集合 MM 到到到到 集合集合集合集合 N 的的映射，映射，若对

12、若对 MM 中的每个元素中的每个元素中的每个元素中的每个元素 a a 都有都有都有都有 (a a)=)=(a a)则称它们则称它们则称它们则称它们相等相等，记为，记为，记为，记为 =.第17页，共30页，编辑于2022年，星期三4.映射的乘积映射的乘积1)定义定义定义定义3 设设设设 、分别是集合分别是集合 A A 到到到到 B 和和和和 B 到到 C C 的两个映射，的两个映射，乘积乘积 定义为定义为定义为定义为()(a)=(a a),),a A ,即相继施行即相继施行即相继施行即相继施行 和和 的结果，的结果，的结果，的结果，是是 A A 到到到到 C 的一个的一个的一个的一个映射映射映射

13、映射.第18页，共30页，编辑于2022年，星期三例如，前面例如，前面中映射的乘积中映射的乘积 1 2就是把每个就是把每个 n 级矩阵级矩阵 A 映到数量矩阵映到数量矩阵|A|E，它是，它是全体全体 n 级矩阵的集合到自身的一个映射级矩阵的集合到自身的一个映射.对于集合对于集合 X 到到 Y 的任一映射的任一映射 ，显然有，显然有1Y =1X=.2)运算规律运算规律映射的乘法满足结合律映射的乘法满足结合律.设设 、分别是分别是 集合集合 A 到到 B，B 到到 C，C 到到 D，则，则 ()=()=()第19页，共30页，编辑于2022年，星期三 ()=()结合律结合律证明证明显然上式两端都是

14、显然上式两端都是 A 到到 D 的映射，要的映射，要证明它们相等，只需要证明它们对于证明它们相等，只需要证明它们对于 A 中每个元中每个元素的作用都相同，即素的作用都相同，即 ()(a)=()(a),对于每个对于每个 a A.由定义由定义 ()(a)=()(a)=(a),()(a)=()(a)=(a).证毕证毕第20页，共30页，编辑于2022年，星期三注意：注意：映射的乘法不满足交换律，例如映射的乘法不满足交换律，例如设设 f(x)=sin x,g(x)=x+1,则则g(f(x)=sin x+1；f(g(x)=sin(x+1).故故 g f f g.第21页，共30页，编辑于2022年，星期

15、三5.满射、单射、双射满射、单射、双射定义定义4 设设 是集合是集合 X X 到到到到 Y Y 的一个映射的一个映射,如果：如果：(1)(1)对任意的对任意的 1,2 2 X,当当 1 2 2 时时，(1)(2 2)，则称，则称，则称，则称 为为为为单射单射(或称内射或称内射 injection).(2)(2)(X X)=)=Y Y，即对于任意的，即对于任意的，即对于任意的，即对于任意的 Y Y，存在，存在 X X，使，使，使，使 ()=，则称，则称 为为满射满射(或称映上的或称映上的surjection).(3)若映射若映射 既是单射又是满射，则称既是单射又是满射，则称 为为双射双射(或称一

16、一对应，或称一一对应，或称一一对应，或称一一对应，bijection).bijection).第22页，共30页，编辑于2022年，星期三例例 8满射的有：满射的有：单射的有：单射的有：双射的有：双射的有：在在中，中，例例 1,2,4,6，当，当 n=1 时的例时的例 3;例例 1，3，6;例例 1，6.第23页，共30页，编辑于2022年，星期三显然，对于由有限多个元素组成的集合，即所显然，对于由有限多个元素组成的集合，即所谓有限集合来说，两个集合之间存在双射的充分必谓有限集合来说，两个集合之间存在双射的充分必要条件是它们所含元素的个数相同要条件是它们所含元素的个数相同.于是对有限集于是对有

17、限集合合 M 及其子集及其子集 M M，M 与与 M 就不能建立双射就不能建立双射.对无限集合就不一定如此对无限集合就不一定如此.有限集到有限集的映射有限集到有限集的映射的三种情况，可用下图来示意的三种情况，可用下图来示意.XY 单射单射XY 满射满射XY 双射双射图图 6-4第24页，共30页，编辑于2022年，星期三6.逆映射逆映射1)定义定义定义定义5 设设设设 是集合是集合是集合是集合 X X 到到 Y Y 的一个映射，的一个映射，=1=1X X 和和和和 =1=1Y 如果如果存在集合存在集合存在集合存在集合 Y Y 到到 X 的一个映射的一个映射的一个映射的一个映射 ，使，使，使，使

18、同时成立，则称同时成立，则称 是是可逆映射可逆映射(简称简称简称简称 可逆可逆)，并，并，并，并称称 为为为为 的的的的逆映射逆映射，记作，记作，记作，记作 -1=.定义中定义中 与与 的地位是相同的，此时也说的地位是相同的，此时也说 是是可逆的，且可逆的，且 -1=.第25页，共30页，编辑于2022年，星期三2)逆映射的唯一性逆映射的唯一性如果映射是可逆的，则其逆映射是唯一的如果映射是可逆的，则其逆映射是唯一的.证明证明设设 1，2 是是 的两个逆映射，即的两个逆映射，即 1 =2 =1X 且且 1 =2=1Y.则有则有 1 =11Y=1(2)=(1 )2=1X 2=2，故故 的逆映射是唯

19、一的的逆映射是唯一的.证毕证毕第26页，共30页，编辑于2022年，星期三3)映射可逆的条件映射可逆的条件集合集合集合集合 X X 到到 Y Y 的映射的映射 可逆的充分必条件是可逆的充分必条件是 为双射为双射为双射为双射.证明证明先证先证必要性必要性设设 可逆，即有唯一的可逆，即有唯一的从集合从集合 Y 到到 X 的映射的映射 ，使，使 =1X 且且 =1Y,于是，对任意的于是，对任意的 Y，有，有 =1Y()=()()=()，由于由于 ()X，故，故 是满射；是满射；第27页，共30页，编辑于2022年，星期三又因为，若又因为，若 (1)=(2)，则则 1=1X(1)=(1)=()(1)=

20、(2)=()(2)=1X(2)=2，故故 是单射，从而是单射，从而 是双射是双射.再证再证充分性充分性充分性充分性.设设 是双射，对任意的是双射，对任意的 Y，存在唯一的存在唯一的 X，使，使 ()=，于是可定义集，于是可定义集合合 Y 到到 X 的映射的映射 ，使得，使得 ()=，其中，其中 是是 X中与中与 一一对应的元素，这样，对任意的一一对应的元素，这样，对任意的 X,第28页，共30页，编辑于2022年，星期三都有都有()()=()=()=，所以，所以，=1X.同样，对任意的同样，对任意的 Y，都有，都有()()=()=()=，所以，所以，=1Y.因此因此 是可逆的是可逆的.证毕证毕

21、第29页，共30页，编辑于2022年，星期三本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本

22、节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请

23、单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.第30页，共30页，编辑于2022年，星期三