2(微分方程模型).ppt

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1、5.1 微分方程的建立微分方程的建立 实际问题需寻求某个变量实际问题需寻求某个变量y 随另一变量随另一变量 t 的的变化规律变化规律：y=y(t).直接求直接求很困难很困难 建立关于未知变量、建立关于未知变量、未知变量的导数以及未知变量的导数以及自变量的方程自变量的方程 建立变量能满足建立变量能满足的微分方程的微分方程？哪一类问题哪一类问题在工程实际问题中在工程实际问题中 *“改变改变”、“变化变化”、“增加增加”、“减少减少”等关键词等关键词提示我们注意什么量在变化提示我们注意什么量在变化.关键词关键词:“速率速率”、“增长增长”、“衰变衰变”、“边际的边际的”.建建立立方方法法常常用用微微

2、分分方方程程运用已知物理定律运用已知物理定律 利用平衡与增长式利用平衡与增长式 运用微元法运用微元法应用分析法应用分析法机理分机理分析法析法一、微分方程模型建模步骤（1）建模步骤（2）关于建模步骤的例子（3）建立微分方程的其他方法1、建模步骤(1)1、翻译或转化：在实际问题中许多表示导数的常用词，如“速率”、增长”(在生物学以及人口问题研究中)，“衰变”(在放射性问题中)，以及“边际的”(在经济学中)等 2、建立瞬时表达式：根据自变量有微小改变t时，因变量的增量W，建立起在时段t上的增量表达式，令t 0，即得到 的表达式建模步骤(2)3、配备物理单位：在建模中应注意每一顷采用同样的物理单位 4

3、、确定条件：这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。建立微分方程模型时建立微分方程模型时应用已知物理定律，应用已知物理定律，可事半功倍可事半功倍 例例5.1.1 一个较热的物体置于室温为一个较热的物体置于室温为180c的的房间内，该物体最初的温度是房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后分钟以后降到降到500c.想知道它的温度降到想知道它的温度降到300c 需要多少时需要多少时间？间？10分钟以后它的温度是多少？分钟以后它的温度是多少？牛顿冷却（加热）定律：牛顿冷

4、却（加热）定律：将温度为将温度为T的物体的物体放入处于常温放入处于常温 m 的介质中时，的介质中时，T的变化的变化速率速率正正比于比于T与周围介质的温度差与周围介质的温度差.一一.运用已知物理定律运用已知物理定律 分析分析：假设房间足够大，放入温度较低或较：假设房间足够大，放入温度较低或较高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡布均衡,保持为保持为m m，采用牛顿冷却定律是一个采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似。相当好的近似。建立模型建立模型：设物体在冷却过程中的温度为：设物体在冷却过程中的温度为T(t)，t0，“T的变化速率正比于的变化速率正

5、比于T与周围介质的温度差与周围介质的温度差”翻译为翻译为数学语言数学语言建立微分方程建立微分方程其中参数其中参数k 0，m=18.求得一般解为求得一般解为 ln(Tm)=k t+c,代入条件，求得代入条件，求得c=42，k=,最后得最后得 T(t)=18+42 ,t 0.二.分析法分析法 基本思想：基本思想：根据对现实对象特性的认识，根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系分析其因果关系,找出反映内部机理的规律找出反映内部机理的规律.例例5.1.2（新技术推广模型）一项新技术如（新技术推广模型）一项新技术如何在有关企业中推广，是人们关心的问题。何在有关企业中推广，是人们关心的问题。具体的说，就

6、是一家企业采用了一项新技术，具体的说，就是一家企业采用了一项新技术，那么该行业中其他企业将以怎样的速度采用那么该行业中其他企业将以怎样的速度采用该技术？哪些因素影响速度的大小？该技术？哪些因素影响速度的大小？记p(t)为t时刻采用该技术的企业数，并设p(t)连续可微。假设未采用该技术的企业之所以决定采用该技术，是因为其已知已有企业采用了该技术并具有成效，也就是“示范效应”在起作用。假设t=0时，有一项技术被引进到共有N个企业的行业中，其中有一个企业采用了该技术。表示t到时间内采用该技术的企业数的增加量时间内采用该技术的企业数的增加量假设该增量与已采用该技术的企业数成正比，还与假设该增量与已采用

7、该技术的企业数成正比，还与未未采用该技术的企业数成正比，则有采用该技术的企业数成正比，则有令当当t无穷大时，无穷大时，p(t)的趋向及范围？的趋向及范围？还有当？时变化率最大？还有当？时变化率最大？如果考虑广告的效应呢？如果考虑广告的效应呢？解为解为考虑单位时间内使用该技术的企业数增量考虑单位时间内使用该技术的企业数增量时应把示范效应和广告效应一起考虑。而时应把示范效应和广告效应一起考虑。而广告只对没采用该技术的企业起作用。假广告只对没采用该技术的企业起作用。假设其引起的增量与（设其引起的增量与（N-p）成正比）成正比 草原命运草原命运:天然草原的生息繁衍,已形成自身特有的生物链,且对人类生存

8、起着重要作用。长期以来,人为破坏(如过度放牧、猎杀动物及采挖草药等)使草原生态每况愈下,日渐衰竭。据2000年8月6日北京晚报载:“受利益驱使,有些人不顾国家法律和当地政府禁令,在呼伦贝尔草原大肆采挖中草药,致使草原严重受损。据此,有关专家推断,10年之内,该草原将变成荒漠。”为了天然草原的生息繁衍和可持续发展,完成以下工作:1)建立草原自然生长规律模型,描述人为破坏对草原生长的影响过程;(2)论证或驳斥报载消息中专家的推断,如果立即停止对草原的一切人为破坏,10年后的情形如何?3)寻求导致草原消失的临界条件,给出草原生长的挽救方案,并对挽救效果进行预测。2、关于建模步骤的一个例子例1：某人的

9、食量是10467焦天，其中5038焦 天，用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。在 健身训练中，他所消耗的热量大约是69焦 公斤.天乘以他的体重(公斤)假设以脂肪形 式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂肪台 热量41868焦。试研究此人的体重随时间变 化的规律3、例子分析1、翻译或转化：2、配备物理单位：3、建立表达式：4、确定条件：1、“每天”：体重的变化输入一输出 其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的净重量 吸收；输出是进行健身训练时的消耗(WPE)2、上述陈述更好的表示结构式：体重的变化天=净吸收量天一WPE天其中：净吸收量天10467 5038 5429（焦天)净输出量天69(焦公斤天)W

10、(公斤 69W(焦天)3、体重的变化天 (公斤天)3、例子分析1、翻译或转化：2、配备物理单位：3、建立表达式：4、确定条件：有些量是用能量(焦)的形式给出的，而另外一些量是用重量的形式(公斤)给出，考虑单位的匹配，利用单位匹配3、例子分析1、翻译或转化：2、配备物理单位：3、建立表达式：4、确定条件：建立表达式4、建立微分方程的其他方法1、按变化规律直接列方程，如：利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律，如牛顿第二定律，放射性物质的放射规律等。对某些实际问题直接列出微分方程2、模拟近似法，如：在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚，而且现象也相当复杂，因而需根据实际

11、资料或大量的实验数据，提出各种假设，在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法得出微分方程。5、一个考古问题（1）问题分析与模型的建立1、2、（2）解（3）一个事实连续型模型一、微分方程模型建模步骤二、微分方程模型三、案例分析微分方程模型一、几何问题二、化学问题一、几何问题1、速降线问题2、追线问题1、速降线问题 历史背景问题：确定一个连接二定点A、B的曲线，使质点在这曲线上用最短的时间由A滑至B点(介质的摩擦力和阻力忽略不计)。速降线问题实验速降线是否连接A和B的直线段？X牛顿的实验（1630年）在铅垂平面内，取同样的两个球，其中一个沿圆弧从A滑到B，另一个沿直线从A滑

12、到B。发现沿圆弧的球先到B。伽利赂也曾研究过这个问题，他认为速阵线是圆弧线。坐标系的建立xyO模型的建立以s表示曲线从A点算起到P(x，y)的弧长几个表达式：（1）速度与路程的关系：（2）弧微分公式：（3）下降的时间：模型：2、追线问题 我缉私舰雷达发现，距c海里处有一艘走私船正以匀速度a沿直线行驶，缉私舰立即以最大的速度b追赶，若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰追逐路线和追上的时间。图示(c,0)xD(x,y)R=(0,at)y 敌艇几何关系如何消去时间t?1、求导：2、速度与路程的关系：3、分解 得：（这里有负号是因为s随x的减小而增大）4、将第2、3步代入第

13、1步，可得模型追线模型：模型的解：解的进一步讨论思考：饿狼追兔问题现有一只兔子，一匹狼，兔子位于狼的正西100米处。假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子。已知兔子和狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。问题是：兔子能否安全回到巢穴？二、化学问题溶液混合问题：设有一容器装有某种浓度的溶液，以流量v1注入浓度为c1的同样溶液，假定溶液立即被搅匀，并以v2的流量流出这种混合后的溶液，试建立容器中浓度与时间关系的数学模型。模型的建立参数设定：设容器中溶液溶质的质量为x(t)，原 来的初始质量为x0，t0时溶液的体 积为v0。在t的时间间隔内，容器内溶质的改变量：其中

14、c1：输入溶液浓度，c2：t时刻溶液浓度模型：适用范围：气体、液体、固体草坪积水问题：露天足球场极易受雨天的干扰。只能停赛直至草坪的表层充分干，即或雨水渗透到了底层，或停后雨水蒸发到空气中，有仪器可以加快其干燥过程，但为了避免损坏草坪，常常让其自然干燥。是否可以建立一个数学模型描述这一干燥过程？这个问题也可以叙述为：下了一场雨后，是否可以预测比赛何时能恢复？设草坪开始时是干的，突然开始下雨，并以同样的大小持续了半小时。假设在半小时中积聚了1.8厘米高的水。单位降雨速率变量 r(t）米/每秒时间变量t秒草坪面积变量A平方米草坪厚度变量D米目前在草坪中的雨量变量Q(t)米蒸发率变量e(t)米/每秒

15、渗透率变量s(t)米/每秒停雨时间参数c秒1、油画真假辨别历史背景：二战后，荷兰保安机关开始搜捕纳粹分子的合作者，于1945年5月29月以通敌罪逮捕了一名三流画家H.A.Va-nmeegren，此人曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer创作的一批名贵油画盗卖给德国。但H.A.Vanmeegren被捕后宣称自己从未出卖过荷兰利益，所有油画均是自己伪造的，这件事在当时轰动了全世界，为了证明自己是一个高明的伪造者，他开始在牢房里作画，当面快要完成时，他又得悉通敌罪可能会改为伪造罪，为了逃避判决，他末将此画画完并拒绝将画老化，以免留下罪证。放射物质衰变原理：记N(t)为t时刻存在的原于数，则d

16、N/dt为单位时间内蜕变的原子数，因此有：其中是衰变系数半衰期T：为给定数量的放射性原于蜕变一半 所需的时间。如何通过来计算T？半衰期T的计算：假设N(t0)N0，于是得初值问题：解：两边取对数后：放射性测定年龄法：如碳14，其T5568年；铀一238，其T45亿年。衰变史：油画小知识：所有油画都含少量放射性元素铅 210以及更少量的镭226。铅矿石金属铅铅白铅-210半衰期：22年镭-226半衰期：1600年化炼铅-206衰变衰变模型建立：记y(t)为t时刻每克铅白所含Pb210的数量，y0为制造时刻t0每克铅白所含铅一210的数量，r为镭在每克铅白中镭-226在每分钟的蜕变量，是铅-210

17、的衰变常数，则油画中铅-210含量应满足：解：问题：y0既不能直接测量，计算也有困难因为镭-226衰变为铅一210鉴别油画的方法：要区别17世纪的油画和现代膺品，可根据下述简单事实：如果颜料的年头比起铅的半哀期22年长得多，那么颜料中铅-210的放射作用量就几乎接近于颜料中镭的放射作用量，即两者每克铅白中每分钟蜕变的原子数应非常接近。另一方面，如果油画是现代作品(大约20年左右)，那么铅-210的放射作用量就要比镭的放射作用量大得多。因此，一般只要测得每克铅白中铅-210及镭的衰变率就能判定。是否现代膺品的判别模型变形：取t-t0=300年，可算出铅白中铅-210的蜕变率y0会大得出奇，然后能

18、分析发现原矿中含铀量是否合理。由于矿石中含铀量达23%已极罕见，而由铅-210单位时间蜕变的原子数来计算矿石中含铀量的方法也不难，只要铅白中铅-210每分钟蜕变超过3万个原子，就知矿石中含铀超过4%，就判定出必为膺品。鉴定结果：油画名称铅-210蜕变原子数（y）镭226蜕变原于数（r）y0结果在埃牟斯的门徒8.50.898050膺品濯 足12.60.26157130膺品看乐谱的女人10.30.3127340膺品演奏曼陀琳的女人8.20.17102250膺品 花边织工1.51.41270真品笑 女5.26.0-10180真品取t-t0=300，铅-210的=ln2/22 后两幅画不可能是伪制品，

19、因为铅-210和镭-226非常接近于放射性平衡，这种平衡在19世纪或20世纪油画的任何样品中都观察不到。动态微分方程模型一、传染病模型：四个模型二、战争模型问题提出 本世纪初，瘟疫常在世界上某地流行，随着人类文明的不断进步，很多疾病，诸如天花、霍乱已经得到有效的控制然而，即使在今天，一些贫穷的发展中国家，仍出现传染病流行的现象，医疗卫生部门的官员与专家所关注的问题是：（1）感染上疾病的人数与哪些因素有关（2）如何预报传染病高潮的到来问题分析 不同类型传染病的传播过程有不同的特点。故不从医学的角度对各种传染病的传播过程一一进行分析，而是按一般的传播机理建立模型 由于传染病在传播的过程涉及因素较多

20、，在分析问题的过程中，不可能通过一次假设建立完善的数学模型 思路是：先做出最简单的假设，对得出的结果进行分析，针对结果中的不合理之处，逐步修改假设，最终得出较好的模型。模型一模型假设：（1）一人得病后，久治不愈，人在传染 期内不会死亡。（2）单位时间内每个病人传染人数为常 数k。为什么假设不会死亡？为什么假设不会死亡？（因为死亡后便不会再传播疾病，因而可认为此时已退出系统）模型建立：I(t)表示t时刻病人的数量，时间：天则：I(t+t)I(t)k0I(t)t,K0表示每天每个病人有效接触（足以使人致病的接触）的人数于是模型如下：模型的解：举个实例最初只有1个病人，1个病人一天可传染1个人模型的

21、缺点问题：随着时间的推移，病人的数目将无限增加，这一点与实际情况不符原因：当不考虑传染病期间的出生、死亡和迁移 时，一个地区的总人数可视为常数。因此 k0应为时间t的函数。在传染病流行初期，k0较大，随着病人的增多，健康人数减少，被传染的机会也减少，于是k0将变小。模型修改的关键：k0的变化规律模型二设t时刻健康人数为S(t)模型假设：（1）总人数为n，I(t)十S(t)n（2）一人得病后，久治不愈，且在传染期内不 会死亡。（3）一个病人在单位时间内传染的人数与当时 健康的人数成正比，比例系数为k（称之为 传染系数）模型改进方程的解：对模型作进一步分析传染病人数与时间t关系传染病人数的变化率与

22、时间t的关系 染病人数由开始到高峰并逐渐达到稳定 增长速度由低增至最高后降落下来疾病的传染高峰期此时计算高峰期得：意义：1、当传染系数k或n增大时，t0随之减少，表示传 染高峰随着传染系数与总人数的增加而更快 的来临，这与实际情况比较符合。2、令=kn，表示每个病人每天有效接触的平均 人数，称日接触率。t0与 成反比。表示该 地区的卫生水平，越小卫生水平越高。故 改善卫生水平可推迟传染病高潮的来临。模型的缺点缺点：当t时，I(t)n，这表示所有的人最 终都将成为病人，这一点与实际情况不 符合原因：这是由假设1)所导致，没有考虑病人可 以治愈及病人病发身亡的情况。思考题：考虑有病人病发身亡的情况

23、，再对模型 进行修改。模型三 有些传染病（如痢疾)愈后免疫力很低，还有可能再次被传染而成为病人。模型假设：（1）健康者和病人在总人数中所占的比例分别为s(t)、i(t)，则：s(t)+i(t)1（2）一个病人在单位时间内传染的人数与当时健康人数成 正比，比例系数为k（3）病人每天治愈的人数与病人总数成正比，比例系数为 (称日治愈率)，病人治愈后成为仍可被感染的健康者，称1/为传染病的平均传染期(如病人数保持10人，每 天治愈2人，1/5，则每位病人平均生病时间为 1/5天)。模型的建立假设2、3得：将假设1代入，可得模型：模型的解：阈值=k/的意义 一个病人在平均传染期内传染的人数与当时健康的

24、人数成正比，比例系数为模型的意义（t,i(t)）图（1）当1时，指传染期内被传染的人数不超过当时健康的 人数。病人在总人数中所占的比例i(t)越来越小，最终 趋于零。（2）当 l时，i(t)最终以1-1/为极限；（3）当增大时，i()也增大，是因为随着传染期内被传染 人数占当时健康人数的比例的增加，当时的病人数所占 比例也随之上升模型四 某些传染病如麻疹等，治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康人，也非病人。模型假设：（1）人群分为健康者、病人、病愈免疫者三类，这三类人在总人数中所占的比例分别为s(t)，i(t)，r(t)，则有s(t)+i(t)+r(t)1。（2）单位时间内，一个病人传

25、染的人数与当时 健康者人数成正比，比例系数为k（3）在单位时间内，病愈免疫的人数与当时病 人人数成正比，比例系数为模型的建立i(t)与s(t)无解释解。从相轨线定性分析相轨线相轨线（s，i）图中箭头表示了随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋向相轨线分析结果1、不论初始条件s0、i0如何病人终将消失。2、最终未被感染的健康者的比例是s，图中 可看出是在(0，1/)内的单根。3、若s0 1/，则i(t)先增加，当s1/时，i(t)达到 最大。4、若s0 1/，则i(t)单调减小至零阈值1/的意义1、减小传染期接触数，即提高阈值l/，使得 s0 1/(即 1/s0)，传染病就不会蔓延。2、医疗

26、水平3、交换数的意义4、的估计模型验证印度孟买的一个例子 图中，实际数据用圆点表示可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错。动态微分方程模型一、传染病模型：四个模型二、战争模型1、问题来源2、Lanchester的工作缺陷：3、一般战争x(t)与 y(t)表示t时刻甲乙双方交战人数一、假设：二、模型4、战争类型讨论（1）正规战争（2）游击战争（3）混合战争（1）正规战争模型分析甲方战斗减员率f(x,y)：模型简化（3）原模型：简化后模型求解认为：兵力先减至零的一方为负方。解分析乙方取胜的条件平方率模型条件：（2）游击战争模型模型方程的解乙方获胜的条件（3）混合战争甲方为游击队，乙方为正规部队

27、相轨线乙方获胜的条件结果分析则乙获胜的条件：模型应用越战思考：如何分析美国-伊拉克现代战争的结局？5、模型的另一个应用（1）基本模型建立（2）增援率u(t)（3）每天的实际兵力A(t)（4）计算（21）式的a思考题1 设某城市共有n+1人，其中一人出于某种目的编造了一个谣言。该城市具有初中以上文化程度的人占总人数的一半，这些人只有1/4相信这一谣言，而其他人约有1/3会相信。又设凡相信此谣言的人每人在单位时间内传播的平均人数正比于当时尚未听说此谣言的人数，而不相信此谣言的人不传播谣言。试建立一个反映谣传情况的微分方程模型。思考题2 本世纪初，在伦敦曾观察到一种现象，大约每两年发生次麻疹传染病。生物数学家HE索珀试图解释这种现象，他认为易受传染者的人数因人口中新添新的成员而不断得到补充。试建立数学模型。（5）计算兵力A(t)与实际兵力的比较