第3章2电磁学.ppt

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1、第三章静态电磁场及其边值问题的解李婷主要内容n静电场分析n恒定电场分析n恒定磁场分析n惟一性定理n镜像法3.1静电场分析n一个源变量n两个场变量电场强度电通密度（或电位移矢量）静电场分析的基本变量积分形式微分形式本构方程3.1.1静电场的基本方程和边界条件1.基本方程 的法向分量边界条件的法向分量边界条件 (thenormalcomponent)为分界面上自由电荷面密度，不包括极化电荷。为分界面上自由电荷面密度，不包括极化电荷。若边界面上不存在自由电荷，则若边界面上不存在自由电荷，则 法向连续。法向连续。的切向分量边界条件的切向分量边界条件 (thetangentialcomponent)在两

2、种媒质分界面上，在两种媒质分界面上，切向连续。切向连续。2.边界条件3.1.2电位函数n电位：静电场中，单位正电荷自某点移至无限远处电场力所作的功，称为该点的电位。n定义式：n如果Q点是电位参考点，则n电位是相对值。n通常只要全部电荷都处在有限空间区域内，选取无限远作为参考点，可带来很大的方便。n点电荷在真空中产生的电位电位的计算也满足叠加原理以无穷远为参考点时，n个点电荷产生的电位：n体电荷，面电荷和线电荷分布形成的电位：1.电场强度与电位的关系n在球坐标系中n电位与电场强度的关系n利用，已知电荷求场强。如果高斯面找不出来，或高斯面不规则，矢量积分就很困难n这时就可以用求场强n注意：如果已知

3、求E，则E是唯一的如果已知E求，则不是唯一的。必须通过无穷远点的=0来确定唯一的。无限长线电荷的电位无限长线电荷的电位 电位参考点不能位于无穷远点，否则表电位参考点不能位于无穷远点，否则表达式无意义。达式无意义。根据表达式最简单原则，选取根据表达式最简单原则，选取r=1柱面柱面为电位参考面，即为电位参考面，即得：得：无限长线电流在空间中产生的电位无限长线电流在空间中产生的电位 2.电位的微分电位的微分方程方程n高斯定理的微分形式n电位与电场强度的关系n真空中的泊松方程n当时，即场中无电荷分布，则真空中的拉普拉斯方程 电位边界条件电位边界条件 (electricpotentialboundary

4、condition)在介质边界两边，电位分布同样遵照某种规律变化，这种在介质边界两边，电位分布同样遵照某种规律变化，这种变化规律即为电位的边界条件。变化规律即为电位的边界条件。电位边界条件电位边界条件 n电位的边界条件n如果分界面上没有自由面电荷，则n如果第二种媒质为导体，则例n半径为a的带电导体球，已知球体电位为U（无穷远处电位为0），计算球内外空间的电位函数和电场强度。n解：球外空间的电位满足拉普拉斯方程，边界条件是r=a，=U；r，=0。电位及其电场均具有对称性，建立球坐标系解：导体球是等势体。解：导体球是等势体。时：时：时：时：n例：两块无限大接地导体平板分别置于x=0和x=a处，在两

5、板之间的x=b处有一面电荷密度为S0的均匀电荷分布。求两导体平板之间的电位和电场。abOxy解：在两块无限大接地导体平板之间，除x=b处有均匀电荷分布外，其余空间无电荷分布，所以电位满足拉普拉斯方程方程的解为利用边界条件最后得n例：有一厚度为d，体密度为的均匀带电无限大平板。求空间I、II、III区域内的电位与电场强度分布。n解题步骤：建立坐标系选择电位参考点列方程，求解根据边界条件确定待定常数方程的解为直角坐标系坐标原点d/2-d/2OxyIIIIII利用边界条件d/2-d/2OxyIIIIII所以电场强度为d/2-d/2OxyIIIIII3.1.3 电容（电容（capacity）由物理学得

6、知，平板电容器正极板上携带的由物理学得知，平板电容器正极板上携带的电量电量 q 与极板间的电位差与极板间的电位差 U 的比值是一个常数，的比值是一个常数，此常数称为平板电容器的此常数称为平板电容器的电容电容，即电容为，即电容为 电电容容的的单单位位F（法法拉拉）太太大大。例例如如半半径径大大如如地地球球的的弧弧立立导导体体的的电电容容只只有有 F。实实际际中中，通通常取常取 F （微法）及微法）及 pF（皮法）作为电容单位。皮法）作为电容单位。1.双导体的电容计算双导体的电容计算n常用传输线，如平行板线、平行双导线、同轴电常用传输线，如平行板线、平行双导线、同轴电缆都是双导体系统缆都是双导体系

7、统n通常，它们的纵向尺寸远大于横向尺寸通常，它们的纵向尺寸远大于横向尺寸n因而，可作为平行平面电场（二维场）来研究，因而，可作为平行平面电场（二维场）来研究，只需计算传输线单位长度的电容。只需计算传输线单位长度的电容。n计算步骤如下：计算步骤如下：根据导体的几何形状，选取适当的坐标系根据导体的几何形状，选取适当的坐标系假定两导体上分别带电荷假定两导体上分别带电荷+q和和-q根据假定的电荷求出根据假定的电荷求出E由由 求得电位差求得电位差求出比值求出比值C=q/U例例 已知同轴线的内导体半径为已知同轴线的内导体半径为 a，外导体的内半径为外导体的内半径为b，内外导体之内外导体之间填充介质的介电常

8、数为间填充介质的介电常数为 。试求单位长度内外导体之间的电容。试求单位长度内外导体之间的电容。解解 由由于于电电场场强强度度一一定定垂垂直直于于导导体体表表面面，因因此此，同同轴轴线线中中电电场场强强度度方方向向一一定定沿沿径径向向方方向向。又又因结构对称，可以应用高斯定律。因结构对称，可以应用高斯定律。ab 设内导体单位长度内的电量为设内导体单位长度内的电量为q，围绕围绕内导体作一个圆柱面作为高斯面内导体作一个圆柱面作为高斯面S，则，则那么内外导体之间的电位差那么内外导体之间的电位差 U 为为 因此同轴线单位长度内的电容为因此同轴线单位长度内的电容为 例：半径为例：半径为a的带电导体球，求该

9、导体球的电容。的带电导体球，求该导体球的电容。解：导体球是等势体，设导体球的电位是解：导体球是等势体，设导体球的电位是U。时：时：对对于于多多导导体体之之间间的的电电容容计计算算，需需要要引引入入部部分分电电容容概概念念。多多导导体体系系统统中中，每每个个导导体体的的电电位位不不仅仅与与导导体体本本身身电电荷荷有有关关，同同时时还还与与其其他他导导体体上上的的电电荷荷有有关关，因因为为周周围围导导体体上上电电荷荷的的存存在在必必然然影影响响周周围围空空间间静静电电场场的的分分布布，而而多多导导体体的的电电场场是是由由它它们们共共同同产产生生的的。所所谓谓部部分分电电容容，是是指指多多导导体体系

10、系统统中中，一一个个导导体体在在其其余余导导体体的的影影响响下下，与与另另一一个个导导体体构构成的电容。成的电容。2.部分电容部分电容部分电容部分电容若电容器由多个导体构成。则电容器之间、导体与地之间均存在电容若电容器由多个导体构成。则电容器之间、导体与地之间均存在电容单个导体上的电量单个导体上的电量两两个个导导体体存存在在，且且考考虑虑大大地地影影响响时时，相相当当于于3 3个个导导体体的的情情况况，其中一个导体上的电量为其中一个导体上的电量为其中其中C12为导体为导体1,21,2间的电容，间的电容，C11为导体与大地间的电容为导体与大地间的电容N个个导导体体存存在在，导导体体i上上的的电电

11、量量与与它它和和其其它它导导体体之之间间的的电电位位差差（包括大地）有关，即有（包括大地）有关，即有式中：式中：导体与地之间电容，称导体自电容导体与地之间电容，称导体自电容导体之间的电容，称导体互电容导体之间的电容，称导体互电容说明：说明：3.1.4 电场能量电场能量 1.1.空间总电场能量空间总电场能量空间电荷分布为空间电荷分布为 ，在空间中产生电位为，在空间中产生电位为 。空间中总电场能量为：空间中总电场能量为：此公式只适用于静电场能量求解；此公式只适用于静电场能量求解；公式中公式中 不表示电场能量密度；不表示电场能量密度；为空间中自由电荷分布；为空间中自由电荷分布；积分范围积分范围 为整

12、个空间，但可退化到电荷分布区域。为整个空间，但可退化到电荷分布区域。关于空间总电场能量的说明：关于空间总电场能量的说明：分布电荷总能量分布电荷总能量 若电量为若电量为q的电荷分布在导体上，导体电位为的电荷分布在导体上，导体电位为 ，则空间中总静，则空间中总静电场能量为：电场能量为：对带电多导体系统对带电多导体系统式中：式中：为为 导体上所带电量；导体上所带电量；为为 导体电位；导体电位；带电导体系统总能量带电导体系统总能量注意：上面所有的电荷都是指自由电荷，不包括束缚电荷。注意：上面所有的电荷都是指自由电荷，不包括束缚电荷。2.2.电场能量密度电场能量密度对于各向同性的线性介质，对于各向同性的

13、线性介质，代入后得，代入后得 则电场的总能量为则电场的总能量为 由边界条件知在边界两边由边界条件知在边界两边 连续。连续。解：设同轴线内导体单位长度带电量为解：设同轴线内导体单位长度带电量为 同轴线内外导体半径分别为同轴线内外导体半径分别为a,b，导体间部分填充介质，介，导体间部分填充介质，介质介电常数为质介电常数为 ，如图所示。已知内外导体间电压为，如图所示。已知内外导体间电压为U。求：导体间单位长度内的电场能量。求：导体间单位长度内的电场能量。例例 两种方法求电场能量：两种方法求电场能量：或应用导体系统能量求解公式或应用导体系统能量求解公式知识延展：知识延展：对于由导体系统组成的电容器，其

14、总电场能量可采用如下方法求解对于由导体系统组成的电容器，其总电场能量可采用如下方法求解3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析恒定电场：恒定电流恒定电场：恒定电流(运动电荷运动电荷)产生的电场。产生的电场。一、恒定电场的基本方程一、恒定电场的基本方程恒定电场的基本量：恒定电场的基本量：电流连续性方程：电流连续性方程：恒定电场仍然是保守场，因此恒定电场仍然是保守场，因此小结：恒定电场基本方程为小结：恒定电场基本方程为恒定电场中的基本方程恒定电场中的基本方程二、恒定电场边界条件二、恒定电场边界条件 用类比关系推导恒定电场边界条件。比较可知，将静电场用类比关系推导恒定电场边界条件。比

15、较可知，将静电场基本方程中的基本方程中的 代换为代换为 ，则两者基本方程形式完全相同。，则两者基本方程形式完全相同。电位边界条件电位边界条件 的边界条件的边界条件 的边界条件的边界条件在理想导体表面上，在理想导体表面上，和和 都垂直于边都垂直于边界面。界面。静电场和恒定电场性质比较：静电场和恒定电场性质比较：场性质相同，均为保守场。场性质相同，均为保守场。场均不随时间改变。场均不随时间改变。均不能存在于理想导体内部。均不能存在于理想导体内部。源不同。静电场的源为静止电荷，恒定电场的源为源不同。静电场的源为静止电荷，恒定电场的源为运动电荷。运动电荷。存在区域不同。静电场只能存在于导体外，恒定电存在区域不同。静电场只能存在于导体外，恒定电场可以存在于非理想导体内。场可以存在于非理想导体内。讨论：讨论：相同点：相同点：不同点：不同点：若若 ,则则 。