随机数学z1-5.ppt

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1、1-5 1-5 条条 件件 概概 率率一 条 件 概 率二 乘 法 定 理三 全概率公式和贝叶斯公式目 录 索 引第一章 概率论的基本概念1-5条件概率返回主目录一一 条条 件件 概概 率率 条件概率是概率论中一个重要而实用的概念。条件概率是概率论中一个重要而实用的概念。它所考虑的是事件它所考虑的是事件 A 已经发生的条件下事件已经发生的条件下事件 B 发生的概率。发生的概率。第一章 概率论的基本概念1-5条件概率返回主目录设设A、B是某随机试验中的两个事件，且是某随机试验中的两个事件，且则称事件则称事件B在在“事件事件A已发生已发生”这一附加条件下的这一附加条件下的概率为在事件概率为在事件A

2、已发生的条件下事件已发生的条件下事件B发生发生的条件的条件概率，简称为概率，简称为B在在A之下的条件概率，记为之下的条件概率，记为例例 1 盒中有盒中有4个外形相同的球，它们的标号分别个外形相同的球，它们的标号分别 为为1、2、3、4，每次从盒中取出一球，有放，每次从盒中取出一球，有放 回地取两次回地取两次则该试验的所有可能的结果为则该试验的所有可能的结果为 (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4

3、)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)其中其中(i,j)i,j)表示第一次取表示第一次取i i号球，第二次取号球，第二次取j j号球号球第一章 概率论的基本概念1-5条件概率返回主目录设设A=第一次取出球的标号为第一次取出球的标号为 2 B=取出的两球标号之和为取出的两球标号之和为 4 下面我们考虑下面我们考虑:已知已知第一次取出球的标号为第一次取出球的标号为 2,求求取出的两球标号之和为取出的两球标号之和为 4的的概率。概率。由于已知事件由于已知事件A已经发生，则该试验的所有已经发生，则该试验的所有可能结果为可能结果为第一章 概率论的基本概念1-5

4、条件概率返回主目录则事件则事件B所含的样本点为所含的样本点为 (1,3)(2,2)(3,1)(1,3)(2,2)(3,1)因此事件因此事件B的概率为的概率为:即在事件即在事件A发生的条件下，事件发生的条件下，事件B发生的概率：发生的概率：(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)这时，事件这时，事件B是在事件是在事件A已经发生的条件下的概率，已经发生的条件下的概率，因此这时所求的概率为因此这时所求的概率为 注：注：由例由例1可以看出，事件在可以看出，事件在“条件条件A已发生这已发生这附加条件的概率与不附加这个条件的概率是不附加条件的概率与不附加这个条件的概

5、率是不同的且由于同的且由于 第一章 概率论的基本概念1-5条件概率返回主目录故有称为在事件称为在事件A已发生的条件下事件已发生的条件下事件B发生的条件概发生的条件概率，简称为率，简称为B在在A之下的条件概率。之下的条件概率。第一章 概率论的基本概念1-5 条件概率 返回主目录设设A、B是某随机试验中的两个事件，且是某随机试验中的两个事件，且则则条件概率的定义条件概率的定义条件概率的性质：条件概率的性质：第一章 概率论的基本概念1-5 条件概率返回主目录二、缩小样本空间法二、缩小样本空间法-适用于古典概型适用于古典概型第一章 概率论的基本概念1-5 条件概率返回主目录一、公式法一、公式法条件概率

6、的计算公式：条件概率的计算公式：设事件A所含样本点数为样本点数为 ,事件AB所含样样本点数为本点数为 ,则则 例例 2 已知某家庭有已知某家庭有3个小孩，且至少有一个小孩，且至少有一个是女孩，求该家庭至少有一个男孩的概率个是女孩，求该家庭至少有一个男孩的概率则则解：设解：设 A=3个小孩至少有一个女孩个小孩至少有一个女孩 B=3个小孩至少有一个男孩个小孩至少有一个男孩 第一章 概率论的基本概念1-5 条件概率返回主目录S=男男男男男男,男男女男男女,男女男男女男,男女女男女女,女男男女男男,女男女女男女,女女男女女男,女女女女女女方法一方法一 公式法：公式法：所以第一章 概率论的基本概念1-5

7、 条件概率返回主目录方法二方法二缩小样本空间法缩小样本空间法S=男男男男男男,男男女男男女,男女男男女男,男女女男女女,女男男女男男,女男女女男女,女女男女女男,女女女女女女二二 乘法公式乘法公式由条件概率的计算公式由条件概率的计算公式 我们得我们得这就是两个事件的乘法公式这就是两个事件的乘法公式第一章 概率论的基本概念1-5 条件概率返回主目录 两个事件的乘法公式两个事件的乘法公式多个事件的乘法公式多个事件的乘法公式 则有这就是这就是n个事件的乘法公式个事件的乘法公式 第一章 概率论的基本概念1-5 条件概率返回主目录例例 4 （波伊亚罐子模型）（波伊亚罐子模型）袋中有一个白球与一个袋中有一

8、个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止求取了球为止求取了n次都未取出黑球的概率次都未取出黑球的概率解：解：则第一章 概率论的基本概念1-5 条件概率返回主目录第一章 概率论的基本概念1-5 条件概率返回主目录由乘法公式，我们有由乘法公式，我们有 例例 5 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落 下时打破的概率为下时打破的概率为 1/21/2 ，若第一次落下未打破，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为第二次落下打破的概率为

9、 7/107/10,若前两次落下若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为未打破，第三次落下打破的概率为 9/109/10 。求透。求透镜落下三次而未打破的概率。镜落下三次而未打破的概率。第一章 概率论的基本概念1-5 条件概率返回主目录解：解：以以 Ai(i=1,2,3)表示事件表示事件“透镜第透镜第 i 次落下打次落下打破破”，以，以 B 表示事件表示事件“透镜落下三次而未打破透镜落下三次而未打破”，有：有：三、全概率公式和贝叶斯公式三、全概率公式和贝叶斯公式SB1B2Bn.AB1AB2.ABn 定义定义 设设 S 为试验为试验 E 的样本空间，的样本空间，为为 E 的一组事件。若满足的一

10、组事件。若满足 (1)(2)则称则称 为为 样本空间样本空间 S 的一个的一个划分划分。第一章 概率论的基本概念1-5 条件概率返回主目录全全 概概 率率 公公 式：式：设随机事件设随机事件满足：满足：第一章 概率论的基本概念1-5 条件概率返回主目录全概率公式的证明思路：全概率公式的证明思路：用样本空间的划分用样本空间的划分B1B2Bn.AB1AB2.ABnS第一章 概率论的基本概念1-5 条件概率返回主目录1 1、划整为零：、划整为零：2 2、用乘法公式计算每部分的概率：、用乘法公式计算每部分的概率：全概率公式的证明全概率公式的证明由条件：由条件：得得而且由而且由B1B2Bn.AB1AB2

11、.ABnS第一章 概率论的基本概念1-5 条件概率返回主目录全概率公式的证明（续）全概率公式的证明（续）所以由概率的可列可加性，得所以由概率的可列可加性，得代入公式（代入公式（1），得），得第一章 概率论的基本概念1-5 条件概率返回主目录全概率公式的使用全概率公式的使用我们把事件我们把事件A看作某一过程的结果，看作某一过程的结果，根据历史资料，每一原因发生的概率已知，根据历史资料，每一原因发生的概率已知，而且每一原因对结果的影响程度已知而且每一原因对结果的影响程度已知，则要则要计算结果计算结果A发生的概率发生的概率就用全概率公式就用全概率公式第一章 概率论的基本概念1-5 条件概率返回主目录

12、（已知原因，求结果）（已知原因，求结果）常用的全概率公式有常用的全概率公式有第一章 概率论的基本概念1-5 条件概率返回主目录是样本空间是样本空间 S 的一个的一个划分划分。例例6 某小组有某小组有20名射手，其中一、二、三、四级名射手，其中一、二、三、四级射手分别为射手分别为2、6、9、3名又若选一、二、三、名又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率概率第一章 概率论的基本概

13、念1-5 条件概率返回主目录解：解：第一章 概率论的基本概念1-5 条件概率返回主目录一、二、三、四级射手分别为一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名名,又又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32由全概率公式，有由全概率公式，有第一章 概率论的基本概念1-5 条件概率返回主目录思考：思考：今随机选一人参加比赛射中了目标，今随机选一人参加比赛射中了目标，求该选手是一级选手的概率求该选手是一级选手的概率BayesBayes （逆概）公（逆概）公 式：式：设随机事件设随

14、机事件满足则第一章 概率论的基本概念1-5 条件概率返回主目录BayesBayes公式的使用公式的使用我们把事件我们把事件A看作某一过程的结果，看作某一过程的结果，根据历史资料，每一原因发生的概率已知，根据历史资料，每一原因发生的概率已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，如果已知事件如果已知事件A已经发生，要求此时是由第已经发生，要求此时是由第 n个个原因引起的概率，则用原因引起的概率，则用Bayes公式公式第一章 概率论的基本概念1-5 条件概率返回主目录验前概率验前概率验后概率验后概率（已知结果，求原因）已知结果，求原因）例例7 用某种方法普查肝癌，设：

15、用某种方法普查肝癌，设：A=用此方法判断被检查者患有肝癌用此方法判断被检查者患有肝癌，D=被检查者确实患有肝癌被检查者确实患有肝癌，已知已知 2）已知已知 现有一人用此法检验患有肝癌，求此人现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率真正患有肝癌的概率第一章 概率论的基本概念1-5 条件概率返回主目录（结果）结果）（原因）（原因）1）求用此方法判断某被检查者患有肝癌的概率；）求用此方法判断某被检查者患有肝癌的概率；例 7（续）解解 由已知，得由已知，得第一章 概率论的基本概念1-5 条件概率返回主目录由全概率公式，有由全概率公式，有例 7（续）第一章 概率论的基本概念1-5 条件概率返

16、回主目录由由Bayes公式，得公式，得 例例 8 某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的。根据以往的记录有以下的数据。件厂提供的。根据以往的记录有以下的数据。元件制造厂元件制造厂 次品率次品率 提供晶体管的份额提供晶体管的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05SB1B2B3A第一章 概率论的基本概念1-5 条件概率 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。且无区别的标志。（1）在仓库中随机的取一只晶体管，求它）在仓库中随机的取一只晶体管，求它是次是次品品

17、的概率。的概率。（2）在仓库中随机的取一只晶体管，若已知取）在仓库中随机的取一只晶体管，若已知取到的是次品试分析此到的是次品试分析此次品出自那家工厂次品出自那家工厂的可能的可能性最大。性最大。解解：设设 A 表示表示“取到的是一只次品取到的是一只次品”，Bi(i=1,2,3)表示表示“取到的产品是由第取到的产品是由第 i家工厂提供的家工厂提供的”,第一章 概率论的基本概念1-5 条件概率例8（续）返回主目录元件制造厂元件制造厂 次品率次品率 提供晶体管的份额提供晶体管的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05第一章 概率论的基本概念1-5 条件概率例8（续）

18、返回主目录元件制造厂元件制造厂 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05B1B2B3A第一章 概率论的基本概念1-5 条件概率例8（续）返回主目录第一章 概率论的基本概念1-5 条件概率例8（续）返回主目录 有两箱同种类的零件。第一箱装有两箱同种类的零件。第一箱装50只，其中只，其中10只一等品；只一等品；第二箱装第二箱装30只，其中只，其中18只一等品。只一等品。今从今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。求：两次，每次任取一只，作不放回抽样。求：（1）第一次取到的零件是一等品的概率；）第一次

19、取到的零件是一等品的概率；（2）第一次取到的零件是一等品的条件下）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率；第二次取到的也是一等品的概率；（3）已知第一次取到的零件是一等品，）已知第一次取到的零件是一等品，求它求它是第一箱是第一箱的的零件的零件的概率；概率；例9返回主目录全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式第一章 概率论的基本概念 解解：设设 Ai 表示表示“第第i次取到一等品次取到一等品”(i=1,2)，返回主目录Bi(i=1,2)表示表示“取到的是第取到的是第 i箱箱中的产品中的产品”,全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式例9（续）1）由全概率公式，有

20、）由全概率公式，有第一章 习题课例9（续）返回主目录2）由全概率公式和条件概率公式，有）由全概率公式和条件概率公式，有3）由）由贝叶斯公式贝叶斯公式，有，有第一章 习题课 例例10 袋中有袋中有10个黑球，个黑球，5个白球现掷一枚个白球现掷一枚均匀的子，掷出几点就从袋中取出几个球均匀的子，掷出几点就从袋中取出几个球 若已知取出的球全是白球，求掷出若已知取出的球全是白球，求掷出3点的概率。点的概率。第一章 概率论的基本概念1-5 条件概率返回主目录*解：设解：设 A=取出的球全是白球取出的球全是白球 则由则由Bayes公式，得公式，得第一章 概率论的基本概念1-5 条件概率返回主目录例10（续）

21、例10（续）第一章 概率论的基本概念1-5 条件概率返回主目录作业：作业：例10（续）第一章 概率论的基本概念1-5 条件概率返回主目录 例例 11 对以往的数据分析结果表明当机器调对以往的数据分析结果表明当机器调整得整得良好时良好时，产品的，产品的合格率合格率为为 90%,而当机器而当机器发生某一发生某一故障时故障时，其，其合格率合格率为为 30%。每天早上。每天早上机器开动时，机器调整机器开动时，机器调整良好良好的概率为的概率为 75%。已。已知某天早上第一件产品是合格品，试求机器调整知某天早上第一件产品是合格品，试求机器调整得良好的概率是多少？得良好的概率是多少？机器调整得机器调整得良好良好 产品合格产品合格 机器发生某一机器发生某一故障故障 第一章 概率论的基本概念1-5 条件概率返回主目录解解：第一章 概率论的基本概念1-5 条件概率返回主目录作业：作业：