第二章矩阵(工科类).ppt

《第二章矩阵(工科类).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二章矩阵(工科类).ppt（103页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第二章第二章 矩阵矩阵 矩阵是线性代数的核心。矩阵的概念、运矩阵是线性代数的核心。矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终。考研题中矩阵算及理论贯穿线性代数的始终。考研题中矩阵的题目有的题目有20多个。且绝大多教是填空题，约占多个。且绝大多教是填空题，约占线性代数总题量的线性代数总题量的28。伴随矩阵与求逆是出题最多的考点，矩阵的伴随矩阵与求逆是出题最多的考点，矩阵的运算、矩阵方程、矩阵的秩及初等矩阵等知识运算、矩阵方程、矩阵的秩及初等矩阵等知识点都应当认真仔细地复习。点都应当认真仔细地复习。一、矩阵运算一、矩阵运算*1、(,3分分)设设 ，而，而n2为正整为正整数，则数，则评注：由于评注：由

2、于 利用数学归纳法容易得出，利用数学归纳法容易得出，本题若用相似对角化的理论来求本题若用相似对角化的理论来求 ，虽亦，虽亦可得到这确结论，但烦琐。可得到这确结论，但烦琐。下面这些题要做好下面这些题要做好(1)3分分)设设 ，B为三阶非零为三阶非零矩阵，且矩阵，且AB=0，则，则t=。注：由注：由AB=0及及B非非0可推得什么可推得什么?*(2)（,3分分)设设n维向量维向量 矩阵矩阵 ，其中其中E为为n阶单位矩阵，则阶单位矩阵，则AB=。(A)0；(B)-E；(C)E；(D)评注：当评注：当 是行向量时，是行向量时，是一个是一个数，数，而是而是n阶矩阵。阶矩阵。*(3)(,4分分)设设 ，B=

3、P-1AP其中其中P为为3阶可逆矩阵，则阶可逆矩阵，则B2004-2A2=。综述综述 要熟练、准确掌握矩阵运算。对于矩阵要熟练、准确掌握矩阵运算。对于矩阵运算要注意它与数字运算的区别，不要混淆。运算要注意它与数字运算的区别，不要混淆。特别地，如何处理特别地，如何处理AB=0？在概念与方法上要？在概念与方法上要搞清楚。如何求搞清楚。如何求An?当当r(A)=1时，要会分解时，要会分解A为为 的形式。的形式。*二、伴随矩阵二、伴随矩阵 1、(,3分分)设设 ，A*是是A的伴随的伴随矩阵，则矩阵，则(A*)-1=。注：在求伴随矩阵时一定要牢记两点：注：在求伴随矩阵时一定要牢记两点：1）AA*=E；2

4、）可逆定义；）可逆定义；3）4）是关于）是关于A*的秩（下面关于秩再讲）的秩（下面关于秩再讲）评注：要知道关系式评注：要知道关系式 在已在已知矩阵知矩阵A的情况下，只要求出行列式的值，也的情况下，只要求出行列式的值，也就可以求出就可以求出(A*)-1或。或。*2.(,6分分)设设A的伴随矩阵，的伴随矩阵，且，且ABA-1=BA-1+3E，其中其中E是是4阶单位矩阵，求阶单位矩阵，求B。*对于伴随矩阵，这样的考题你会吗？对于伴随矩阵，这样的考题你会吗？(,3分分)设设A是任一是任一n(n3)阶方阵，阶方阵，A*是其是其伴随矩阵，又伴随矩阵，又k为常数，为常数，k0，1，则必有，则必有(kA)*=

5、。*3、(,3分分)设设n阶矩阵阶矩阵A非奇异非奇异(n2)，A*是是A的伴随矩阵，则的伴随矩阵，则(A)(B)(C)(D)评注：由评注：由 ，左乘，左乘A有有 即亦知应选即亦知应选(C)。若若A不可逆，上述关系仍成立，你能证不可逆，上述关系仍成立，你能证明吗？明吗？*4(,4分分)设矩阵设矩阵 满足满足A*=AT，其中其中A*为为A的伴随矩阵，的伴随矩阵，AT为为A的转置矩阵。的转置矩阵。若若 为三个相等的正数，则为三个相等的正数，则 为为(A)；(B)3；(C)；(D)；评注：评注：A*=AT在往年数学一、数学四的考在往年数学一、数学四的考题中都出现过，至于题中都出现过，至于 的推导还可利

6、的推导还可利用用 ，于是，于是 。然后两边取行。然后两边取行列式来论证。本题进一步可知矩阵列式来论证。本题进一步可知矩阵A是正交矩是正交矩阵。要会处理分块矩阵的伴随矩阵。阵。要会处理分块矩阵的伴随矩阵。*5(,3分分)设设A,B为为n阶矩阵，阶矩阵，A*，B*分别分别为为A,B对应的伴随矩阵，分块矩阵对应的伴随矩阵，分块矩阵 ，则则C的伴随矩阵的伴随矩阵C*=(A)(B)(C)(D)综述：伴随矩阵是常考题目之一。首先综述：伴随矩阵是常考题目之一。首先应理解伴随矩阵的概念，要掌握基本关系应理解伴随矩阵的概念，要掌握基本关系式：式：，并能将其作各种恒等，并能将其作各种恒等变形推导出伴随矩阵的各种关

7、系式。诸如：变形推导出伴随矩阵的各种关系式。诸如：(1)(2)若若A可逆，则可逆，则 ，(3)(4)若若A可逆，且可逆，且 ，则则(5)，另外，若另外，若A是是2阶矩阵，则阶矩阵，则 。了解此关系式对于了解此关系式对于2阶矩阵求逆是简便的。阶矩阵求逆是简便的。三、可逆矩阵三、可逆矩阵 1、(,6分分)设设A为为n阶非奇异矩阵，阶非奇异矩阵，为为n维维 列向量，列向量，b为常数，记分块矩阵为常数，记分块矩阵 其中其中A*是是 A的伴随矩阵，的伴随矩阵，E为为n阶单位矩阵阶单位矩阵(1)计算并化简计算并化简PQ。(2)证明：矩阵证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是 。评注：本题考查

8、分块矩阵的运算。要把评注：本题考查分块矩阵的运算。要把握住小块矩阵的左右位置。要看清握住小块矩阵的左右位置。要看清 是是1阶矩阵，是一个数。阶矩阵，是一个数。*2(,6分分)设设 其中其中E是是n阶单位矩阵阶单位矩阵 是是n阶非零列向量，阶非零列向量，是是 的转置，证明：的转置，证明：(1)A2=A的充要条件是的充要条件是 。(2)当当 时，时，A是不可逆矩阵。是不可逆矩阵。3、(,4分分)设设n维向量维向量 ，a0，E是是n阶单位矩阵阶单位矩阵 ，其中其中A的逆矩阵为的逆矩阵为B，则，则a=。评注：考查矩阵运算的分配律、结合律，评注：考查矩阵运算的分配律、结合律，以及可逆定义。试问以及可逆定

9、义。试问?*4.(,4分分)设设A为为n阶非零矩阵，阶非零矩阵，E为为n阶阶单位矩阵。若单位矩阵。若A3=0，则，则(A)E-A不可逆，不可逆，E+A不可逆；不可逆；(B)E-A不可逆，不可逆，E+A可逆；可逆；(C)E-A可逆，可逆，E+A可逆；可逆；(D)E-A可逆，可逆，E+A不可逆。不可逆。评注：本题用特征值也是简捷的，由评注：本题用特征值也是简捷的，由 的特征值的特征值 (或或E+A)的特征值均的特征值均不不为为 (或或E+A)可逆。可逆。要会单位矩阵恒等变换的技巧要会单位矩阵恒等变换的技巧(1)(,3分分)设设A，B，A+B，A-1+B-1均为均为n阶可逆矩阵，则阶可逆矩阵，则(A

10、-1+B-1)-1等于等于 练习：练习：(A)A-1+B-1 (B)A+B (C)A(A+B)-1B (D)(A+B)-1 注意，一般情况下注意，一般情况下(A+B)-1A-1+B-1不要不要与转置的性质相混淆。与转置的性质相混淆。(2)(,3分分)设设 ，E为为4阶单阶单位矩阵，且位矩阵，且B=(E+A)-1(E-A)，则则(E+B)-1=。(3)(,3分分)设设 ，其中，其中 ai0，i=1,2,n，则，则A-1=。(4)(,3分分)设矩阵设矩阵A满足满足A2+A-4E=0，其中，其中E为单位矩阵，则为单位矩阵，则(A-E)-1=。评注：用定义法求逆，数学一还有相当评注：用定义法求逆，数学

11、一还有相当的考生不会这种方法，正确率约为的考生不会这种方法，正确率约为57%，这，这是值得考生思考的。原因究竟是什么？是值得考生思考的。原因究竟是什么？综述综述 可逆是矩阵中的一个重要知识点，在考可逆是矩阵中的一个重要知识点，在考研中出现频率较高，在矩阵方程的求解中也会研中出现频率较高，在矩阵方程的求解中也会涉及到求逆问题。涉及到求逆问题。首先，应理解逆矩阵的概念，掌握逆矩首先，应理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质；其次，要正确熟练地求出逆矩阵的性质；其次，要正确熟练地求出逆矩阵；还要掌握可逆的充分必要条件，会证可阵；还要掌握可逆的充分必要条件，会证可逆。要熟悉逆。要熟悉(A-1)-1=A，(

12、AB)-1=B-1A-1 证明矩阵可逆的方法很多，核心问题是行证明矩阵可逆的方法很多，核心问题是行列式列式 (如第如第5题题)。还可用定义法，可用。还可用定义法，可用反证法。当然也可用特征值或齐次方程组反证法。当然也可用特征值或齐次方程组等，方法是灵活的。等，方法是灵活的。求逆矩阵的基本方法：定义法，伴随矩求逆矩阵的基本方法：定义法，伴随矩阵法阵法()，初等行变换法。，初等行变换法。特殊情况可用分块矩阵的技巧特殊情况可用分块矩阵的技巧(如第如第5题题)。四、初等变换四、初等变换 1、(,3分分)设设 其中其中A可逆，则可逆，则B-1等于等于(A)A-1P1P2；(B)P1A-1P2；(C)P1

13、P2A-1；(D)P2A-1P1 评注：本题考查初等矩阵的两个定理，评注：本题考查初等矩阵的两个定理，一个是行变换、列变换左乘、右乘初等矩阵一个是行变换、列变换左乘、右乘初等矩阵的关系，一个是初等矩阵逆矩阵的公式，复的关系，一个是初等矩阵逆矩阵的公式，复习初等矩阵时应搞清这两个基本定理。习初等矩阵时应搞清这两个基本定理。(,3分分)设设 ，则必有，则必有 练习：练习：(A)AP1P2=B；(B)AP2P1=B；(C)P1P2A=B；(D)P2P1A=B 2、(,4分分)设设n阶矩阵阶矩阵A与与B等价。则必有等价。则必有(A)当当 时，时，；(B)当当 时，时，；(C)当当 时，时，；(D)当当

14、 时，时，.3、(,4分分)设设A为为3阶矩阵，将阶矩阵，将A的第的第2行加行加到第到第1行得行得B，再将，再将B的第的第1列的列的-1倍加到第倍加到第2 列得列得C，记，记 ，则，则(A)C=P-1AP；(B)C=PAP-1；(C)C=PTAP；(D)C=PAPT。本题考查初等矩阵左乘右乘问题及初等本题考查初等矩阵左乘右乘问题及初等矩阵逆矩阵的公式。矩阵逆矩阵的公式。理工类还这样考理工类还这样考(1)(，4分分)设设A是是3阶方阵，将阶方阵，将A的第的第1列与列与第第2列交换得列交换得B，再把，再把B的第的第2列加到第列加到第3列得列得C，则满足，则满足AQ=C的可逆矩阵的可逆矩阵Q为为(A

15、)；(B)；(C)；(D)。评注：对于矩阵的初等变换要会用初等评注：对于矩阵的初等变换要会用初等矩阵来描述，还要熟悉初等矩阵逆矩阵的三矩阵来描述，还要熟悉初等矩阵逆矩阵的三个公式。个公式。*(2)(,4分分)设设A为为n(n2)阶可逆矩阵，交换阶可逆矩阵，交换A的第的第1行与第行与第2行得矩阵行得矩阵B，A*，B*分别为分别为AB的伴随矩阵，则的伴随矩阵，则(A)交换交换A*的第的第1列与第列与第2列得列得B*；(B)交换交换A*的第的第1行与第行与第2行得行得B*；(C)交换交换A*的第的第1列与第列与第2列得列得-B*；(D)交换交换A*的第的第1行与第行与第2行得行得-B*。评注：本题考

16、查初等矩阵的两个定理：一个评注：本题考查初等矩阵的两个定理：一个是左乘右乘问题，一个是初等矩阵逆矩阵的是左乘右乘问题，一个是初等矩阵逆矩阵的公式。同时注意求伴随矩阵有两种思路：一是公式。同时注意求伴随矩阵有两种思路：一是用定义法，一是用可逆矩阵来转换用定义法，一是用可逆矩阵来转换()。(3)(,5分分)设设A为为n阶可逆矩阵，将阶可逆矩阵，将A的第的第i行和第行和第j行对换后得到的矩阵记为行对换后得到的矩阵记为B（1）证明）证明B可逆。（可逆。（2）评注：本题考查初等矩阵的性质，要知评注：本题考查初等矩阵的性质，要知道初等变换与初等矩阵左右乘的关系以及初道初等变换与初等矩阵左右乘的关系以及初等

17、矩的阵逆矩阵。等矩的阵逆矩阵。经初等变换矩阵的秩不变，易知经初等变换矩阵的秩不变，易知r(A)=r(B)=n，也可证明，也可证明B可逆。可逆。五、矩阵方程五、矩阵方程*1.(,3分分)设矩阵设矩阵A，B满足满足A*BA=2BA-8E，其中其中 ，E为单位矩阵，为单位矩阵，A*为为A的伴的伴随矩阵，则随矩阵，则B=。要会解这样的矩阵方程要会解这样的矩阵方程 *(,4分分)设矩阵设矩阵A，B，C均为均为n阶矩阶矩阵，阵，E为为n阶单位矩阵，阶单位矩阵，B=E+AB,C=A+CA，则则B-C=。(A)E；(B)-E；(C)A；(D)-A。练习题练习题*(1).(,6分分)设矩阵设矩阵A的伴随矩阵的伴

18、随矩阵且，且，其中其中E是是4阶单位矩阵阶单位矩阵 求矩阵求矩阵B。评注：本题已知矩阵评注：本题已知矩阵A*，因此求出关于，因此求出关于A的式子后应当继续恒等变形向已知条件靠拢，的式子后应当继续恒等变形向已知条件靠拢，用关于用关于A*的式子来求的式子来求B较好。较好。若由若由B=3(A-E)-1A，然后用，然后用 先求出先求出A，再求，再求(A-E)-1。最后亦可求出。最后亦可求出B，但，但这样计算量较大。这样计算量较大。(2).(,3分分)已知已知AB-B=A,其中其中 ，则则A=。评注：求评注：求(B-E)-1时，方法有多种，若熟时，方法有多种，若熟悉分块悉分块及及2阶矩阵求逆法就可直接写

19、出阶矩阵求逆法就可直接写出(B-E)-1。（3）(3分分)设三阶方阵设三阶方阵A,B,满足关系满足关系 式式A-1BA=6A+BA，且，且 则则B=。综述综述 解矩阵方程时首先要作符号运算，再根据解矩阵方程时首先要作符号运算，再根据矩阵运算法则、性质把方程化简矩阵运算法则、性质把方程化简(特别要注意特别要注意矩阵的乘法没有交换律矩阵的乘法没有交换律)，可能出现的简化方，可能出现的简化方法有以下三种形式：法有以下三种形式：AX=B，XA=B，AXB=C。接着应判断矩阵接着应判断矩阵A是否可逆，若是否可逆，若A可逆，则前可逆，则前两个方程分别化为两个方程分别化为 X=A-1B与与X=BA-1。对于

20、第对于第3个方程，若个方程，若A，B均可逆，则可化为均可逆，则可化为 X=A-1CB-1。当把当把X描述清楚后，再带入已知数描述清楚后，再带入已知数据作数值运算就可求出据作数值运算就可求出X。随着时间的推移，当前矩阵方程的随着时间的推移，当前矩阵方程的化简部分比早年要复杂，已知条件也可化简部分比早年要复杂，已知条件也可能由能由A转换为与转换为与A有某种关联的矩阵，到有某种关联的矩阵，到目前为止还没有考过矩阵目前为止还没有考过矩阵A不可逆的情形。不可逆的情形。试问，若试问，若A不可逆，你如何解不可逆，你如何解AX=B？六。矩阵的秩六。矩阵的秩1。(3分分)设设A是是43矩阵，且矩阵，且r(A)=

21、2，而而 ，则，则r(AB)=。*2.(3分分)设矩阵设矩阵Amn的秩的秩r(A)=m3)阶矩阵，阶矩阵，若，若A的秩为的秩为n-1，则则a必为必为(A)1；(B)；(C)-1；(D).评注：评注：A是实对称矩阵，你能简捷看出是实对称矩阵，你能简捷看出A的特征值是的特征值是1+(n-1)a,1-a,1-a,1-a,吗？秩吗？秩r(A)=？(有三种情况！有三种情况！)如果这样出题呢？如果这样出题呢？设设n(n3)阶矩阵，阶矩阵，讨论当，讨论当a等于多等于多少时，少时，A*的秩的各种情况的秩的各种情况4.(3分分)设矩阵设矩阵 ，秩，秩r(A)=3，则则k=。*5.(3分分)设三阶矩阵设三阶矩阵

22、，若，若A的伴随矩阵的伴随矩阵的秩等于的秩等于1，则必有，则必有(A)a=b或或a+2b=0；(B)a=b或或a+2b0；(C)ab且且a+2b=0；(D)ab且且a+2b0。6.(4分分)设矩阵设矩阵 ，则则A3的秩为的秩为 。*1(3分分)设矩阵设矩阵 满秩，则直线满秩，则直线 与与 2(4分分)设矩阵设矩阵 ，已知矩阵，已知矩阵 A相似于相似于B，则秩，则秩(A-2E)与秩与秩(A-E)之和等于之和等于(A)2；(B)3；(C)4；(D)5.练习题练习题 (10分分)设设 为为3维列向量，矩维列向量，矩阵阵 ，其中，其中 分别是分别是 的转置，证明的转置，证明()秩秩r(A)2;()若若

23、 线性相关，则秩线性相关，则秩r(A)2。综述综述 要正确理解矩阵秩的概念，若要正确理解矩阵秩的概念，若r(A)=r，则，则 A 中有中有r阶子式不为阶子式不为0。而。而r+1阶子式必全为阶子式必全为0。在在 这里要分清这里要分清“有一个有一个”与与“每一个每一个”，当当r(A)=r 时时A中能否有中能否有r-1阶子式为阶子式为0？能否有能否有r+1 阶子式不为阶子式不为0？你如何描述？你如何描述r(A)r？要搞清矩阵的秩与向量组秩之间的关要搞清矩阵的秩与向量组秩之间的关系，在线性相关的判断与证明中这种转换是系，在线性相关的判断与证明中这种转换是重要的重要的(参看第三章有关内容参看第三章有关内容)。经初等变换矩阵的秩不变，这是求秩的经初等变换矩阵的秩不变，这是求秩的最重要的方法。有时可以把定义法与初等变换最重要的方法。有时可以把定义法与初等变换法相结合来分析推导矩阵的秩。法相结合来分析推导矩阵的秩。矩阵的秩的重要公式：矩阵的秩的重要公式：(1)r(A)=r(AT)(2)r(kA)=r(A)，k0。(3)r(A+B)r(A)+r(B)(4)r(AB)min(r(A),r(B)。(5)若若A可逆，则可逆，则r(AB)=r(B)，r(BA)=r(B)。(6)若若AB=0，A是是mn矩矩阵，则阵，则r(A)+r(B)n。(7)若若 ，则，则r(A)=r(B)。