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1、有效的教学，开放的教学郑毓信2008，8简介南京大学哲学系教授、博士生导师；西南（师范）大学兼职教授、兼职博士生导师。1992年起享受政府特殊津贴。主要研究领域：数学哲学；科学哲学；数学教育与科学教育。已出版著作25部，发表论文260多篇。从教学研究谈起：建议（1）加强问题意识。问题应当被看成教师教学研究的直接出发点。问题从何而来？立足教学实践例一“三角形稳定性”的教学（仲海峰）出发点：教学中所遇到的问题：（1）“老师，我发现有的三角形没有稳定性！”（2）“这个四边形车架是铁的，所以它也有稳定性。”一个普遍的模式：问题分析、学习、思考结论新的实践。例二“认识角的课后反思”（徐青松）出发点：教学

2、研究中的不同观点：（1）对角的直观认识到底应该如何把握？观点1：要大大加强触觉（摸）的认识，充分感受到边是平的、滑的；顶点处是尖尖的、刺刺的等。观点2：开门见山的谈谈、摸摸角，简洁、明了。”（2）抽象角与生活角的差别是否需要让学生想象、体验？观点1：作为二年级的学生，以形象思维为主，让他们想象角，超出了学生的认知水平。观点2：作为二年级的学生，抽象思维正在迅猛发展，以想象来体验角的两边无限长，可以接受。”关于教学研究的建议（2）努力做到“小中见大”。既应切实立足于教学实践，同时又应指明问题的普遍意义。例一“三角形稳定性”的教学 应当如何去认识“数学的生活化”问题？“生活数学与学校数学之间存在着

3、本质的区别。因此，数学教学的方向不应是生活化由数学向生活的简单化归，而应是形式化借助生活，实现由生活向数学的有效过渡。”例二“认识角的课后反思”动手实践与教师的必要引导：“问题指向性要明确，在新课程理念下很多教师为了不限制学生的思维，创设探索的情境，但设置的问题往往很大很散这样反而矫枉过正问题指向明确显得组织严密，引导就富有成效。学习内容有多大价值与课堂用时绝对成正比，这是很朴素的道理。”关于教学研究的建议（3）保持对于热点问题的必要关注。一个新的热点：“有效的课堂教学”第六届全国新世纪小学数学课程与教学系列研讨会（教育部北京师范大学基础教育课程研究中心、国家义务教育数学课程标准研制组、新世纪

4、小学数学教材编委会联合主办）：新课程背景下小学数学课堂教学有效性的研究“基础教育研究部门的同志要切忌浮躁，甘于寂寞，潜心研究，掌握教育规律，熟悉课程实际，加强对新课程实施背景下教学工作的指导，研究解决教学中的实际问题。中小学校长更要把抓好教学摆在第一位，走进课堂，加强教学管理，推动广大教师切实改进教学方式，提高课堂教学效率。”（陈小娅，深入学习贯彻党的十七大精神，全面推进基础教育改革与发展。人民教育，2008年第13-4期。第2-6页必要的提醒 坚持独立思考，不要盲目追随潮流。不要迷信专家。实例之一为了给学生一杯水教师不需要一桶水，有一杯水也够了，关键看你能不能把水倒给学生；为了给学生一杯水甚

5、至教师没有水也可以，大家一起去打井，就会有水了。实例之二由“校本教研”到“校本课程”、乃至“校本课程规划”。我们不仅应当根据各校的情况去编写校本课程，而且也应对学校中的各种课程，包括国家课程、地方课程和校本课程做出自己的整体设计和安排。结论：不要迷信专家 在面对任一新的时髦口号或潮流时，我们都应冷静地思考：究竟什么是这一新的主张或口号的主要内涵？这一主张或口号究竟又能为我们提供什么新的启示和教益？一个值得思考的问题由由“双基双基”到到“四基四基”。基本思想；基本思想；基本活动经验。基本活动经验。回到主题：三个应当思考的问题“有效的课堂教学”这一口号是否有其一定的合理性？什么是“有效的课堂教学”

6、的主要内涵？相关的实践又应如何防止可能的片面性？一、“有效的课堂教学”的合理性例例“新西兰的阳光”（王宏甲，新教育风暴，北京出版社，2004）：“这是五年级的一堂课，老师出了这样一道题：每个篮子里有24块蛋糕，6个篮子里共有多少块蛋糕？新西兰五年级的学生用各种方式踊跃回答，很有成功感。”必要的反思然而，这不是我们二年级教的吗？他们五年级的学生能答出来这也值得高兴？像这样的教学能算是有效的吗？必要的对照：中国数学教学传统“课堂教学相对于具体目标的高效率性。”（1）中国的数学教学每一堂课都有着十分明确的目标；（2）中国的数学教学并就是围绕所说的目标很好地组织起来的。例如，中国的数学课程通常包括“复

7、习”、“引入”、“讲授”、“练习”、“总结”等五个环节，而其中的所有细节，包括时间的分配与板书的设计等，则都是围绕所说的目标精心安排的结果。插入：一个新的热点数学教育的国际比较研究一个值得警惕的现象：“较危险的是一些有点相关知识，但人们却摸不着底的人物。尤其到国外某个小地方转一圈后，回到中国就更能把国外如何如何朗朗上口，向还没有机会到国外去的广大群众宣扬他们的“专家级”见解。”（新加坡联合早报）比较研究的基本立场：蓝本或镜子？比较研究所提供的并非是某种现成的、可资直接仿照的蓝本，而主要是一面镜子，由此我们即可更为清楚地去认识自己的传统，包括作出必要的反思与批判。中、美、日的比较对于一年级和五年

8、级的调查表明：美国教室中所真正用于教学的时间分别为70%和65%；中国是85%与90%，日本则是为79%与82%。（引自学习的差距）反思：情况是否正在发生变化？一个形象的描述：“引入说说笑笑，过程动动跳跳，评价你好我好。”更为深刻的分析：教学方法改革中形式主义的盛行。现实意义：对于形式主义的反对从公开课的设计谈起（1）情境设计；（2）学生主动探究；（3）合作学习；（4）动手实践。（1）什么是一个好的情境设计？我们究竟应当如何去认识情境设计的意义？我们又应如何去处理“日常数学”与“学校数学”的关系？例 这个学生缺的究竟是什么？（楼文胜，“问题到底出在哪儿？”任课教师要求学生求解这样一个问题：“5

9、2型拖拉机，一天耕地150亩，问12天耕地多少亩？”一位学生是这样解题的：5215012=接下来的对话“告诉我，你为什么这么列式？”“老师，我错了。”“好的，告诉我，你认为正确的该怎么列式？”“除。”“怎么除？”“大的除以小的。”“为什么是除呢？”“老师，我又错了。”“你说，对的该是怎样呢？”“应该把它们加起来。”启而不发？“我们换一个题目，比如你每天吃两个大饼，5天吃几个大饼？”“老师，我早上不吃大饼的。”“那你吃什么？”“我经常吃粽子。”“好，那你每天吃两个粽子，5天吃几个粽子？”“老师，我一天根本吃不了两个粽子。”“那你能吃几个粽子？”“吃半个就可以了。”“好，那你每天吃半个（小数乘法没

10、学）粽子，5天吃几个粽子？”“两个半。”“怎么算出来的？”“两天一个，5天两个半。”相应的思考：这里是否也缺了点什么？“数学，对学生来说，就是利用自己的生活经验对数学现象的一种解读。”“他们所需要的是从（学校教学）活动中组织和巩固他们的非正规知识，同时需扩展他们这种知识，使其与我们社会文化部分中的高度紧密的知识体系相结合。”（斯根普）关键相对于情境设计而言，我们事实上应当更加重视这样一个问题：我们究竟应当如何去处理“日常数学”与“学校数学”的关系？（2）学生主动探究主动探究能否被看成数学学习的主要手段，以至在任何情况下都应坚持学生的主动探究？例小明上学时应走哪条路?问题：小明上学时究竟是走中间

11、的直路较近，还是分别绕道位于直路两侧的邮局和商店较近？教学实录尽管从一开始学生就能立即对上述问题正确的作答，大多数学生并能依据“两点间直线最短”对此作出必要的论证，任课教师却仍然坚持要求学生用实物（纸条或小棒）对上述结论进行检验，包括重新提出“三角形任意两边的和大于第三边”这一猜想。在课后的点评中，有的教师还提出：在此重要的并非上述的具体结论，而是要让学生体会发现的过程。关键如何很好地去学生的主动探究与教师的必要指导之间的辩证关系？教师发挥作用的主要手段启发性的问题；适当的案例；多样化与优化。插入：由“经验型”转向“理论指导下的自觉实践”适当举例对于防止错误观念的重要性；中国数学教学传统的又一

12、重要内容：变式教学理论（概念变式）特别是（1）“标准变式”与“非标准变式”；（2）“概念变式”与“非概念变式”。（3）应当如何去组织合作学习？防止对于形式的片面追求：合作学习小组学习；教师在教学中应当灵活地应用小组学习、个别学习、全班讲授、全班交流等多种学习形式表面上热热闹闹，实质上却没有收获。例“工厂要建造污水处理系统吗”？教学中教师设计了“学生辩论”这样一个环节：通过明确正、反方的观点，教师安排学生通过抽签进行分组辩论，包括陈述观点与依据以及对对方的观点进行反驳任课教师的总结“我感到对于辩论这种教学形式，学生比较感兴趣。”“这样的学习过程试图培养学生独立思考、合作与交流的能力，培养学生分析

13、和解决问题的能力，培养学生从多角度、多方面考虑问题的习惯与能力。”一个值得思考的问题数学课上的辩论与一般的辩论（例如，大学生辩论赛）是否存在重要的区别？在数学中我们往往首先寻找相应的理由，并由此而决定自己所应选择的立场，因此这主要地是一种理性的选择（也正因为此，数学中就很少、甚至从不通过辩论来解决观点的分歧）；与此相对照，在各种辩论赛中人们却往往是首先决定立场，然后再去寻找相关的理由。插入:家长与儿子的一段对话与儿子一起听电台的辩论节目，双方唇枪舌战，斗争激烈。我问儿子：“如果让你辩论，你愿意作正方还是反方？”儿子说：“我们学校也有这样的辩论。正方反方都是抽签的，抽到哪一方就得替哪一方辩论。观

14、点不重要，重要的是会说，把对方驳倒你就赢了。”我问他：“那如果你抽到你反对的观点呢？你自己都说不服自己，怎样去说服别人”儿子说：“如果非要我选择跟自己观点不同的辩方。那我就不参加。”“可是你刚才说了，这是一场比赛，目的就是要击败对手，跟观点没关系。你弃权表示你已经输了。”儿子问我：“妈妈，那你是想我做个聪明的人呢，还是做个善良的人？”儿子丢了个问题给我。我陷入了思索中，是啊，如果你为之辩论的观点让你反感，不屑，你是颠倒黑白打倒对方证明自己有多聪明呢？还是坚持自己的原则，做个诚实善良的人？你是决定做个识时务的聪明人指鹿为马？还是做个坚持原则真诚善良的人独立在风口浪尖？也许成年人都难以明白的道理，

15、孩子却清晰如明镜：人可以不聪明，但不可以不善良。一个应当注意的问题：关注差生什么是好的“合作学习”所应满足的基本要求？（1）互动与规范；（2）分工与共享；（3）认知与身份。（4）学生动手实践什么样的动手实践才是真正有效的？高度的自觉性：什么？为什么？如何？活动的必要内化。教师的实际体会 我是今年刚接新班的，同年段两个班的教材是一样的，可是我在教学时，竟然发现有些知识点，一班同学说教过，二班同学却说没学过，这让我觉得莫名其妙在和同学一起回忆所学过的知识时，他们更多的回答是学过了配菜、折纸、分饼、节约、淘气的猴子等，对于学过的数学知识很难清楚地表述出来。”（王志民，“别拿课本不当教材）总结：如何上

16、好一堂公开课？我们不能以“新”“旧”作为区分教学方法“好”“坏”的主要标准，数学教学方法的变革更不应被看成教学模式的简单取代。基本立场我们并应明确肯定教学工作的创造性：教无定法，而应根据特定的教学内容、对象、环境（以及教师本人的个性特征）创造性地去应用各种教学方法。回到主题应当明确肯定“有效的数学教学”这一论题的合理性，特别是，这不仅直接关系到了对于中国数学教学传统的很好继承，更有着重要的现实意义。“无论教学如何改革，有效的课堂都应是我们永恒的追求。进一步的思考 在充分肯定“有效的教学”这一提法的合理性的同时，我们又应进一步思考：究竟应当如何去理解“数学教学的有效性”；我们又应如何很好地去避免

17、各种可能的片面性或极端化?二、“有效的数学教学”的主要内涵一个基本认识：教学的有效性总是相对于一定的教学（育）目标而言的。就当前而言，我们不仅应当十分重视具体数学知识与技能的学习，而且也应更加关注如何能够帮助学生学会数学地思维，包括由思维方法的学习向数学素养的过渡，也即充分发挥数学的文化价值。（三维的数学教育目标）对于中国数学教育的特殊意义这正是传统的中国数学教学的一个明显不足之处，即是主要集中于具体的数学知识或技能的学习这样的短期目标，而忽视了数学教育的长期目标，包括思维方法的学习，以及情感、态度和价值观的培养。现实中所存在的问题认识上的泛化；做法上的简单化（取代与简单组合）。例 买花与培养

18、对母亲的感情“讲到促进学生的情感、态度和价值观的发展，很多老师认为是很空泛的。有这样一个例子，讲的是去花店买花的问题：我要给妈妈买一束花，该怎么买？从表面上看，这里是教学加减运算的问题，这是一种知识和技能。但这里面还隐含着另一层含义：给妈妈买一束花，送她作生日礼物，通过学生的讨论交流，引发了对母亲的一种敬爱的感情，这就是课程标准所倡导的情感、态度和价值观。”例 这里是否还缺的点什么？“以其深厚的教学功底、灵活精湛的教学方法、较强的教学组织能力，创设了充满情趣的课堂氛围，使学生们在愉快中得到发展，在发展中获得愉快，显示出他独特的教学风格。”数学教育应当防止“去数学化”：“数学教育，自然是以数学内

19、容为核心。数学课堂教学的优劣，自然应该以学生是否能学好数学为依据”；“数学教育啊，可否更多地关注数学的特性！”关键：究竟什么是数学课所应具有的“数学味”？什么是数学思维？我们又应如何帮助学生去学会数学思维？什么是数学的文化价值？我们又应如何去发挥数学的文化价值？插入：关注比赛也关注奥林匹克教育奥林匹克运动是把体育作为一个渠道、一个手段，通过体育来教育青年、教育社会，把奥林匹克运动所主张的价值观、所体现的理念、所追求的目标、传递给社会，传递给青年。使得青年人从体育当中感悟到人生的真谛。（何振梁）1.帮助学生初步学会数学地思维两个相关的思想障碍：（1）由于各种“先天”的原因，大多数小学数学教师并不

20、能说具有很高的数学素养，从而，我们又如何能够期望他们在自己的教学活动中很好体现数学的思维方法？（2）小学数学的内容过于简单，从而就不可能很好地体现数学思维的特点。建议：加强数学方法论的学习中学的相关实践防止简单移植。如：函数与变量；极限思想与无限的认识。2.究竟什么是数学特有的文化价值？有益的比较：语文课反照下的数学教学。一个常见的提法：防止用“生活味”去取代数学课所应具有的“数学味”；类似的提法：“语文天生多情，天生浪漫，语文教学有其自身的文化韵味。”但是，究竟什么是数学课所应具有的“数学味”？什么又是语文课所特有的“语文味”？这两者究竟有什么不同？例 窦桂梅老师的珍珠鸟教师突出地强调了课文

21、中如下一些关键词：小脑袋，小红嘴，小红爪子，并要求学生在朗读时努力体现“娇小玲珑、十分怕人”这样一种意境（“读出味道来”）。这堂课成功的秘诀就在于通过朗读创设了这样一个氛围：对于小珍珠鸟的关切、爱怜孩子们甚至不知不觉地放低了声音，整个教室静稍稍的。相关的思考语文教学主要是一种“情知教学”，即是以情感来带动知识的学习。“让学生对文本生情，用情来理解文本,用情来感染学生。”（朱小亮)那么，对于数学教学我们是否也可作出同样的结论呢？可能的结论如果说语文教学是一种以情感带动知识学习的“情知教学”，那么，数学教学则就主要是“以知贻情”，其涉及的情感也截然不同。语文教学中所涉及的是人类最为基本的一些感情：

22、人世间的爱恨和冷暖，生命的短暂和崇高，社会历史进程中的神奇和悲欢这就是说，即如种种文学作品，在此首先吸引你的不是相应的语言表达形式，而是文字中的精神滋养，包括对大自然的关爱、对弱小的同情、对未来的希冀、对黑暗的恐惧等。与此相对照，在数学课上我们所希望学生养成的则是一种新的精神：它并非与生俱来，而是一种后天养成的理性精神；一种新的认识方式：客观的研究；一种新的追求：超越现象以认识隐藏于背后的本质（是什么，为什么）；一种不同的美感：数学美（罗素形容为“冷而严肃的美”）不同的教学标准好的语文课往往充满激情，数学教学则更加提倡冷静的理性分析；语文教学带有明显的个性化倾向；数学则追求普遍的知识，数学教学

23、必定包括“去情景化、去个人化和去时间化”的过程。一些错位现象：“圆”的教学如果一个数学教师在课堂上采取了以下的教学方法你有什么想法：教师首先在黑板上画了一个大大的圆，然后问学生：看着这个圆你想到了什么？学生表现出了丰富的想象力：一轮红日；十五的月亮；这是世界上最美的图形：我爱死你了思考：这究竟是一堂数学课、还是更像一堂语文课？又一“错位”现象“山上有5只狼，猎人开枪打死2只，还剩下几只？”一个学生回答道：“一只也没有剩下，因为它们是一家子，猎人打死的是父母亲，这样三个小狼就一个也活不下去了。”思考：这个学生显然是将数学课误当成了语文课。相反的实例“我们正在学习太阳一课，就在我进行总结的时候，一

24、只小手高高地举了起来。是铭一个喜欢发言却又词不达意、经常会制造点麻烦的孩子。他结结巴巴地讲：老师，太阳不不是圆的同学们一听，哈哈大笑起来，说：我们天天都看到太阳，太阳怎么可能不是圆的呢？可是铭涨红了脸，固执地坚持：真的，太阳真的不是圆的。我从书上看来的。”数学与情感数学与情感数学学习同样涉及到了人的本性，如人类固有的好奇心、上进心：一种希望揭示世界最深刻奥秘的强烈情感。“在人的心灵深处都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者，而儿童的精神世界里，这种需要特别强烈。”（苏霍姆林斯基）一个最好的比喻：童心。“我不知道世人怎样看我，我只是一个在海滩上玩耍的男孩，一会儿找

25、到一颗特别光滑的卵石，一会儿找到一只异常美丽的贝彀，就这样使自己娱乐消遗。”（牛顿）必要的补充在数学课我们所希望学生养成的是一种新的理性精神一种深层次的快乐：由智力满足带来的快乐，成功以后的快乐；一种新的情感：超越世俗的平和；一种新的性格：善于独立思考，不怕失败，勇于坚持（2）如何充分发挥数学的文化价值）如何充分发挥数学的文化价值？与外插、简单组合等作法相对立，我们应当突出强调文化价值与知识内容的相互渗透，真正做到“以知贻情”。关键之一：创造适当的问题情境关键之一：创造适当的问题情境如果说语文教学的一个有效手段就是通过朗读创设出好的学习情境，即是要求学生带着感情去读，读出感情来；那么，数学教学

26、中调动学生好奇心、上进心的主要手段就是如何能够提出恰当的问题：提出具有挑战性、同时又适合于学生认知水平的问题，提出具有启发性的问题，从而不断激发学生的好奇心，促使其积极地学习，而且不仅能学到知识、也能学会思维，包括养成健康的情感、态度与价值观。反面的教训：一个学生写在试卷上的一段话“数学，你是个坏蛋，你害我脑细胞不知死了多少。我美好的青春年华就毁在你的手上，你总是打破别人的梦，你为什么要做个人见人恨，人做人更恨的家伙呢？如果没有你，我将笑得多灿烂呀！如果你离开我，我绝不责怪你无情。”（摘自2004年全国高中数学联赛决赛湖北赛区试卷。）关键之二：必要的“点拨”必要的点拨、适当的引导对于数学文化的

27、学习也十分重要。课堂实录：学生的审美访谈（木振武）教师：你们学习数学时是否有过很兴奋、很动情，或是觉得学数学是一种享受呢？学生1：老师讲得很动情很精彩时，会觉得学数学是一种享受。学生2：当自己能顺利地、很熟练地完成相关作业时，觉得很自豪。学生3：经过努力做出别人不能做的一道“难题”时，会感觉到很兴奋，甚至有再去找另一“难题”做一做的冲动。学生4：当自己亲自实践“发现”数学定理的一刹那，感觉很美妙。关键之三：关键之三：教师自身的感染力量身体力行，耳濡目染。“文如其人”：一个没有“数学味”的教师不可能真正上出具有“数学味”的数学课。关键：高度的自觉性“其实，即使是小学数学，它的每一个结论、每一条规

28、律，几乎都能找到令人赞叹的理由，几乎都能通过适当的方式，让学生有所感悟。为什么有的老师会无动于衷，放弃可贵的教育机会呢？有一天，看到媒体在评选感动中国的年度人物，我忽然醒悟：只有当教师自己被数学所感动时，他才能自觉地、不失时机地用数学的魅力去打动学生。“（曹培英）一个值得提倡的追求“教师与数学，二者理应相互交融、合二为一。一个优秀的数学教师站在讲台上，他就是数学！他的身上应该自然散发着一种独特的数学光华与气息，一种源自于理性、智慧、思辨的内在气质。”（张齐华）努力展示数学自身的魅力“是啊，当数学能够深入到数学的内部，展现它自身的魅力时，那些从外部添加的趣味性，什么小狗、小猫的故事，五颜六色的教

29、具，就可以少用乃至不用了。这也就是数学教学的的一种返璞归真吧！”（曹培英）教师的三个境界仅仅停留于知识的层面：教师匠；能够体现数学的思维：智者；无形的文化熏陶：大师！几点提醒第一，我们不应期望通过聆听某个专家的报告或阅读某部专著（特别是，通过将其毫无遗漏地归结为甲、乙、丙、丁等几条）就能很好把握“数学文化”的具体内涵，我们也不能期望通过依样画葫芦就能在课堂上很好体现“数学的文化价值”；毋宁说，与单纯的理论学习相比，我们应当更加重视自己的切身体会与感悟，因为，无论所说的体会和感悟是何等的“单薄”、“肤浅”，恰恰因为这是你自己的体会，从而才有可能在课堂上得到很好体现，更何况只要处处用心，我们就一定

30、可以通过各种渠道最终把握“数学文化”的真谛。第二，数学教师的社会责任。背景：东西方文化的比较（数学文化与儒家文化）数学“是使灵魂从暂存过渡到真理和永存的捷径”（柏拉图）算术亦是六艺要事，然可以兼明，不可以专业。“（颜氏家书）“历史已经证明，而且将继续证明，一个没有相当发达的数学的文化是注定要衰落的，一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的。”（齐民友）当前的忧虑：现代人的流行病把信息当做知识，把知识当做智慧。许多人日夜在网上泡着，四处收集新闻热点，仿佛天下大事尽在心头。可是你仔细听听，却发现他嘴里没有一句是他的话。把品牌当做品位，把冷漠当做修养。一身高档的行头，却在大街上随地吐痰、满口

31、脏话，捧着时尚杂志，却不肯为老人让一下座。疯狂跳糟，一事无成。不是踏踏实实做人，札札实实做事，而是在哪里都觉得委屈了自己，看什么都不顺眼，做什么都不顺心，这山望着那山高。不怕丢丑，出名至上。人人都想在电视上露一回脸，抢不到这机会就在网络上晒自己，多难看的相貌、多丢人的事，也敢发布出去。只要能出名，什么都在所不惜。（辛泊平，杂文月刊2008年第六期上）第三，我们不仅应当突出强调数学的“善”，也应清楚地看到数学的“恶”。数学思维的局限性：简单性（simple-minded）,单一性（single-minded）,文本性（literal-minded）（J.Schwartz&G-C.Pota）三、正

32、确处理教学有效性与教学开放性的辩证关系课程改革相关实践的一个重要启示：反对极端化。相关的论述：“当提倡某种做法、形式时，不要贬低另一种可行的做法、形式；”（李瑞环）相关的思考什么是中国数学教育的基本哲学？当前的一个关键问题：正确处理教学的有效性与教学的开放性这两者之间的辩证关系。什么是“开放的数学教学”？回顾：“开放题与开放式教学”，中学数学教学参考，2001.No.3。核心思想：教学思想的开放性，应为学生提供更大的创造空间。更为全面的理解教学目标的开放性；教学方法的开放性；理论思想的开放性；教学内容的开放性；教学活动的开放性；教学思想的开放性；对于中国数学教育的特殊重要性“由于中国历来是一个

33、中央集权的国家，因此在教育系统中也就很容易出现以下的一层卡一层的现象：大纲（课程标准）卡教材教材的编写必须以纲为本；教材卡教师教师的教学必须紧扣教材；教师卡学生：学生必须牢固地掌握教师所授予的各项知识和技能。这样，作为最终的结果，所有的有关人员，包括教师和学生，其创造性才能就都受到了严重压制。”从教学的角度看由于中国教育的规范性质；因此在中国的数学课堂上教师就始终占据主导的地位，特别是，尽管也强调了教学的启发性以及学生的参与，但教师所希望的又总是课程能按照事先设计的方案顺利地得以进行，特别是，学生能按教师的思路去进行思考，并最终牢固地掌握相应的数学知识和技巧，包括教师所希望学生掌握的数学思维方

34、法从而，总的来说，这就是“大框架下的小自由”，也即往往未能给学生的主动创造性留下足够的“自由空间”；进而，如果教师缺乏自觉性的话，则更可能出现教学处于教师的绝对支配之下、而学生的主动性和创造性则受到严重压制的局面。东西方教育的比较“东方特别强调教育的规范性质，即是表现出了明显的社会取向；西方则特别重视学习者的个性发展，从而表现出了明显的个体取向。”结论在突出强调“有效的数学教学”的同时，我们也应大力提倡“开放的数学教学”，或者说，即应在有效性与开放性之间保持适当的平衡。教学思想的开放性（1）我们在教学中不应人为地去追求任何一种强制的统一或过分的规范，而应让每个学生都有一定的自主性。一般性结论我

35、们不仅应当允许学生在学习过程中表现出一定的“路径差”，而且应给各种不同的意见（特别是教师事先未曾预料到的意见）以充分的表达机会，并让所有学生对于所说的不同看法都能有一个理解和评价的机会；这也就是说，方法或思维的优化不应是一个强制的过程，而应允许学生有一定的保留或“时间差”。必要的提醒：防止做法上的片面性开放完全放开；创新标新立异。特别是多元化与必要的优化；教学思想的开放性（2）与单纯强调“问题解决”相比，我们应当更为明确地提出这样的主张：“求取解答并继续前进”。应当为学生的积极探索提供充分的空间。数学思维的重要特点之一数学家们总是不满足于某些具体结果或结论的获得，而是希望能够获得更为深入的理解

36、，后者不仅直接导致了对于严格的逻辑证明的寻求，也促使数学家积极地去从事进一步的研究，即如在这些看上去并无联系的事实背后是否隐藏着某种普遍的理论？这些事实能否被纳入某个统一的数学结构？等等；数学家们也总是希望能达到更大的简单性和精致性，即如是否存在更为简单的证明？能否对相应的表述方式（包括符号等）作出适当的改进？等等。例平行四边形的性质。依据“已知三角形的一个角是锐角”，我们能立即判定这是一个锐角三角形、直角三边形或钝角三角形吗？由一元一次方程向二元一次方程的过渡。插入：如何培养学生提出问题的能力现实中的一些常见作法：今天你们想学什么？你还能提出什么问题？由学生自己来设计问题；一些更为激进的提法

37、“学生所提出的一切问题都是有意义的。”“过去是教师提问题学生答，现在是学生提问题教师答，将来是学生提问题、教师帮、学生答。”必要的思考学生提出问题的能力是否可能自然而然地得以形成，还是有一个逐步养成的过程、更需要教师有意识地去加以引导和培养？两个关键（1）必要的优化：问题意义的分析；（2）如果教师自身不善于在教学中提出适当的问题，也就不可能很好地帮助学生提高提出问题的能力。结论在积极提倡课堂教学的有效性的同时，我们也应大力提倡教学活动的开放性，为学生提供更大的创造空间。永恒的追求：有效的教学，开放的教学参考文献1“数学的文化价值:何在、何为”，人民教育，2007No.62“数学教学的有效性与开放性”，课程、教材与教法,2007No.73数学教育哲学的理论与实践，广西教育出版社，20084 开放的小学数学教学，江苏教育出版社出版社，20085 数学思维与小学数学，江苏教育出版社出版社，2008