第二章热传导方程精选文档.ppt

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1、第二章热传导方程本讲稿第一页，共四十五页分析：（两个物理定律）分析：（两个物理定律）1 1、热量守恒定律、热量守恒定律:2 2、傅里叶、傅里叶（Fourier）热传导定律热传导定律:温度变化温度变化吸收的热吸收的热量量通过边通过边界流入界流入的热量的热量热源放出热源放出的热量的热量为热传导系数。为热传导系数。本讲稿第二页，共四十五页任取物体任取物体 内一个由光滑闭曲面内一个由光滑闭曲面 所围成的区域所围成的区域 ，研究物体在该区域，研究物体在该区域 内热量变化规律。内热量变化规律。热传导方程的推导：热传导方程的推导：热量热量守恒守恒定律定律区域区域 内各点的温度从时刻内各点的温度从时刻 的温度

2、的温度 改变为时改变为时刻刻 的温度的温度 所吸收（或放出）的热量，所吸收（或放出）的热量，应应等于等于从时刻从时刻 到时刻到时刻 这段时间内通过曲面这段时间内通过曲面 流入（或流出）流入（或流出）内的热量和热源提供（或吸收）内的热量和热源提供（或吸收）的热量之和。即的热量之和。即 内温度变化所需要的热量内温度变化所需要的热量 =通过曲面通过曲面 流入流入 内的热量内的热量 +热源提供的热量热源提供的热量 下面分别计算这些热量下面分别计算这些热量本讲稿第三页，共四十五页（1）内温度变化所需要的能量内温度变化所需要的能量那么包含点那么包含点 的体积微元的体积微元 的温度从的温度从 变为变为 所需

3、要的热量为所需要的热量为 设物体设物体的比热（单位质量的物体温度改变的比热（单位质量的物体温度改变所需要的热量）为所需要的热量）为密度为密度为 整个整个 内温度变化所需要的能量内温度变化所需要的能量本讲稿第四页，共四十五页（2）通过曲面）通过曲面 进入进入 内的热量内的热量由傅里叶热传导定律，从由傅里叶热传导定律，从 到到 这段时间内通过这段时间内通过 进进入入 内的热量为内的热量为由高斯公式由高斯公式知知本讲稿第五页，共四十五页（3）热源提供的热量）热源提供的热量用用 表示热源强度，即单位时间内从单位体积内表示热源强度，即单位时间内从单位体积内放出的热量，则从放出的热量，则从 到到 这段时间

4、内这段时间内 内热源所提供的热内热源所提供的热量为量为由热量守恒定律得：由热量守恒定律得：由由 及及 的任意性知的任意性知本讲稿第六页，共四十五页三维无热源热传导方程：三维无热源热传导方程：三维有热源的热传导方程：三维有热源的热传导方程：（均匀且各向同性物体，均匀且各向同性物体，即即 都为常数的物体都为常数的物体）其中其中称为非齐次项（自由项）。称为非齐次项（自由项）。通常称（通常称（1.5）为）为非齐次的热传导方程非齐次的热传导方程，而称（，而称（1.6）为）为齐齐次热传导方程次热传导方程。本讲稿第七页，共四十五页二、定解条件（初始条件和边界条件）二、定解条件（初始条件和边界条件）初始条件：

5、初始条件：边界条件：边界条件：1 1、第一边界条件、第一边界条件（Dirichlet 边界条件）边界条件）特别地：特别地：时，物体表面保持恒温。时，物体表面保持恒温。本讲稿第八页，共四十五页2 2、第二边界条件、第二边界条件（Neumann 边界条件）边界条件）特别地：特别地：时，表示物体绝热。时，表示物体绝热。3 3、第三边界条件、第三边界条件(D-N 混合边界条件混合边界条件)其中：其中：表示表示 沿边界沿边界 上的单位外法线方向上的单位外法线方向 的方的方向导数向导数注：注：本讲稿第九页，共四十五页注意第三边界条件的推导：注意第三边界条件的推导：研究物体与周围介质在物体表面上的热交换问题

6、研究物体与周围介质在物体表面上的热交换问题 把一个温度变化规律为把一个温度变化规律为 的物体放入的物体放入 空气介空气介质中，已知与物体表面接触处的空气介质温度为质中，已知与物体表面接触处的空气介质温度为 ，它与物体表面的温度，它与物体表面的温度 并不相同。这给出了第并不相同。这给出了第三边界条件的提法。三边界条件的提法。热传导试热传导试验定律或验定律或牛顿定律牛顿定律从物体流到介质中的热量和两者的温差成正比：从物体流到介质中的热量和两者的温差成正比：其中比例常数其中比例常数 称为称为热交换系数热交换系数流过物体表面流过物体表面 的流量可以从物质内部（傅里叶定律）和的流量可以从物质内部（傅里叶

7、定律）和外部介质（牛顿定律）两个方面来确定：外部介质（牛顿定律）两个方面来确定：或或即得到（即得到（1.10）：）：本讲稿第十页，共四十五页三、定解问题三、定解问题定义定义1 在区域在区域上，由方程（上，由方程（1.5）、初）、初始条件（始条件（1.7）组成的定解问题称为）组成的定解问题称为初值问题或柯西问题初值问题或柯西问题。例。例如三维热传导方程的初值问题为：如三维热传导方程的初值问题为：定义定义2 在区域在区域上，由方程（上，由方程（1.5）和初）和初始条件（始条件（1.7）和边界条件（）和边界条件（1.9）、（）、（1.10）、（）、（1.11）中的其中之一组成的定解问题称为中的其中之

8、一组成的定解问题称为初边值问题或混合问题初边值问题或混合问题。例如三维热传导方程的第一初边值问题为：例如三维热传导方程的第一初边值问题为：本讲稿第十一页，共四十五页2 2、上述界条件形式上与波动方程的边界条件一样，但上述界条件形式上与波动方程的边界条件一样，但表示的物理意义不一样；表示的物理意义不一样；3 3、热传导方程的初始条件只有一个，而波动方程有两热传导方程的初始条件只有一个，而波动方程有两个初始条件。个初始条件。1 1、方程（方程（1.61.6）不仅仅描述热传导现象，也可以刻画）不仅仅描述热传导现象，也可以刻画分子、气体的扩散等，也称扩散方程；分子、气体的扩散等，也称扩散方程；注注4

9、4、除了三维热传导方程外，物理上，除了三维热传导方程外，物理上，温度的分布在同温度的分布在同一个界面上是相同的一个界面上是相同的，可得，可得一维热传导方程：一维热传导方程：而对于薄片的热传导，而对于薄片的热传导，可得可得二维热传导方程：二维热传导方程：本讲稿第十二页，共四十五页第二节第二节 初边值问题的分离变量法初边值问题的分离变量法考虑一维热传导方程的初边值问题考虑一维热传导方程的初边值问题不失一般性，考虑齐次边界条件的初边值问题不失一般性，考虑齐次边界条件的初边值问题本讲稿第十三页，共四十五页和和上述定解问题可分解为下面两个混合问题：上述定解问题可分解为下面两个混合问题：则则（II）的解为

10、的解为:本讲稿第十四页，共四十五页问题问题问题问题（I I）的通解形式为：的通解形式为：的通解形式为：的通解形式为：其中其中 由下面给出：由下面给出：考虑齐次方程、齐次边界条件的混合问题考虑齐次方程、齐次边界条件的混合问题（I）：本讲稿第十五页，共四十五页问题问题（II）的解：的解：其中其中非齐次方程混合问题的解：非齐次方程混合问题的解：本讲稿第十六页，共四十五页定理定理 2 2.1：则则由公式由公式 (2.14)给出的级数给出的级数 是是混合问题混合问题(2.1)-(2.4)的古典解。的古典解。设设齐次方程、齐次边界条件的混合问题的解为：齐次方程、齐次边界条件的混合问题的解为：当当 为有界函

11、数时，为有界函数时，(2.14)式给出的形式解关于式给出的形式解关于 以及以及 均是任意次连续可导的，且满足方程均是任意次连续可导的，且满足方程(2.1)和边和边界条件界条件(2.3)-(2.4)。本讲稿第十七页，共四十五页分离变量法的解题步骤：分离变量法的解题步骤：1、令、令 代入方程和边界条件，确代入方程和边界条件，确 定定 所满足的常微分方程的特征值问题以及所满足的常微分方程的特征值问题以及 所满足的所满足的方程；方程；2、解常微分方程的特征值问题，求出全部特征值和特征、解常微分方程的特征值问题，求出全部特征值和特征函数，并求出相应函数，并求出相应 的表达式；的表达式；3、将所有变量分离

12、形式的解叠加起来，利用初值定出、将所有变量分离形式的解叠加起来，利用初值定出所有待定常数；所有待定常数；4、证明形式解是真解对级数解的收敛性进行讨论。、证明形式解是真解对级数解的收敛性进行讨论。本讲稿第十八页，共四十五页注：注：1 1、在使用变量分离法时，边界条件的齐次化是至关重要、在使用变量分离法时，边界条件的齐次化是至关重要的，关键是构造辅助函数；的，关键是构造辅助函数；2、对于非齐次方程，我们通常采用齐次化原理将其转、对于非齐次方程，我们通常采用齐次化原理将其转化为齐次化方程来求解，但也可以直接求解。化为齐次化方程来求解，但也可以直接求解。（1）、将变量分离形式）、将变量分离形式 代入相

13、应的齐次代入相应的齐次方程和其次边界条件，得到相应的特征值问题，并求出全部方程和其次边界条件，得到相应的特征值问题，并求出全部特征值和特征函数特征值和特征函数；（2）、将）、将 ，方程的非齐次项，方程的非齐次项 ，以及初值，以及初值 都按照特征函数进行都按照特征函数进行 Fourier 展开；展开；本讲稿第十九页，共四十五页其中其中:本讲稿第二十页，共四十五页（3）、解初值问题）、解初值问题解为：解为：非齐次方程混合问题的解：非齐次方程混合问题的解：本讲稿第二十一页，共四十五页第三节第三节 初值问题初值问题 Cauchy 问题问题考虑一维热传导方程的初值问题考虑一维热传导方程的初值问题一、傅里

14、叶一、傅里叶（Fourier）变换及其基本性质变换及其基本性质傅里叶变换傅里叶变换:傅里叶逆变换傅里叶逆变换:记为记为:记为记为:本讲稿第二十二页，共四十五页定理定理 3 3.1：（Fourier 积分定理积分定理）若若 在在 上绝对可积且连续可微，则有上绝对可积且连续可微，则有:简记为简记为:公式公式（3.5）称为称为 Fourier 反演公式。反演公式。本讲稿第二十三页，共四十五页性质性质 1、（线性性质线性性质 ）性质性质 2、（微商性质微商性质）性质性质 3、（乘多项式性质乘多项式性质）本讲稿第二十四页，共四十五页性质性质 4、（卷积性质卷积性质）性质性质 5、（乘积性质乘积性质）本讲

15、稿第二十五页，共四十五页1)、（位移性质位移性质 ）2)、（相似性质相似性质）3)、（对称性质对称性质）补充性质补充性质：本讲稿第二十六页，共四十五页例例 3 3、设设 例例 2 2、设设 例例 1 1、设设 本讲稿第二十七页，共四十五页二、热传导方程柯西问题的解二、热传导方程柯西问题的解考虑齐次热传导方程的初值问题考虑齐次热传导方程的初值问题解为解为:本讲稿第二十八页，共四十五页对非齐次热传导方程的齐次初始条件问题对非齐次热传导方程的齐次初始条件问题解为解为:非齐次热传导方程的非齐次初始条件问题的解为：非齐次热传导方程的非齐次初始条件问题的解为：本讲稿第二十九页，共四十五页定理定理 3 3.

16、2：函数函数 是柯西是柯西问题问题(3.14)-(3.15)的有界解。的有界解。设设且有界，则由且有界，则由(3.17)式式 给出的给出的一维齐次弦振动方程的初值问题一维齐次弦振动方程的初值问题解为解为:本讲稿第三十页，共四十五页知识回顾知识回顾本讲稿第三十一页，共四十五页例：试求下述定解问题的有界解例：试求下述定解问题的有界解解为解为:本讲稿第三十二页，共四十五页第四节第四节 极值原理、定解问题解极值原理、定解问题解考虑一维非齐次热传导方程考虑一维非齐次热传导方程的唯一性与稳定性的唯一性与稳定性一、极值原理一、极值原理定理定理 4 4.1：在在 上的最大值必在边界上达到，即上的最大值必在边界

17、上达到，即设设 在矩形在矩形 上连续，上连续，并且在并且在 内部满足方程内部满足方程(4.1)。又设。又设 ，则，则表示矩形表示矩形的两个侧边和底边所组成的边界曲线，称为抛物边界的两个侧边和底边所组成的边界曲线，称为抛物边界本讲稿第三十三页，共四十五页必在边界必在边界 上达到，即上达到，即设设 在矩形在矩形 上连续，上连续，且满足方程且满足方程 (4.1)。又设又设 ，则，则 在在 上的最小值上的最小值推论推论 4.1：设设 在矩形在矩形 上连续，上连续，且满足且满足推论推论 4.2：则成立则成立本讲稿第三十四页，共四十五页例例（最大值原理的应用）（最大值原理的应用）设设 满足满足求求 在在的

18、最大值和最小值。的最大值和最小值。解：解：本讲稿第三十五页，共四十五页考虑一维热传导方程的初边值问题考虑一维热传导方程的初边值问题二、初边值问题解的唯一性与稳定性二、初边值问题解的唯一性与稳定性定理定理 4 4.2：初边值问题初边值问题（4.3）在区域）在区域上的古典解是唯一的，而且连续依赖于抛物边界上所上的古典解是唯一的，而且连续依赖于抛物边界上所给的初始条件和边界条件。给的初始条件和边界条件。注注：若解在方程中出现的所有偏导数都连续，则称这种解若解在方程中出现的所有偏导数都连续，则称这种解为古典解。为古典解。本讲稿第三十六页，共四十五页考虑一维热传导方程的混合初边值问题考虑一维热传导方程的

19、混合初边值问题定理定理 4 4.3：设设 是初边值问题是初边值问题（4.4）的古典解，则）的古典解，则正常数，在正常数，在 上上 满足满足本讲稿第三十七页，共四十五页如果在如果在上，有上，有那么由定理那么由定理4.3可得可得本讲稿第三十八页，共四十五页推论推论 4 4.3：初边值问题初边值问题（4.4）在区域）在区域 上的古典解上的古典解是唯一的，而且连续依赖于边值上所给的初始条件是唯一的，而且连续依赖于边值上所给的初始条件和边界条件。和边界条件。对于混合初边值问题对于混合初边值问题定理定理 4.3 仍然成立。仍然成立。本讲稿第三十九页，共四十五页考虑一维热传导方程的初值问题考虑一维热传导方程

20、的初值问题三、初边值问题解的唯一性与稳定性三、初边值问题解的唯一性与稳定性定理定理 4 4.5：初值问题初值问题（4.10）在有界函数类中的古典解是）在有界函数类中的古典解是唯一的，而且连续依赖于所给的初始条件。唯一的，而且连续依赖于所给的初始条件。本讲稿第四十页，共四十五页推论推论 4 4.5：（比较原理）：（比较原理）则在则在 上有上有推论推论 4 4.4：（解的最大模估计）：（解的最大模估计）设设 是初值问题是初值问题（4.11）的古典解，则）的古典解，则本讲稿第四十一页，共四十五页第五节第五节 解的渐近性态解的渐近性态考虑一维热传导方程的初边值问题考虑一维热传导方程的初边值问题一、初边

21、值问题解的渐近性态一、初边值问题解的渐近性态定理定理 5 5.1：则则 ，问题，问题(5.1)的唯一古典解的唯一古典解 指数衰减趋于零，指数衰减趋于零，设初始函数设初始函数本讲稿第四十二页，共四十五页证明：证明：由极值原理和分离变量法知，（由极值原理和分离变量法知，（5.1）的唯一古典解为）的唯一古典解为其中其中 由下面给出：由下面给出：由（由（5.2）可知，对一切）可知，对一切 ，有，有由由的定义知当的定义知当时，时，故有，故有本讲稿第四十三页，共四十五页另一方面，由指数函数的性质知，当另一方面，由指数函数的性质知，当时，时，对一切对一切 成立成立时，对于时，对于于是当于是当有有即即本讲稿第四十四页，共四十五页考虑一维热传导方程的初值问题考虑一维热传导方程的初值问题二、二、Cauchy 问题解的渐近性态问题解的渐近性态定理定理 5 5.2：柯西柯西问题问题(5.7)的唯一古典解的唯一古典解 具有如下性质，具有如下性质，设初始函数设初始函数 是有界连续函数且是有界连续函数且 则则本讲稿第四十五页，共四十五页