第4讲：平面内点和直线(二)、直线与平面及平面与平面的相对位置关系(平行).ppt

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1、直线与平面、平面与平面的相对位置直线与平面、平面与平面的相对位置平行平行平面上的点和直线；平面上的点和直线；1/21/20231平面上的特殊位置直线平面上的特殊位置直线 例例1：过：过C点作点作平面内的水平线。平面内的水平线。dddd”一、平面上的投影面平行线一、平面上的投影面平行线1.投影特点投影特点同时满足投影面平行线和平面上的直同时满足投影面平行线和平面上的直线的投影特点。线的投影特点。解题思路解题思路：1、明确水平线的投、明确水平线的投影特性；影特性；2、从平行于轴的投、从平行于轴的投影入手，在给定平面影入手，在给定平面内取线。内取线。ababa”b”cc”cOZXYHYW1/21/2

2、0232n nm mnnmm1010c c a a b b c ca ab b 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？例例2 2：在平面：在平面ABCABC内作一条正平线，使其到内作一条正平线，使其到 V V面的距离为面的距离为10mm10mm。OX1/21/20233b bc ck ka ad da a d d b b c c k k b bc c解法一解法一解法二解法二例例3 3：已知：已知ACAC为正平线，补全平行四边为正平线，补全平行四边形形ABCDABCD的水平投影。的水平投影。OXa ad da a d d b b c c OX1/21/20234例例4 4：已知点：已知点E E在在

3、 ABCABC平面上，且点平面上，且点E E距离距离H H面面1515，距离，距离V V 面面1010，试求点，试求点E E的投影。的投影。m mn nm m n n r rs sr r s s 10101515e e e e 在在平面上平面上取点、取直线取点、取直线的作图，的作图，实质实质上就上就是是在平面在平面内内作辅助线作辅助线的的问题。利用它问题。利用它可以可以解决三类解决三类问题问题：判别已判别已知点、直线是知点、直线是否属于已知平否属于已知平面；完成已知面；完成已知平面上的点和平面上的点和直线的投影；直线的投影；完成多边形的完成多边形的投影。投影。OX1/21/20235例例5 5

4、：已知：已知点点E E为平面内一点，为平面内一点，过过点点E E作平面内的正平线。作平面内的正平线。P PV VP PH Heem me emm平面上的特殊位置直线平面上的特殊位置直线2 2、平面迹线表示法中的平行线：平面迹线表示法中的平行线：P P表示平面、表示平面、P PV V表示表示正面迹线、正面迹线、P PH H表示水平迹线。表示水平迹线。OX1/21/20236P PH Hm m1 1m m2 2m m1 1m m2 2平面迹线表示法中的平行线平面迹线表示法中的平行线例例6 6：已知：已知 ABCABC给定一平面，试作出该平面的给定一平面，试作出该平面的水平迹线。水平迹线。aabba

5、 ab bccc cOX1/21/20237PPHCDaSAE二、平面的最大斜度线（对某一投影面而言）二、平面的最大斜度线（对某一投影面而言）平面内垂直于该平面的投影面平行线（或平面的迹线）平面内垂直于该平面的投影面平行线（或平面的迹线）的直线。的直线。平面上的特殊位置直线平面上的特殊位置直线 平面的最大斜度线平面的最大斜度线是平面上对某个投影面是平面上对某个投影面倾角最大的直线。它与倾角最大的直线。它与投影面的倾角反映该平投影面的倾角反映该平面与投影面的倾角。面与投影面的倾角。1/21/20238b bbb平面的最平面的最大坡度线大坡度线平面平面对对H H面面的最大斜度线的最大斜度线平面的最

6、大平面的最大坡度线。坡度线。最大斜度线的几何意义最大斜度线的几何意义用来测定平面对投影面的角度。用来测定平面对投影面的角度。例例7：试作试作 AC平面上的最大坡平面上的最大坡度线度线B。ddaad da accc cOX1/21/20239练习：练习：求作求作 ABCABC平面上对水平面的最大斜度线平面上对水平面的最大斜度线BE BE。b bd d d de e e eOX1/21/202310例例8 8：在：在上题上题中，中，求求 ABCABC平面与水平投影面的夹角平面与水平投影面的夹角 。bebe BEBEb bOX1/21/202311aa 例例9 9：已知直线：已知直线EFEF为某平面

7、对为某平面对H H 面的最大斜度线，试面的最大斜度线，试 作出该平面。作出该平面。OX1/21/202312相对位置包括相对位置包括平行、相交平行、相交。直线与平面平行直线与平面平行平面与平面平行平面与平面平行包包括括包包括括直线与平面相交（包含垂直）直线与平面相交（包含垂直）平面与平面相交（包含垂直）平面与平面相交（包含垂直）直线与平面、平面与平面直线与平面、平面与平面的相对位置的相对位置1/21/202313 直线与平面平行直线与平面平行定理定理 若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与该平面必相互平行；反之，若一直线与平面相互平与该平面必相互平行

8、；反之，若一直线与平面相互平行，则在该平面内一定存在与该直线平行的直线。行，则在该平面内一定存在与该直线平行的直线。有关线、面平行的作图问有关线、面平行的作图问题有：题有：v判别已知线、面是否平判别已知线、面是否平 行；行；v作直线与已知平面平行；作直线与已知平面平行；v包含已知直线作平面与另包含已知直线作平面与另一已知直线平行。一已知直线平行。c caabba ab bccffeef fe eXO1/21/202314直线与平面平行直线与平面平行n n a a c c b b m m a ab bc cm mn n例例1010：过：过M M点作直线点作直线MNMN平行于平面平行于平面ABCA

9、BC。有无数解有无数解有多少解？有多少解？XO1/21/202315正平正平线线c c b b a a m m a ab bc cm mn n唯一唯一解解n n 例例1111：过：过M M点作直线点作直线MNMN平行于平行于V V面和平面面和平面ABCABC。XO1/21/202316练习：试过点练习：试过点K K作水平线作水平线ABAB平行平行CDECDE平面。平面。b b a a a af f f fb b唯一唯一解解XO1/21/202317c caabba ab bccffeef fe e例例1212：判断直线：判断直线EFEF是否平行于平面是否平行于平面ABCABC。直线直线EFEF

10、不平行不平行于于平面平面ABCABCXO1/21/202318例例1313：试判断直线：试判断直线ABAB是否平行于定平面。是否平行于定平面。f fg g f f g g结论：结论：直线直线ABAB不平行于定平面。不平行于定平面。XO1/21/202319aabba ab bP PV VP PH H例例1414：判断直线：判断直线ABAB与平面与平面P P的关系。的关系。直线直线ABAB平行于平行于平面平面P P 判断直线与投影面垂判断直线与投影面垂直面是否平行时，只需判直面是否平行时，只需判断平面所垂直的投影面上断平面所垂直的投影面上的投影是否平行。的投影是否平行。XO1/21/202320

11、E EF FD DAC CB平面与平面平行平面与平面平行面、面平行的面、面平行的几何条件几何条件 若一平面上的若一平面上的两两相交相交相交相交直线对应平行直线对应平行于另一平面上的于另一平面上的两两相交相交相交相交直线直线，则这两平面相互平行。，则这两平面相互平行。1/21/202321平面与平面平行平面与平面平行若两若两投影面垂直面相互平行投影面垂直面相互平行，则它们则它们具有积聚性具有积聚性的那组的那组投影必相投影必相互平行互平行。两平面平行的作图问题有：两平面平行的作图问题有：v判别两已知平面是否相互平行；判别两已知平面是否相互平行；v过一点作一平面与已知平面平行；过一点作一平面与已知平

12、面平行；v已知两平面平行，完成其中一已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影。平面的所缺投影。平行平行平行平行c c f f b b d d e e a a a ab bc cd de ef fXOf f h h a ab bc cd de ef fh ha a b b c c d d e e XO1/21/202322例例1515：试判断两平面是否平行。：试判断两平面是否平行。结论：因为结论：因为P PH H平行平行S SH H，所以两平面平行。，所以两平面平行。XO1/21/202323例例1616：试判断两平面是否平行。：试判断两平面是否平行。m m n n m mn nr r r rs

13、 ss s 结论：两平面平行结论：两平面平行XO1/21/202324例例1717：已知定平面由平行两直线：已知定平面由平行两直线ABAB和和CDCD给定，试过点给定，试过点K K作一平面平行于已知平面作一平面平行于已知平面 。e em m n n m mn nf f e e f fs sr r s s r rk k k kXO1/21/202325BKA直线与平面相交直线与平面相交其其交点交点只有一个，是直线与平面的只有一个，是直线与平面的共有点。共有点。要讨论的问题要讨论的问题：求求直线与平面的直线与平面的交点。交点。判别两者之间的相互遮挡关系，即判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。

14、判别可见性。1/21/202326直线与平面相交直线与平面相交平面为特殊位置平面为特殊位置a ab bc cm mn nc c n n b b a a m m 步骤：步骤：空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABCABC是一铅垂面，是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直其水平投影积聚成一条直线，该直线与线，该直线与mnmn的交点即的交点即为为K K点的水平投影。点的水平投影。求交点求交点 判别可见性判别可见性由水平投影可知，由水平投影可知，KNKN段在平面前，段在平面前，故正面投影上故正面投影上k k n n 为可见。为可见。还可通过重影点判别可见性。还可通过重影点判别可见性。k k 1 1(2

15、 2)作作 图图k k2 21 1XO例例1818：求铅垂面：求铅垂面ABCABC 与与一般位置一般位置直线直线MNMN的交点，并判别其可见性。的交点，并判别其可见性。1/21/2023272 2直线为特殊位置直线为特殊位置 直线直线MNMN为铅垂线，其为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，水平投影积聚成一个点，故交点故交点K K的水平投影也积聚的水平投影也积聚在该点上。在该点上。求交点求交点 判别可见性判别可见性 点点位于平面上，在前；位于平面上，在前；点点位于位于MNMN上，在后。故上，在后。故k k 2 2 为不可见。为不可见。用面上用面上定点法定点法k km(n)m(n)b bm m n

16、n c c b b a a a ac c1 1(2 2)k k 2 21 1直线与平面相交直线与平面相交例例1919：求铅垂线：求铅垂线与与一般位置平一般位置平面面ABCABC的交点，并判别其可见性。的交点，并判别其可见性。步骤：步骤：空间及投影分析空间及投影分析作作 图图XO1/21/2023283直线、平面均为一般位置直线、平面均为一般位置bm c b a acnnm2 1 kk 直线与平面相交直线与平面相交辅助平面法求辅助平面法求一般一般位置直线位置直线与与一般一般位置位置平面平面交交线的线的步骤：步骤：PH12XO1、含已知直线作特殊位置辅助平面、含已知直线作特殊位置辅助平面（垂直面）

17、；（垂直面）；2、求辅助平面与已知平面的交线；、求辅助平面与已知平面的交线；3、求交线与已知直线的交点，该交、求交线与已知直线的交点，该交点即为所求；点即为所求；4、判别可见性。、判别可见性。343（4）1/21/202329小结本讲基本要求小结本讲基本要求直线与平面、平面与平面的相对位置：直线与平面、平面与平面的相对位置：（一）平行问题（一）平行问题 1 1熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；2 2熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。作图方法。（二）相交问题（二）相交问题 1 1熟练掌握特殊位置

18、直线、平面相交（其中直线或熟练掌握特殊位置直线、平面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性）交点的求法。平面的投影具有积聚性）交点的求法。2 2熟练掌握一般位置直线、熟练掌握一般位置直线、一般位置一般位置平面相交，求平面相交，求交点的方法。交点的方法。3 3熟练熟练掌握利用重影点判别投影可见性的方法。掌握利用重影点判别投影可见性的方法。1/21/2023301 12 2以铅垂面为辅助平面求线面交点以铅垂面为辅助平面求线面交点。P PH H1 1 步骤：步骤：1 1过过EFEF作铅垂平面作铅垂平面P P。2 2求求P P平面与平面与ABCABC的的交线交线。3 3求交线求交线与与EFEF的的交点交点K K。2 2 k kk k XO1/21/2023311 1 2 2 以正垂面为辅助平面求线面交点以正垂面为辅助平面求线面交点Q QV V2 21 1k kk k 步骤：步骤：1 1过过EFEF作正作正垂平面垂平面Q Q。2 2求求Q Q平面与平面与ABCABC的交线的交线。3 3求交线求交线与与EFEF的交的交点点K K。XO1/21/202332