第六章定积分的几何应用PPT讲稿.ppt

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1、1第1页，共44页，编辑于2022年，星期三类似地类似地,若若而在而在 b 的左邻域内无界的左邻域内无界,则定义则定义而在点而在点 a 的右邻域内无界的右邻域内无界,存在存在,若极限若极限a,b 上的反常积分上的反常积分,记作记作则称则称此极限为函数此极限为函数 f(x)在在 无界函数的反常积分无界函数的反常积分无界点常称无界点常称 为为瑕点瑕点第2页，共44页，编辑于2022年，星期三而在点而在点 c 的的邻域内无界邻域内无界,则定义则定义第3页，共44页，编辑于2022年，星期三说明说明:(1)有时通过换元有时通过换元,反常积分和常义积分可以互反常积分和常义积分可以互相转化相转化.例如例如

2、,(2)当一题同时含两类反常积分时当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分分别讨论每一区间上的反常积分.第4页，共44页，编辑于2022年，星期三不存在不存在例例解解第5页，共44页，编辑于2022年，星期三第六章第六章 定积分的应用定积分的应用第一节第一节 元素法元素法第6页，共44页，编辑于2022年，星期三在在第第五五章章，我我们们学学习习了了定定积积分分的的概概念念和和定定积积分分的的计计算算，本本章章我我们们将将研研究究如如何何利利用用定定积积分分作作为为工工具具来解决一些实际问题中有关的计算来解决一些实际问题中有关的计算:实际问题实际问

3、题化为积分模型化为积分模型 计算定积分计算定积分。1.什么类型的问题可化为积分模型什么类型的问题可化为积分模型?2.如何化成积分模型如何化成积分模型?第7页，共44页，编辑于2022年，星期三回顾回顾曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题一、问题的提出一、问题的提出ab xyo第8页，共44页，编辑于2022年，星期三面积表示为定积分的步骤如下面积表示为定积分的步骤如下（3）求和，得求和，得A的近似值的近似值第9页，共44页，编辑于2022年，星期三ab xyo（4）求极限，得求极限，得A的精确值的精确值面面积积元元素素第10页，共44页，编辑于2022年，星期三第11页，共44页，编辑于2

4、022年，星期三具体问题表示为定积分的一般步骤：具体问题表示为定积分的一般步骤：第12页，共44页，编辑于2022年，星期三这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法元素法应用方向：应用方向：几何上几何上:平面图形的面积；体积；平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；平面曲线的弧长；物理上物理上:功；水压力；引力等功；水压力；引力等第13页，共44页，编辑于2022年，星期三小结小结元素法的实质是元素法的实质是:在小的范围内以常量代替在小的范围内以常量代替变量变量,求和取得近似值求和取得近似值,再取极限得到精确再取极限得到精确值值第14页，共44页，编辑于2022年，星期三第六章第六章 定积分的应用

5、定积分的应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用第15页，共44页，编辑于2022年，星期三曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积一、平面图形的面积一、平面图形的面积1 直角坐标系情形直角坐标系情形第16页，共44页，编辑于2022年，星期三第17页，共44页，编辑于2022年，星期三解解两曲线的交点两曲线的交点面积元素面积元素选选 为积分变量为积分变量第18页，共44页，编辑于2022年，星期三例例2 解解第19页，共44页，编辑于2022年，星期三解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量第20页，共44页，编辑于2022年，星期三于是所求面

6、积于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式问题：问题：积分变量只能选积分变量只能选 吗？吗？第21页，共44页，编辑于2022年，星期三解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量第22页，共44页，编辑于2022年，星期三如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积曲边梯形的面积第23页，共44页，编辑于2022年，星期三解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积第24页，共44页，编辑于2022年，星期三面积元素面积元素曲边扇形的面积曲边扇形的

7、面积2、极坐标系情形、极坐标系情形第25页，共44页，编辑于2022年，星期三解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第一倍第一象限部分面积象限部分面积第26页，共44页，编辑于2022年，星期三解解利用对称性知利用对称性知第27页，共44页，编辑于2022年，星期三例例7解解第28页，共44页，编辑于2022年，星期三第29页，共44页，编辑于2022年，星期三求在直角坐标系下、参数方程形式下、求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的（注意恰当的选择积分变量选择积分变量有助于简化积有助于简化积分运算）分运算）小结小结第30页，共44页

8、，编辑于2022年，星期三 旋转体旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转旋转轴轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台1、旋转体的体积、旋转体的体积二二 体积体积第31页，共44页，编辑于2022年，星期三xyo旋转体的体积为旋转体的体积为第32页，共44页，编辑于2022年，星期三解解直线直线 方程为方程为第33页，共44页，编辑于2022年，星期三第34页，共44页，编辑于2022年，星期三解解第35页，共44页，编辑于2022年，星期三第36页，共44页，编辑于2022年，星期三例例3.计算摆线计算摆线

9、的一拱与的一拱与 y0所围成的图形分别绕所围成的图形分别绕 x 轴轴,y 轴旋转而成的立体体积轴旋转而成的立体体积.解解:绕绕 x 轴旋转而成的体积为轴旋转而成的体积为利用对称性利用对称性第37页，共44页，编辑于2022年，星期三绕绕 y 轴旋转而成的体积为轴旋转而成的体积为注意上下限注意上下限注意上下限注意上下限!第38页，共44页，编辑于2022年，星期三解解例例4第39页，共44页，编辑于2022年，星期三第40页，共44页，编辑于2022年，星期三第41页，共44页，编辑于2022年，星期三“柱壳法柱壳法”第42页，共44页，编辑于2022年，星期三解解体积元素为体积元素为第43页，共44页，编辑于2022年，星期三练练 习习第44页，共44页，编辑于2022年，星期三