D22函数的极限.ppt

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1、目录 上页 下页 返回 结束 对于函数对于函数 当考察它的变化总趋势当考察它的变化总趋势时时,因自变量的连续变化过程有许多情况因自变量的连续变化过程有许多情况,如如:如图如图:o oxy变化过程：特殊变化过程：特殊-一般一般目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 二、自变量趋于有限值时函数的极限二、自变量趋于有限值时函数的极限第二节自变量变化过程的六种形式:一、自变量趋于无穷大时函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容本节内容:函数的极限 目录 上页 下页 返回 结束 一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页

2、返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题:如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.”.目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1.设函数大于某一正数时有定义,若则称常数时的极限,2、几何解释、几何解释:记作直线 y=A 为曲线的水平渐近线.A 为函数1 1、定义、定义目录 上页 下页 返回 结束 例例1.证明

3、证证:取因此注注:就有故欲使只要目录 上页 下页 返回 结束 直线 y=A 仍是曲线 y=f(x)的渐近线.3、两种特殊情况、两种特殊情况(单侧极限单侧极限)当时,有当时,有几何意义几何意义:目录 上页 下页 返回 结束 例如，都有水平渐近线目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束（显然成立）（显然成立）目录 上页 下页 返回 结束 请请记记住住这这些些结结论论!目录 上页 下页 返回 结束 二、自变量趋于有限值时函数的极限二、自变量趋于有限值时函数的极限 先观察一个简单的例子。考察函数：先观察一个简单的例子。考察函数：y=x2 当当x无限接近于无限接近于1 1时的变化趋势。

4、从图时的变化趋势。从图形中，我们看到当形中，我们看到当x趋向于趋向于1 1时，时，y就趋向于就趋向于1 1，且，且x越接近越接近1 1，y就越接近就越接近1 1，记作，记作x 1 1时，时，y=x2 1。目录 上页 下页 返回 结束 再考察函数再考察函数 当当x无限趋近于无限趋近于1 1时（不等于时（不等于1 1）的变化趋势。）的变化趋势。从函数图形中看出，当从函数图形中看出，当x趋向于趋向于1 1时，时，y就趋向于就趋向于2 2。虽然函数在点虽然函数在点x=1处没有定义，处没有定义，但只要但只要x 1时，时，y 2。目录 上页 下页 返回 结束 柯西 最早由柯西给出最早由柯西给出1、精确定义

5、、精确定义(“”)定义定义2.设函数设函数在点在点的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义,当当时时,有有则称常数则称常数 A 为函数为函数当当时的极限时的极限,或或即即当当时时,有有若若记作记作目录 上页 下页 返回 结束 2.2.几何解释几何解释:注意：注意：目录 上页 下页 返回 结束 例例4.证明证明证证:故故对任意的对任意的当当时时,因此因此总有总有目录 上页 下页 返回 结束 例例5.证明证证:欲使取则当时,必有因此只要目录 上页 下页 返回 结束 例例6.证明证证:故取当时,必有因此目录 上页 下页 返回 结束 3.左极限与右极限左极限与右极限左极限:当时,有右极限:当时,有定理

6、定理2.（极限的存在定理）（极限的存在定理）目录 上页 下页 返回 结束 例例7.给定函数讨论 时的极限是否存在.解解:利用定理 2.因为显然所以不存在.目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3.(3.(唯一性唯一性)若 存在,则极限值 A 唯一.其证明同上节.定理定理4.(4.(局部有界性局部有界性)若 存在,则一定存在常数 ,其理论证明(略).直观地可几何意义说明.三、函数极限的几个重要性质（下列性质对自变量三、函数极限的几个重要性质（下列性质对自变量的不同变化过程均成立）的不同变化过程均成立）目录 上页 下页 返回 结束 保号性定理保号性定理定理定理5.若且 A 0,证证:已知即当时,有

7、当 A 0 时,取正数则在对应的邻域上(0)则存在(A 0)逆命题不成立逆命题不成立目录 上页 下页 返回 结束 若取则在对应的邻域上 若则存在使当时,有推论推论:分析分析:目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 6.若在的某去心邻域内,且 则证证:用反证法.则由定理5,的某去心邻域,使在该邻域内与已知所以假设不真,(同样可证的情形)思考:若定理6 中的条件改为是否必有不能不能!存在如 假设 A 0,条件矛盾,故目录 上页 下页 返回 结束 子列收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)定义定义3定理定理7.有定义有定义,有有目录 上页 下页 返回 结束 定理定理7.

8、有定义,且设即当有有定义,且对上述 ,时,有于是当时故可用反证法证明.(略)有证：证：当“”“”目录 上页 下页 返回 结束 定理定理7.有定义且有说明说明:1、此定理常用于判断函数极限不存在.法法1 找一个数列不存在.法法2 找两个趋于的不同数列及使目录 上页 下页 返回 结束 例例8.证明不存在.证证:取两个趋于 0 的数列及有由定理6 知不存在.目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,2、此定理也可用于求数列极限.目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1 1、函数极限的、函数极限的或或定义及应用定义及应用2 2、函数极限的性质、函数极限的性质:3 3、极限的重要性、极限的重要性（

9、1 1）极限是一种思想方法，揭示了极限是一种思想方法，揭示了常量与变量，常量与变量，有限与无限有限与无限的对立统一关系的对立统一关系 从认识有限到把握无限从认识有限到把握无限 从了解离散到理解连续从了解离散到理解连续 从认识静态从认识静态(不变的常量）来把握动态（变量）不变的常量）来把握动态（变量）目录 上页 下页 返回 结束（2 2）极限是一种概念）极限是一种概念（3 3）极限是一种计算方法极限是一种计算方法 微积分中许多概念是微积分中许多概念是用极限定义的用极限定义的许多许多物理、几何量、经济问题需要用极限来求物理、几何量、经济问题需要用极限来求目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.若极限存在,2.设函数且存在,则例3是否一定有？