第四节幂级数精选PPT.ppt

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1、第四节幂级数第1页，此课件共42页哦（1）（2）对于每一个确定的对于每一个确定的代入（代入（1）式得）式得若（若（2）收敛，则称）收敛，则称为函数项级数（为函数项级数（1）的收敛点，）的收敛点，若（若（2）发散，则称）发散，则称为函数项级数（为函数项级数（1）的发散点，）的发散点，所有收敛点的全体称为（所有收敛点的全体称为（1）的收敛域，记为）的收敛域，记为散点的全体称为（散点的全体称为（1）的发散域，记为）的发散域，记为所有发所有发常数项级数常数项级数都收敛，都收敛，其和记为其和记为第2页，此课件共42页哦（1）所有收敛点的全体称为（所有收敛点的全体称为（1）的收敛域，记为）的收敛域，记为散

2、点的全体称为（散点的全体称为（1）的发散域，记为）的发散域，记为所有发所有发常数项级数常数项级数都收敛，都收敛，其和记为其和记为即即称称 s(x)为（为（1）的和函数，）的和函数，和函数的定义域即为和函数的定义域即为 I。两个基本问题：两个基本问题：（1）如何确定（）如何确定（1）的收敛域？）的收敛域？（2）如何在收敛域上求（）如何在收敛域上求（1）的和函数？）的和函数？第3页，此课件共42页哦二、幂级数及收敛性二、幂级数及收敛性（1）当当（2）在变量代换在变量代换的幂级数，的幂级数，时，上述幂级数成为时，上述幂级数成为下，（下，（1）就化为（）就化为（2）了）了形如形如的函数项级数的函数项级

3、数称为称为第4页，此课件共42页哦（2）对于幂级数（对于幂级数（2），），（1）如何确定它的收敛域）如何确定它的收敛域 I；（2）在收敛域内）在收敛域内，如何求它的和函数，如何求它的和函数 s(x)。主要有两个问题主要有两个问题:第5页，此课件共42页哦考察幂级数考察幂级数这是公比为这是公比为 x 的几何级数，的几何级数，（1）当）当|x|1 时，时，级数收敛，级数收敛，（2）当）当|x|1 时，时，级数发散，级数发散，（1）所以（所以（1）的收敛域为）的收敛域为（1）的发散域为）的发散域为在收敛域内，（在收敛域内，（1）的和函数为）的和函数为即即（1）的收敛域是一个以原点为中心的对称区间。）

4、的收敛域是一个以原点为中心的对称区间。第6页，此课件共42页哦又例：又例：解：将该幂级数看成参数为解：将该幂级数看成参数为 x 的任意项常数级的任意项常数级数，并用常数项级数收敛性判别法进行判别。数，并用常数项级数收敛性判别法进行判别。结论：结论：当当|x|1 时发散时发散当当 x=1 时，级数收敛。时，级数收敛。当当 x=1 时级数发散。时级数发散。特点：特点：除去端点除去端点 1 外，收敛域外，收敛域 I 是以原点为是以原点为中心的对称区间。中心的对称区间。收敛域为收敛域为收敛域的上述特点对一般的幂级数收敛域的上述特点对一般的幂级数也成立的。也成立的。第7页，此课件共42页哦定理定理1（阿

5、贝尔定理）：如果级数（阿贝尔定理）：如果级数时收敛，时收敛，时，时，反之，如果级数反之，如果级数当当则当则当幂级数绝对收敛幂级数绝对收敛当当时发散，时发散，时，时，则当则当幂级数发散。幂级数发散。定理定理1的几何解释：的几何解释：（1）幂级数）幂级数的收敛点都集中在以原点为中心的左右两侧。的收敛点都集中在以原点为中心的左右两侧。（2）第8页，此课件共42页哦推论：如果级数推论：如果级数使得（使得（1）当）当|x|R 时，时，发散，发散，（3）当）当 x=R 时，时，可能收敛，也可能发散可能收敛，也可能发散第9页，此课件共42页哦称上述称上述 R 为为收敛区间收敛区间的收敛半径，的收敛半径，为收

6、敛区间为收敛区间+收敛的端点收敛的端点规定规定：仅在仅在 x=0 处收敛，则处收敛，则（2）若）若在整个数轴上收敛，则在整个数轴上收敛，则=收敛域收敛域（1）若）若问题：如何求问题：如何求的收敛半径？的收敛半径？第10页，此课件共42页哦定理定理2：考虑幂级数：考虑幂级数如果如果其中，其中，是级数相邻两项的系数，则是级数相邻两项的系数，则第11页，此课件共42页哦求幂级数求幂级数（1）利用极限）利用极限（2）判定幂级数在端点）判定幂级数在端点确定收敛半径确定收敛半径 R 处的收敛性，处的收敛性，收敛域的一般步骤：收敛域的一般步骤：（3）收敛域等于收敛区间加收敛的端点。）收敛域等于收敛区间加收敛

7、的端点。及收敛区间及收敛区间 第12页，此课件共42页哦例例1：当当 x=1 时，时，当当 x=1 时，时，交错级数且收敛交错级数且收敛，所以，所求收敛域为：所以，所求收敛域为：发散发散解：解：第13页，此课件共42页哦例例2：求幂级数求幂级数 的收敛域的收敛域解：解：第14页，此课件共42页哦例例3：求幂级数求幂级数 的收敛域的收敛域解：解：t=1，交错级数且收敛，交错级数且收敛，t=1，调和级数且发散调和级数且发散第15页，此课件共42页哦例例4：求幂级数求幂级数 的收敛域的收敛域解：解：当当 x=2 时，原级数成为时，原级数成为发散，发散，故故理由：原级数中缺少偶数次幂的项：理由：原级数

8、中缺少偶数次幂的项：所以所以 R=2，实际上实际上第16页，此课件共42页哦解：解：因原级数为缺项级数，定理因原级数为缺项级数，定理 2 不能直接应用。不能直接应用。此时要用任意常数项级数的比值判别法来求此时要用任意常数项级数的比值判别法来求例例4：求幂级数求幂级数 的收敛域的收敛域当当即即当当即即时，级数收敛时，级数收敛时，时，时，发散，时，发散，时，时，第17页，此课件共42页哦解：解：例例4：求幂级数求幂级数 的收敛域的收敛域当当即即当当即即时，级数收敛时，级数收敛时，时，时，发散，时，发散，时，时，当当发散发散所以原级数的收敛域为所以原级数的收敛域为时，原级数成为时，原级数成为第18页

9、，此课件共42页哦解：解：例例5：求幂级数求幂级数 的收敛域的收敛域幂级数缺少奇次幂的项，幂级数缺少奇次幂的项，所以原级数的收敛域为所以原级数的收敛域为原级数成为原级数成为也可先作变量替换：也可先作变量替换：可按例可按例 4 的方法处理的方法处理这是关于这是关于 t 的幂级数，的幂级数，且没有缺项且没有缺项可直接用定理可直接用定理 2 求收敛半径和收敛域：求收敛半径和收敛域：第19页，此课件共42页哦三、幂级数的运算及性质三、幂级数的运算及性质（一）幂级数的运算（一）幂级数的运算收敛半径收敛半径收敛半径收敛半径（1）加法）加法第20页，此课件共42页哦（2）乘法）乘法收敛半径收敛半径收敛半径收

10、敛半径第21页，此课件共42页哦（3）除法）除法收敛半径收敛半径收敛半径收敛半径其中系数其中系数可通过下面等式来确定可通过下面等式来确定相除后的幂级数，其收敛区间可能比原级数小的多。相除后的幂级数，其收敛区间可能比原级数小的多。第22页，此课件共42页哦（二）幂级数性质（二）幂级数性质性质性质1：如果两个幂级数如果两个幂级数的收敛半径分别为的收敛半径分别为则有则有且收敛半径且收敛半径 R 满足：满足：第23页，此课件共42页哦性质性质2：幂级数幂级数的和函数的和函数 s(x)在收敛域在收敛域 I 上连续；上连续；例如：例如：收敛域为：收敛域为：故其和函数故其和函数 s(x)在在上连续上连续 第

11、24页，此课件共42页哦性质性质3：幂级数幂级数逐项积分后所得级数逐项积分后所得级数的和函数的和函数 s(x)在收敛域在收敛域 I 上可积，上可积，并有逐项积分公式并有逐项积分公式其收敛半径与原级数相同。其收敛半径与原级数相同。第25页，此课件共42页哦并求常数项级数并求常数项级数解：解：级数成为级数成为发散发散所以收敛域为所以收敛域为例例1：求求的收敛域及和函数，的收敛域及和函数，的和。的和。设幂级数在设幂级数在 I 上的和函数为上的和函数为 s(x),则则第26页，此课件共42页哦例例1：求求并求常数项级数并求常数项级数解：解：的收敛域及和函数，的收敛域及和函数，的和。的和。第27页，此课

12、件共42页哦例例1：求求并求常数项级数并求常数项级数解：解：的收敛域及和函数，的收敛域及和函数，的和。的和。第28页，此课件共42页哦例例1：求求并求常数项级数并求常数项级数解：解：的收敛域及和函数，的收敛域及和函数，的和。的和。第29页，此课件共42页哦性质性质4：幂级数幂级数逐项求导后所得级数逐项求导后所得级数的和函数的和函数 s(x)在收敛区间在收敛区间内可导，内可导，并有逐项求导公式并有逐项求导公式其收敛半径与原级数相同。其收敛半径与原级数相同。第30页，此课件共42页哦例例2：求求 的和函数的和函数解：必须先求出收敛域：解：必须先求出收敛域：设在收敛域设在收敛域 I 上，和函数为上，

13、和函数为 s(x),则则第31页，此课件共42页哦例例2：求求 的和函数的和函数解：必须先求出收敛域：解：必须先求出收敛域：设在收敛域设在收敛域 I 上，和函数为上，和函数为 s(x),则则第32页，此课件共42页哦解：必须先求出收敛域：解：必须先求出收敛域：设在收敛域设在收敛域 I 上，和函数为上，和函数为 s(x),则则例例3：求求 的和函数，的和函数，并求并求的和的和第33页，此课件共42页哦例例3：求求 的和函数，的和函数，解：必须先求出收敛域：解：必须先求出收敛域：并求并求的和的和第34页，此课件共42页哦例例3：求求 的和函数，的和函数，解：必须先求出收敛域：解：必须先求出收敛域：

14、并求并求的和的和取取第35页，此课件共42页哦习题114:1(1,2,8),3(1,3)第十一章第四节第十一章第四节:作业作业第36页，此课件共42页哦例例5：求求 的收敛区间及和函数的收敛区间及和函数解：（解：（1）先求级数的收敛区间）先求级数的收敛区间 I 当当 x=1 时，时，一般项不趋于一般项不趋于 0，级数发散，级数发散，第37页，此课件共42页哦对每一个对每一个级数的前级数的前 n 项部分和为项部分和为（2）在收敛区间内求级数的和函数）在收敛区间内求级数的和函数例例5：求求 的收敛区间及和函数的收敛区间及和函数解：（解：（1）第38页，此课件共42页哦例例5：求求 的收敛区间及和函

15、数的收敛区间及和函数解：（解：（1）先求级数的收敛区间）先求级数的收敛区间 I 当当 x=1 时，时，一般项不趋于一般项不趋于 0，级数发散，级数发散，第39页，此课件共42页哦对每一个对每一个级数的前级数的前 n 项部分和为项部分和为（2）在收敛区间内求级数的和函数）在收敛区间内求级数的和函数例例5：求求 的收敛区间及和函数的收敛区间及和函数解：（解：（1）第40页，此课件共42页哦问题问题2：对于一般的幂级数，如何在收敛域内对于一般的幂级数，如何在收敛域内求其和函数求其和函数 S(x)？第41页，此课件共42页哦问题问题2：对于一般的幂级数，如何在收敛域内对于一般的幂级数，如何在收敛域内求其和函数求其和函数 S(x)？第42页，此课件共42页哦