第六章李亚普诺夫稳定性分析PPT讲稿.ppt

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1、第六章李亚普诺夫稳定性分析2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院1第1页，共57页，编辑于2022年，星期三u自动控制系统最重要的特性是稳定性，它表示系统能妥善地保持自动控制系统最重要的特性是稳定性，它表示系统能妥善地保持预定工作状态，耐受各种不利因素的影响。预定工作状态，耐受各种不利因素的影响。u稳定性问题实质上是控制系统自身属性的问题。在经典控制理论中，稳定性问题实质上是控制系统自身属性的问题。在经典控制理论中，基于特征方程的根是否分布在根平面左半部分，即可得出稳定性的基于特征方程的根是否分布在根平面左半部分，即可得出稳定性的结论。仅适用于线性定常系统，对于时变系统和非线

2、性系统，这种结论。仅适用于线性定常系统，对于时变系统和非线性系统，这种方法判定稳定性通常是很困难的。方法判定稳定性通常是很困难的。u 1892年，俄国学者李雅普诺夫在年，俄国学者李雅普诺夫在“运动稳定性一般问题运动稳定性一般问题”一文一文中，提出了著名的李雅普诺夫稳定性理论。该理论作为稳定性判中，提出了著名的李雅普诺夫稳定性理论。该理论作为稳定性判据的通用方法，适用于各类系统。该理论成为现代控制理论的一据的通用方法，适用于各类系统。该理论成为现代控制理论的一个重要组成部分。个重要组成部分。第六章 李雅普诺夫稳定性分析第2页，共57页，编辑于2022年，星期三u李雅普诺夫的稳定性理论，主要阐述了

3、判断系统稳定性的两李雅普诺夫的稳定性理论，主要阐述了判断系统稳定性的两种方法。种方法。u第一种方法的基本思路是仅求解系统的微分方程，然后根据解的性第一种方法的基本思路是仅求解系统的微分方程，然后根据解的性质判断系统的稳定性。这种方法为间接法。质判断系统的稳定性。这种方法为间接法。u第二种方法的基本思路是不必通过求解系统的微分方程，而是第二种方法的基本思路是不必通过求解系统的微分方程，而是构造一个李雅普诺夫函数，根据这个函数的性质来判别系统的构造一个李雅普诺夫函数，根据这个函数的性质来判别系统的稳定性。这种思想由于不用求解方程就能直接判断，故称为直稳定性。这种思想由于不用求解方程就能直接判断，故

4、称为直接法，并且这种方法不局限于线性定常系统，对于任何复杂系接法，并且这种方法不局限于线性定常系统，对于任何复杂系统都是适用的。统都是适用的。第六章 李雅普诺夫稳定性分析第3页，共57页，编辑于2022年，星期三系统的数学模型有系统的数学模型有输入输出描述输入输出描述（即（即外部描述外部描述）和）和状态空间描述状态空间描述（即（即内部描述内部描述），），相应的稳定性便分为外部稳定性和内部稳定性。相应的稳定性便分为外部稳定性和内部稳定性。说明：说明：（1）所谓有界是指如果一个函数所谓有界是指如果一个函数，在时间区间，在时间区间0，中，它的幅值不会增中，它的幅值不会增至无穷，即存在一个实常数至无穷

5、，即存在一个实常数k，使得对于所有的，使得对于所有的t 0 ，恒有，恒有|h(t)|k 成立。成立。（2）所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应。所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应。一、一、外部稳定性和内部稳定性外部稳定性和内部稳定性1.外部稳定性外部稳定性1)定义（外部稳定性）：定义（外部稳定性）：若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称该若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称该系统是外部稳定的。系统是外部稳定的。(外部稳定性也称为外部稳定性也称为BIBO（Bounded Input Bounded Output）稳定性稳定性)6

6、-1 李雅普诺夫稳定性定义第4页，共57页，编辑于2022年，星期三2)系统外部稳定性判据系统外部稳定性判据线性定常连续系统线性定常连续系统 (A,B,C)的传递函数矩阵为的传递函数矩阵为 当且仅当当且仅当 极点都在极点都在s的左半平面内时，系统才是外部稳定（或的左半平面内时，系统才是外部稳定（或BIBO稳定）的。稳定）的。【例【例6.1.1】已知受控系统状态空间表达式为】已知受控系统状态空间表达式为 解：系统为解：系统为SISOSISO系统，传递函数为系统，传递函数为 由于传递函数的极点位于由于传递函数的极点位于s s左平面，故系统是外部稳定的。左平面，故系统是外部稳定的。试分析系统的外部稳

7、定性。试分析系统的外部稳定性。6-1 6-1 李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义第5页，共57页，编辑于2022年，星期三2.2.内部稳定性内部稳定性对于线性定常系统对于线性定常系统如果如果外部输入外部输入u(t)=0 0，初始条件，初始条件x0为任意，且由为任意，且由x0引起的零输入响引起的零输入响应为应为满足满足则称系统是内部稳定的，或称为系统是渐近稳定的。则称系统是内部稳定的，或称为系统是渐近稳定的。说明：线性定常系统的渐近稳定与经典控制理论中的稳说明：线性定常系统的渐近稳定与经典控制理论中的稳定性一致。定性一致。6-1 6-1 李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义第6页，共5

8、7页，编辑于2022年，星期三【例【例6.1.】已知受控系统状态空间表达式为】已知受控系统状态空间表达式为 解：该系统为线性定常系统，其特征方程为：解：该系统为线性定常系统，其特征方程为：于是系统的特征值为于是系统的特征值为故系统不是内部稳定（渐近稳定）的。故系统不是内部稳定（渐近稳定）的。试分析系统的内部稳定性。试分析系统的内部稳定性。6-1 李雅普诺夫稳定性定义第7页，共57页，编辑于2022年，星期三3.内部稳定性与外部稳定性的关系内部稳定性与外部稳定性的关系1 1)若系统是内部稳定（渐近稳定）的，则一定是外部稳定（若系统是内部稳定（渐近稳定）的，则一定是外部稳定（BIBO稳稳定）的。定

9、）的。2 2)若系统是外部稳定（若系统是外部稳定（BIBO稳定）的，且又是可控可观测的，则系统是稳定）的，且又是可控可观测的，则系统是内部稳定（渐近稳定）的。此时内部稳定和外部稳定是等价的。内部稳定（渐近稳定）的。此时内部稳定和外部稳定是等价的。6-1 李雅普诺夫稳定性定义第8页，共57页，编辑于2022年，星期三6-1 李雅普诺夫稳定性定义6.1.6.1.李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义稳定性稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动的性质。指的是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动的性质。因此，系统的稳定性是相对系统的平衡状态而言的。因此，系统的稳定性是相对系统的平衡

10、状态而言的。6.1.1 平衡状态平衡状态考察系统考察系统自由运动自由运动状态。令输入状态。令输入 u=0。设系统的状态方程为：。设系统的状态方程为：第9页，共57页，编辑于2022年，星期三6-1 李雅普诺夫稳定性定义1.平衡状态的定义平衡状态的定义若对所有若对所有t，状态，状态x满足满足，则称该状态，则称该状态x为平衡状态，记为为平衡状态，记为，故有下式成立，故有下式成立:由平衡状态在状态空间中所确定的点由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。，称为平衡点。（5-2）2.平衡状态的求法平衡状态的求法其平衡状态其平衡状态xe满足满足Ax=0A非奇异，则存在唯一的一个平衡状态非奇异，则存在

11、唯一的一个平衡状态xe=0。（2）非线性系统）非线性系统的解可能有多个。的解可能有多个。（1）线性定常系统）线性定常系统方程方程第10页，共57页，编辑于2022年，星期三6-1 6-1 李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义6.1.2 范数的概念范数的概念范数的定义范数的定义 n维状态空间中，向量维状态空间中，向量x的长度称为向量的范数，用的长度称为向量的范数，用|x|表表示：示：向量的距离向量的距离 长度长度|x-xe|称为向量称为向量x与与xe的距离。写成的距离。写成当当 的范数限定在某一范围之内，则记的范数限定在某一范围之内，则记 第11页，共57页，编辑于2022年，星期三6-1

12、李雅普诺夫稳定性定义图图5-1 球域球域 在三维状态空间中表示以在三维状态空间中表示以 为球心、以为球心、以 一个球域，可记为一个球域，可记为为半径的为半径的第12页，共57页，编辑于2022年，星期三6-1 6-1 李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义6.1.3 李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义1.李雅普诺夫意义下的稳定性李雅普诺夫意义下的稳定性(稳定和一致稳定稳定和一致稳定)定义定义 对于系统对于系统，若任意给定实数，若任意给定实数 ,都存在另一实数都存在另一实数 ,使当使当 从任意初始状态从任意初始状态 时，时，出发的出发的x的解的解满足满足 则称系统的平衡状态则称系统的平衡

13、状态xe是是稳定的稳定的，其中，其中 是与是与 和和 有关的实数；有关的实数；无关，则称无关，则称 若若 与与 是是一致稳定一致稳定的。的。第13页，共57页，编辑于2022年，星期三6-1 6-1 李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义二维空间的几何意义：二维空间的几何意义：第14页，共57页，编辑于2022年，星期三6-1 李雅普诺夫稳定性定义稳定范围稳定范围如图如图5-3a）局部稳定）局部稳定 b）大范围稳定）大范围稳定 如图如图5-3李雅普诺夫意义下的稳定性示意图李雅普诺夫意义下的稳定性示意图 2.古典理论稳定性定义古典理论稳定性定义(渐近稳定性渐近稳定性)设设 xe 是系统是系统的

14、一个孤立平衡状态，如果的一个孤立平衡状态，如果（1 1）xe 是李雅普诺夫意义下稳定的；是李雅普诺夫意义下稳定的；（2 2）则称此平衡状态是渐近稳定的。则称此平衡状态是渐近稳定的。第15页，共57页，编辑于2022年，星期三-初始状态初始状态-平衡状态平衡状态图图6-2 二维空间渐近稳定性的几何解释示意图二维空间渐近稳定性的几何解释示意图 实际上，渐近稳定即为工程意义下的稳定，也就是经实际上，渐近稳定即为工程意义下的稳定，也就是经典控制理论中所讨论的稳定性。当典控制理论中所讨论的稳定性。当与与 t0 无关时，称平无关时，称平衡状态衡状态 xe 是一致渐近稳定的是一致渐近稳定的 6-1 6-1

15、李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义第16页，共57页，编辑于2022年，星期三3.3.大范围（全局）渐近稳定大范围（全局）渐近稳定当初始条件扩展到整个状态空间，且具有渐近稳定性时，称此平衡状态当初始条件扩展到整个状态空间，且具有渐近稳定性时，称此平衡状态xe是大范围渐近稳定是大范围渐近稳定的。的。对于严格线性系统，如果它是渐近稳定的，必具有大范围渐近稳定性，这是因为线性对于严格线性系统，如果它是渐近稳定的，必具有大范围渐近稳定性，这是因为线性系统稳定性与初始条件的大小无关。一般非线性系统的稳定性与初始条件的大小密切相关，系统稳定性与初始条件的大小无关。一般非线性系统的稳定性与初始条件的大

16、小密切相关，其其总是有限的，故通常只能在小范围内渐近稳定。当总是有限的，故通常只能在小范围内渐近稳定。当与与t0无关时，称平衡状态无关时，称平衡状态xe是大范是大范围一致渐近稳定。围一致渐近稳定。4.不稳定不稳定 不管把域不管把域S()取得多么小，也不管把域取得多么小，也不管把域S()取得如何的大，只要在取得如何的大，只要在S()x0，使，使得有得有x0出发的运动轨迹超出域以外，则称平衡状态出发的运动轨迹超出域以外，则称平衡状态xe是不稳定的。是不稳定的。6-1 李雅普诺夫稳定性定义第17页，共57页，编辑于2022年，星期三 线性系统的平衡状态不稳定，表征系统不稳定。非线性系统的平衡状态不稳

17、定，线性系统的平衡状态不稳定，表征系统不稳定。非线性系统的平衡状态不稳定，只说明存在只说明存在局部发散的轨迹局部发散的轨迹，至于是否趋于无穷远，要看，至于是否趋于无穷远，要看S S()域外是否存在其它平域外是否存在其它平衡状态，若存在，如有极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下稳定的。衡状态，若存在，如有极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下稳定的。下面介绍李雅普诺夫理论中判断系统稳定性的方法。下面介绍李雅普诺夫理论中判断系统稳定性的方法。图图6-3 二维空间不稳定的几何解释示意图二维空间不稳定的几何解释示意图-初始状态初始状态6-1 6-1 李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义第18页，共57页

18、，编辑于2022年，星期三6-2李雅普诺夫稳定性理论6.2.1二次型函数的定义及其表达式二次型函数的定义及其表达式6-2李雅普诺夫稳定性理论(1)二次型函数的定义二次型函数的定义代数式中常见的代数式中常见的种多项式函数为种多项式函数为定义定义 设设R是是n维实空间维实空间e1,e2,en是它的一组基，是它的一组基，R x，且，且 则变量则变量x1,x2,xn的二次齐次多项式的二次齐次多项式 第19页，共57页，编辑于2022年，星期三6-26-2李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫稳定性理论即称为即称为R内关于基内关于基 e1,e2,en的一个二次齐次式或称二次型。的一个二次齐次式或称二次型。第20

19、页，共57页，编辑于2022年，星期三6-2李雅普诺夫稳定性理论(2)二次型的矩阵表达式二次型的矩阵表达式即：即：第21页，共57页，编辑于2022年，星期三6-26-2李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫稳定性理论即：即：式中式中第22页，共57页，编辑于2022年，星期三6-2李雅普诺夫稳定性理论例题例题5-1（3）二次型的标准型）二次型的标准型只含有平方项的二次型称为二次型的标准型如只含有平方项的二次型称为二次型的标准型如 它是二次型中最简单的一种形式。它是二次型中最简单的一种形式。第23页，共57页，编辑于2022年，星期三6-26-2李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫稳定性理论根据线性代数理论

20、，二次型具有以下性质；根据线性代数理论，二次型具有以下性质；1)二次型经线性变换后变成另一个二次型，但它们的矩阵都是二次型经线性变换后变成另一个二次型，但它们的矩阵都是对称对称矩阵矩阵，且，且秩相同秩相同。2)任意一个二次型都可以经过非奇异线性变换任意一个二次型都可以经过非奇异线性变换化成标准型化成标准型。标准型标准型的矩阵是对角阵的矩阵是对角阵。3)二次型的二次型的标准型不是唯一标准型不是唯一的，与所做的非奇异线性变换有关。的，与所做的非奇异线性变换有关。4)二次型函数二次型函数xTAx(设设A是实对称阵是实对称阵)，必存在一个，必存在一个正交矩阵正交矩阵P,通过通过 变换使之化为变换使之化

21、为其中其中 为矩阵为矩阵A的特征值，且均为实数。的特征值，且均为实数。第24页，共57页，编辑于2022年，星期三6-2李雅普诺夫稳定性理论2标量函数标量函数V(x)的定号性的定号性 设设x是欧氏状态空间中非零向量，是欧氏状态空间中非零向量，V(x)是向量是向量x的标量函数。的标量函数。(1)如果对所有在欧氏状态空间中的如果对所有在欧氏状态空间中的非零向量非零向量x，有，有 V(x)0,且且在在x0处才有处才有 V(x)=0,则在欧氏状态空间内称则在欧氏状态空间内称V(x)为正定的，即为正定的，即 例如：例如：V(x)为正定的。为正定的。（2）如果标量函数）如果标量函数V(x)除了在原点以及某

22、些状态等于零，在欧氏除了在原点以及某些状态等于零，在欧氏空间内其余状态处都是正的，则称空间内其余状态处都是正的，则称V(x)为半正定的，即为半正定的，即 V(x)为正半定的。为正半定的。第25页，共57页，编辑于2022年，星期三6-26-2李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫稳定性理论（3）如果）如果-V(x)是正定的，则是正定的，则V(x)称为负定的，即称为负定的，即 ,V(x)为负定的。为负定的。例如：例如：（4）如果）如果-V(x)是正半定的，则是正半定的，则V(x)称为负半定的，即称为负半定的，即 例如：例如：,V(x)为负半定的。为负半定的。第26页，共57页，编辑于2022年，星期三6

23、-2李雅普诺夫稳定性理论（5）如果在欧氏空间内，）如果在欧氏空间内，V(x)即可正也可负，则即可正也可负，则V(x)称为不称为不 定的，定的，即即 例如：例如：,V(x)为不定的。为不定的。3.二次型标量函数定号性判别准则二次型标量函数定号性判别准则（重要概念！）重要概念！）对于对于A为实对称矩阵的二次型函数为实对称矩阵的二次型函数 V(x)的定号性，可以用下列准则来判的定号性，可以用下列准则来判定。定。（1）正定）正定 二次型函数二次型函数 V(x)为正定的充要条件是，为正定的充要条件是，A阵的所有各阶主阵的所有各阶主子行列式均大于零。即子行列式均大于零。即 第27页，共57页，编辑于202

24、2年，星期三6-26-2李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫稳定性理论（2）负定）负定 二次型函数二次型函数V(x)为负定的充要条件是，为负定的充要条件是，A阵的所有各阶主子行阵的所有各阶主子行列式满足列式满足 即即k为奇数为奇数k为偶数为偶数（3）正半定）正半定 二次型函数二次型函数V(x)为正半定的充要条件是，为正半定的充要条件是，A阵的所有各阶阵的所有各阶主子行列式是非负的，即主子行列式是非负的，即 第28页，共57页，编辑于2022年，星期三（3）负半定）负半定 二次型函数二次型函数V(x)为负半定的充要条件是，为负半定的充要条件是，A阵的所有各阶阵的所有各阶主子行列式满足：主子行列式满足：

25、6-2李雅普诺夫稳定性理论k为奇数为奇数k为偶数为偶数实对称矩阵实对称矩阵A的定号性的定号性 二次型二次型 V(x)的定号性由的定号性由A矩阵的主子式来判别故定义矩阵的主子式来判别故定义A阵的定号阵的定号性与性与 V(x)一致则一致则A阵定号性的讨论可代表阵定号性的讨论可代表 V(x)定号性的讨论。设定号性的讨论。设二次型函数二次型函数V(x)=xTAx，则定义如下：则定义如下：第29页，共57页，编辑于2022年，星期三6-2李雅普诺夫稳定性理论当当 V(x)是正定时，称是正定时，称A是正定的，记为是正定的，记为 A0;当当 V(x)是负定时，称是负定时，称A是负定的，记为是负定的，记为 A

26、 0 且且 V(0)=0，则称，则称V(x)在域在域内正定。内正定。如如 V(x)=x12+x22是正定的。是正定的。（2）负定性）负定性 标量函数标量函数V(x)在域在域 s 中对所有非零状态（中对所有非零状态（x0）有）有V(x)0，则称，则称V(x)在域内在域内 s 正半定。如正半定。如V(x)=(x1+2x2)2，当时有，当时有V(x)=0；当；当x1 -2x2时有时有V(x)=0，故为正半定。，故为正半定。（4）负半定性）负半定性 V(0)=0，且标量函数，且标量函数V(x)在域在域s内某些状态处有内某些状态处有V(x)=0，而在其它状态处有，而在其它状态处有V(x)0，故选，故选

27、（正定）（正定）沿沿 x 轨线对时间的全导数为轨线对时间的全导数为 已知已知 Q0,故故 Q0。系统在原定处的平衡状态是渐近稳定的。系统在原定处的平衡状态是渐近稳定的。写出李雅普诺夫函数写出李雅普诺夫函数V(x)及其导数及其导数 6-3 6-3 李雅普诺夫第二法在线性系统中的应用李雅普诺夫第二法在线性系统中的应用第53页，共57页，编辑于2022年，星期三例题例题4-9P167：6-3 李雅普诺夫第二法在线性系统中的应用第54页，共57页，编辑于2022年，星期三补充例题或（作业题）：补充例题或（作业题）：一、设系统的状态方程为：一、设系统的状态方程为：试：试：确定其平衡点坐标。确定其平衡点坐

28、标。采用李雅普诺夫第二法，确定使系统的稳定的采用李雅普诺夫第二法，确定使系统的稳定的K K的范围。的范围。写出李雅普诺夫函数写出李雅普诺夫函数 及其导数及其导数 。6-3 6-3 李雅普诺夫第二法在线性系统中的应用李雅普诺夫第二法在线性系统中的应用第55页，共57页，编辑于2022年，星期三二、设系统的状态方程为：二、设系统的状态方程为：试：试：确定其平衡点坐标。确定其平衡点坐标。采用李雅普诺夫第二法，采用李雅普诺夫第二法，判别该系统的稳定性。判别该系统的稳定性。写出李雅普诺夫函数写出李雅普诺夫函数及其导数及其导数。6-3 李雅普诺夫第二法在线性系统中的应用第56页，共57页，编辑于2022年，星期三三、设系统的状态方程为：三、设系统的状态方程为：试：试：确定其平衡点坐标。确定其平衡点坐标。采用李雅普诺夫第二法，确定使系统的稳定的采用李雅普诺夫第二法，确定使系统的稳定的K K的范围。的范围。写出李雅普诺夫函数写出李雅普诺夫函数及其导数及其导数 。6-3 6-3 李雅普诺夫第二法在线性系统中的应用李雅普诺夫第二法在线性系统中的应用第57页，共57页，编辑于2022年，星期三