第八章 振动2.ppt

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1、第第8章章振动学基础（二）振动学基础（二）8.68.6 简谐振动的合成简谐振动的合成1 1 1 1、两个同方向同频率简谐振动的合成、两个同方向同频率简谐振动的合成、两个同方向同频率简谐振动的合成、两个同方向同频率简谐振动的合成 当一个物体同时参与两个当一个物体同时参与两个(或多个或多个)简谐振动时简谐振动时,物体任意时刻物体任意时刻的振动位移为物体单独参与每个分振动的位移之矢量和的振动位移为物体单独参与每个分振动的位移之矢量和,这个结这个结论称为论称为运动的叠加原理运动的叠加原理。声源声源1声源声源2PP 点的运动就是这两个点的运动就是这两个同方向同方向振动的合运动。振动的合运动。质点质点 p

2、 同时参与两个同时参与两个 x 方向的简谐振动。方向的简谐振动。若两若两个个 x 方向的简谐振动的方程分别为方向的简谐振动的方程分别为:即即:两个两个同方向且同频率同方向且同频率简谐振动的合成仍是简谐振动，且合简谐振动的合成仍是简谐振动，且合振动的频率与两分振动的频率相同。振动的频率与两分振动的频率相同。用旋转矢量法求合振动用旋转矢量法求合振动 x式中式中 分别为合振动的振幅、角频率和初相。分别为合振动的振幅、角频率和初相。合合合合振动的振幅与初相振动的振幅与初相振动的振幅与初相振动的振幅与初相由合振幅公式知由合振幅公式知,合振幅的大小与两分振动的相位差有关。合振幅的大小与两分振动的相位差有关

3、。两种特殊情况两种特殊情况:(1)两分振动两分振动同同相相合合振幅最大振幅最大(加强加强)x(2)两分振动两分振动反相反相合合振幅最小振幅最小(减弱减弱)这种情况下这种情况下,若若 A1=A2,则则 A=0,质点静止。质点静止。(3)一般情况下，一般情况下，不是不是 的整数倍，合振幅就介于的整数倍，合振幅就介于 和和 之间。之间。例题例题 两个同方向的简谐振动曲线（两个同方向的简谐振动曲线（如图所示）如图所示）(1)、求合振动的振幅。、求合振动的振幅。(2)、求合振动的振动表达式。、求合振动的振动表达式。解解xTt合合振动振幅振动振幅合合振动初相振动初相x合合振动的表达式振动的表达式两个简两个

4、简谐振动同方向，同频率谐振动同方向，同频率 ，反相，反相解解解解例题例题例题例题 两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm，与第一个振动的相位差为与第一个振动的相位差为 。若第一个振。若第一个振动的振幅为动的振幅为 ，求：，求：(1)第二个振动的振幅；第二个振动的振幅；(2)两两个简谐振动的相位差个简谐振动的相位差。2 2 2 2、两个同方向不同频率简谐振动的合成、两个同方向不同频率简谐振动的合成、两个同方向不同频率简谐振动的合成、两个同方向不同频率简谐振动的合成 合振动不是简谐振动合振动不是简谐振动 合振幅随时间变化合振幅随时间变化 设

5、一质点同时参与两个同方向设一质点同时参与两个同方向,振幅相同且频率很接近振幅相同且频率很接近 的简谐振动的简谐振动,并取二者同相的时刻开始计时并取二者同相的时刻开始计时,因而因而 相同相同.合振动表达式合振动表达式 2 1拍频拍频 单位时间内合振幅加强或减弱的次数单位时间内合振幅加强或减弱的次数 1 秒内，秒内，转转 圈，而圈，而 转转 圈圈，两者同相或反向的次数各，两者同相或反向的次数各为为 ,且频率相近且频率相近从相量图上看从相量图上看:这样两个同方向不同频率的这样两个同方向不同频率的谐振动合成时谐振动合成时,会出现合振动会出现合振动的振幅时而加强的振幅时而加强,时而减弱的时而减弱的现象现

6、象 拍拍合振动的波形图合振动的波形图3 3 3 3、相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成（1）相互垂直、频率相同相互垂直、频率相同yx合振动的轨迹方程合振动的轨迹方程这是一个椭圆方程，椭圆的具体形状由相位差这是一个椭圆方程，椭圆的具体形状由相位差 决定。决定。讨论几种特殊情况：讨论几种特殊情况：这是直线方程，即合振动的轨迹是一条过原这是直线方程，即合振动的轨迹是一条过原点的直线。点的直线。（1）正椭圆方程正椭圆方程（2）（3）直线方程直线方程对应不同相位差的合运动轨迹对应不同相位差的合运动轨迹(2)相互垂直、频率成简单整数比相互垂直、

7、频率成简单整数比合运动具有稳合运动具有稳定封闭的轨迹定封闭的轨迹李李萨如萨如(J.A.LissajouJ.A.Lissajous s)图形图形作业作业P224227页，页，选选 6,7,8 计计 10 8.68.6 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振Ox1 1、阻尼振动、阻尼振动(damped vibration)(damped vibration)速度不太大时速度不太大时,阻力阻力 称为阻力系数称为阻力系数物体的运动方程物体的运动方程:m,k,为常数为常数.振幅随时间减小的振动振幅随时间减小的振动.令令 无阻尼时振子的无阻尼时振子的 固有角频率固有角频率 阻尼阻尼(damping)

8、因子因子方程成为方程成为用代数方法求解用代数方法求解.特征方程特征方程特征根特征根即即 位移随时间周期性变化位移随时间周期性变化,但振幅按指数规律衰减但振幅按指数规律衰减.(1)弱阻尼弱阻尼时，即时，即讨论三种情况讨论三种情况:方程的解为方程的解为:式中式中 ,A0,为两积分常数为两积分常数.为阻尼振动的振幅为阻尼振动的振幅.弱阻尼弱阻尼弱阻尼时的振动曲线弱阻尼时的振动曲线阻尼振动不是谐振动阻尼振动不是谐振动(2)过阻尼过阻尼(overdampingoverdamping)方程的解为方程的解为:c1,c2 是两积分常数是两积分常数.显然显然 t t 增大时增大时,x 逐渐趋向平衡位逐渐趋向平衡

9、位置置(非周期振动非周期振动).).过过阻尼阻尼过阻尼的过阻尼的 曲线曲线(3)临界阻尼临界阻尼(critical(critical damping)damping)方程的解为方程的解为:c1,c2 是两积分常数是两积分常数.也是非周期振动也是非周期振动,系统离开平衡位置后很系统离开平衡位置后很快回到平衡位置快回到平衡位置.(重根重根)临界阻尼临界阻尼临界阻尼的临界阻尼的 曲线曲线三种情况下的振动曲线三种情况下的振动曲线小小阻尼阻尼过过阻尼阻尼临界阻尼临界阻尼 生产实际中生产实际中,可根据不同要求可根据不同要求,用不同方法去控制阻尼用不同方法去控制阻尼的大小的大小.Ox令令2 2、受迫振动、受

10、迫振动(forced vibration)(forced vibration)设周期性外力设周期性外力(策动力策动力(driving force)(driving force)为为H 策动力振幅策动力振幅;策动力角频率策动力角频率.运动方程运动方程:系统在周期性外力作用下的振动系统在周期性外力作用下的振动.在阻尼较小的情况，此微分方程的解为在阻尼较小的情况，此微分方程的解为即即:受迫振动可以看成两个振动的合成。一个是阻尼振动受迫振动可以看成两个振动的合成。一个是阻尼振动(第一项第一项)；另一个是振幅稳定的振动；另一个是振幅稳定的振动(第二项第二项)。经过一段时。经过一段时间后间后,第一项表示的

11、分振动减弱到可忽略第一项表示的分振动减弱到可忽略,余下振幅稳定的余下振幅稳定的等幅振动。等幅振动。即即:稳定状态下的受迫振动是谐振动稳定状态下的受迫振动是谐振动,但本质不同但本质不同.（1）稳态受迫振动的角频率等于策动力的角频率，而不是稳态受迫振动的角频率等于策动力的角频率，而不是振动系统的固有角频率。振动系统的固有角频率。（2）稳态受迫振动的振幅和初相不是决定于振子初始条件）稳态受迫振动的振幅和初相不是决定于振子初始条件,而是依赖于振子的性质而是依赖于振子的性质,阻尼的大小以及策动力的特征阻尼的大小以及策动力的特征.受迫振动的振幅受迫振动的振幅即即:A 与与 ，,有关有关。当当 或或 ,振幅

12、振幅 A 均很小。均很小。求振幅求振幅 A 的极值可得，当策动力的角频率等于的极值可得，当策动力的角频率等于振幅振幅 A 取最大值取最大值共振共振即即:在阻尼很小的情况下，在阻尼很小的情况下，当策动力的角频率当策动力的角频率 等于等于系统的固有角频率系统的固有角频率 时，时，产生产生位移共振位移共振(resonance)(resonance)。不同阻尼下不同阻尼下,受迫振动的受迫振动的振幅随策动力频率变化的振幅随策动力频率变化的情况如图情况如图共振频率共振频率大阻尼大阻尼小阻尼小阻尼阻尼阻尼情景再现情景再现1940年年7月月1日日，桥桥龄龄仅仅4个个月月的的美美国国Tocama大大桥桥在在一一

13、场场不不算算太太强强的的大大风风中中坍坍塌塌。风风产产生生的的周周期期性性效效果果导导致致大大桥桥共共振振，大大桥桥在在风风中中坚坚强强的摇曳了近一天，最终轰然坠下的摇曳了近一天，最终轰然坠下 美国塔科马海峡大桥的共振断裂美国塔科马海峡大桥的共振断裂美国塔科马海峡大桥的共振断裂美国塔科马海峡大桥的共振断裂LC 回路的无阻尼自由电磁振荡回路的无阻尼自由电磁振荡 电磁振荡电磁振荡K CL根据基尔霍夫回路方程根据基尔霍夫回路方程K CL在在 LC 回路中电量和电流都作简谐振动回路中电量和电流都作简谐振动周期和频率决定于周期和频率决定于 LC 回路的性质回路的性质 在无阻尼自由电磁振荡回路中，电能在无阻尼自由电磁振荡回路中，电能和磁能相互转换，总能量保持不变。和磁能相互转换，总能量保持不变。