第四章态和力学量的表象12精选文档.ppt

《第四章态和力学量的表象12精选文档.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第四章态和力学量的表象12精选文档.ppt（52页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第四章态和力学量的表象12本讲稿第一页，共五十二页1 1 态的表象态的表象到目前为止，体系的状态基本上都用到目前为止，体系的状态基本上都用坐标坐标(x,y,z)(x,y,z)的函数表示，也就是说的函数表示，也就是说描写状态的波函数是坐标的函数。力学量则用作用于坐标函数的算符描写状态的波函数是坐标的函数。力学量则用作用于坐标函数的算符表示。但是这种描述方式在量子力学中并表示。但是这种描述方式在量子力学中并不是唯一的不是唯一的，这正如几何，这正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但它们对空间的描写是完

2、全是等价的。系、柱坐标系等，但它们对空间的描写是完全是等价的。波函数波函数也可以选用其它变量也可以选用其它变量的函数，力学量则相应的表示为作用于的函数，力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。这种函数上的算符。表象：量子力学中态函数（波函数）和力学量算符的表象：量子力学中态函数（波函数）和力学量算符的具体表示方具体表示方式式称为表象。以前采用的是称为表象。以前采用的是坐标表象坐标表象，下面我们要介绍其他表象。，下面我们要介绍其他表象。本讲稿第二页，共五十二页在坐标表象中，体系的状态用波函数在坐标表象中，体系的状态用波函数(x,t)(x,t)描写，这样一个态如何用动量为描写，这样一个态如何用

3、动量为变量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍。变量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍。动量本征函数：动量本征函数：组成完备系，任一状态组成完备系，任一状态可按其展开可按其展开展开系数展开系数（一）动量表象（一）动量表象假设假设(x,t)(x,t)是归一化波函数，则是归一化波函数，则 C(p,t)C(p,t)也是归一化。也是归一化。本讲稿第三页，共五十二页C(p,t)C(p,t)物理意义物理意义(x,t)(x,t)与与 C(p,t)C(p,t)一一 一一 对应，描述同一状态。对应，描述同一状态。(x,t)(x,t)是该状是该状态态在坐标表象中的波函数在坐标表象中的波函数；而而 C(p,t)C

4、(p,t)就是该状态在动量表象中的波就是该状态在动量表象中的波函数。函数。|(x,t)|(x,t)|2 2dx dx 是在是在(x,t)(x,t)所描写的状态中，测量粒子的位所描写的状态中，测量粒子的位置所得结果在置所得结果在 x x+d x x x+d x 范围内的几率。范围内的几率。|C(p,t)|C(p,t)|2 2 d p d p 是在是在(x,t)(x,t)所描写的状态中，测量粒子的所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果在动量所得结果在 p p+d p p p+d p 范围内的几率。范围内的几率。本讲稿第四页，共五十二页若若(x,t)(x,t)描写的态是具有确定动量描写的态是具有确定

5、动量 的自由粒子状态，即的自由粒子状态，即平面波：平面波：则相应动量表象中的波函数：则相应动量表象中的波函数：所以，在动量表象中，具有确定动量所以，在动量表象中，具有确定动量 的粒子的波函数是以动的粒子的波函数是以动量量 p p为变量的为变量的函数函数。换言之，换言之，动量本征函数动量本征函数在在自身表象自身表象中是中是一一 个个函数。函数。展开式展开式同理，坐标本征函数在自身表象下其实就是同理，坐标本征函数在自身表象下其实就是函数函数 这这可以有如下的本征值方程来证明：可以有如下的本征值方程来证明：本讲稿第五页，共五十二页（二）力学量表象（二）力学量表象推广上述讨论：推广上述讨论：x,px,

6、p都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象，都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象，因此可以对任何力学量因此可以对任何力学量Q Q都建立一种表象，称为力学量都建立一种表象，称为力学量 Q Q 表象。表象。那末，在任一力学量那末，在任一力学量Q Q表象中，表象中，(x,t)(x,t)所描写的态又如何表所描写的态又如何表示呢？示呢？我们将提出问题我们将提出问题根据量子力学基本假定，当粒子处于状态根据量子力学基本假定，当粒子处于状态 时，坐时，坐标位置确定，为标位置确定，为其实这个问题，自上一章讨论波函数展开系数的物理意义时已经有所提及。其实这个问题，自上一章讨论波函数展开系数的物理意义时已经有所

7、提及。本讲稿第六页，共五十二页我们将分两种情况回答这个问题我们将分两种情况回答这个问题（1 1）具有分立本征值的情况）具有分立本征值的情况 （2 2）含有连续本征值情况）含有连续本征值情况设算符设算符Q Q的本征值为：的本征值为：Q Q1 1，Q Q2 2,.,Q,.,Q，.，相应本征函数为：，相应本征函数为：u u1 1(x),u(x),u2 2(x),.,u(x),.,un n(x),.(x),.。将将(x,t)(x,t)按按Q的本征函数展开：的本征函数展开：若若,u un n都是归一化的，则都是归一化的，则 an n(t)(t)也是归一化的。也是归一化的。（1 1）分立谱情况）分立谱情况

8、本讲稿第七页，共五十二页证：证：a1(t),a2(t),.,an(t),.就就是是(x,t)(x,t)所所描描写写状状态态在在Q Q表表象象中中的的表表示。示。由此可知，由此可知，|an n|2 2表示在表示在(x,t)(x,t)所描述的状态中测量所描述的状态中测量Q Q得到本征值得到本征值Q Qn n的几的几率。率。本讲稿第八页，共五十二页转置共轭矩阵转置共轭矩阵归一化可写为归一化可写为写成矩阵形式写成矩阵形式注意：注意：这里的这里的 是列矩阵，不是函数是列矩阵，不是函数本讲稿第九页，共五十二页同样若同样若 ,都是归一化的，则都是归一化的，则 也是归一化的。也是归一化的。关于这个结论的证明见

9、上一章的讲义。关于这个结论的证明见上一章的讲义。（2 2）只含有连续本征值情况）只含有连续本征值情况假如力学量假如力学量Q的本征值谱只包含连续谱，本征值为的本征值谱只包含连续谱，本征值为q，对应本征，对应本征函数为函数为则任意波函数按则任意波函数按Q的本征函数展开为的本征函数展开为根据上一章量子力学基本假定，根据上一章量子力学基本假定，|a|aq q(t)|(t)|2 2dq dq 是在是在(x,t)(x,t)描述的态中测描述的态中测量力学量量力学量Q所得结果在所得结果在qq+dqqq+dq之间的概率。之间的概率。即即展开系数展开系数本讲稿第十页，共五十二页我们也可以同刚才一样把状态写成是列矩

10、阵的形式，即我们也可以同刚才一样把状态写成是列矩阵的形式，即此时转置共轭矩阵为此时转置共轭矩阵为此时归一化式也可以写成为矩阵相乘的形式此时归一化式也可以写成为矩阵相乘的形式注意：这里注意：这里 被视为列矩阵中的一个元素被视为列矩阵中的一个元素。只不过因为。只不过因为q q是连续是连续的，因此我们不能把每一项元素分开写成一个明显的列矩阵形式的，因此我们不能把每一项元素分开写成一个明显的列矩阵形式这是个元素不能分开的这是个元素不能分开的行行矩阵矩阵在在Q表象中，由表象中，由 描述的状态被表示为描述的状态被表示为例如动量表象下的波函数例如动量表象下的波函数c(p,t)就是这类表示，其实我们最常使就是

11、这类表示，其实我们最常使用的坐标表象下的波函数用的坐标表象下的波函数 也属于这类表示也属于这类表示本讲稿第十一页，共五十二页设力学量设力学量 Q Q 的本征值和本征函数分别为：的本征值和本征函数分别为：Q1,Q2,.,Qn,.,qu1(x),u2(x),.,un(x),.,uq(x)即本征值谱中既包含了分立部分，又包含有连续部分即本征值谱中既包含了分立部分，又包含有连续部分对应本征函数可记为对应本征函数可记为这时展开系数为：这时展开系数为：例如氢原子能量就是这样一种力学量，既有分立也有连续本征值。例如氢原子能量就是这样一种力学量，既有分立也有连续本征值。（3 3）既包含连续谱，又包含分立谱情况

12、）既包含连续谱，又包含分立谱情况同样若同样若 ,都是归一化的，则展开系数都是归一化的，则展开系数 也也是归一化的。是归一化的。本讲稿第十二页，共五十二页|a|an n(t)|(t)|2 2 是在是在(x,t)(x,t)态中测量力学量态中测量力学量Q Q所得所得结果为结果为Q Qn n 的几率；的几率；|a|aq q(t)|(t)|2 2dq dq 是在是在(x,t)(x,t)态中态中 测量力学量测量力学量Q Q所得结果在所得结果在qq+dqqq+dq之间的几率。之间的几率。我们仍可以用一个列矩阵表示：我们仍可以用一个列矩阵表示：归一化仍可表为：归一化仍可表为：注意在连续谱注意在连续谱部分使用了

13、积部分使用了积分分在在Q表象下，由表象下，由 描述的状态被表示为描述的状态被表示为本讲稿第十三页，共五十二页状态状态归一化归一化坐标表象坐标表象函数形式函数形式 矩阵形式矩阵形式 连续元列矩阵连续元列矩阵动量表象动量表象函数形式函数形式矩阵形式矩阵形式 连续元列矩阵连续元列矩阵Q表表象象连续连续谱谱函数形式函数形式矩阵形式矩阵形式 连续元列矩阵连续元列矩阵分立分立谱谱数列形式数列形式a1(t),a2(t),.,an(t),.矩矩阵阵形形式式本讲稿第十四页，共五十二页状态状态归一化归一化Q表表象象分分立立谱谱和和连连续续谱谱函数（数函数（数列形式）列形式）a1(t),a2(t),.,an(t),

14、.aq(t)矩阵形式矩阵形式这些列矩阵一般来说都是这些列矩阵一般来说都是无限行无限行的。本章我们统一使用的。本章我们统一使用列矩阵列矩阵形式的形式的波函数。波函数。本讲稿第十五页，共五十二页（三）讨论（三）讨论同一状态可以在不同表象用波函数描写，表象不同，波函数的形式也不同，同一状态可以在不同表象用波函数描写，表象不同，波函数的形式也不同，但是它们描写但是它们描写同一状态同一状态。动量本征方程动量本征方程动量本征函数动量本征函数动量本征函数动量本征函数动量表象动量表象坐标表象坐标表象由该表还可以看到在两种表象中动量本征方程的由该表还可以看到在两种表象中动量本征方程的形式形式完全完全类似，类似，

15、在本在本章第二三节我们将看到前面章节中所提及的章第二三节我们将看到前面章节中所提及的所有所有方程方程 公式（包括薛公式（包括薛定谔方程和各种力学量算符的本征方程）的定谔方程和各种力学量算符的本征方程）的形式形式在不同表象中都是在不同表象中都是类似类似的。的。区别在于方程里面的区别在于方程里面的波函数要写成各自表象下的波函数波函数要写成各自表象下的波函数，算符要写成算符要写成各自表象下的算符。各自表象下的算符。关于这一点将在下面两节阐明。关于这一点将在下面两节阐明。本讲稿第十六页，共五十二页这类似于一个矢量可以在不同坐标系描写一样。矢量这类似于一个矢量可以在不同坐标系描写一样。矢量A A在直角在

16、直角坐标系由坐标系由 三分量描述；在球坐标系用三分量描述；在球坐标系用 三个分量描述。三个分量描述。和和 形式不同，形式不同，但描写同一但描写同一矢量矢量A A。列矩阵记法列矩阵记法是三个方向的单位矢量，被称为是三个方向的单位矢量，被称为基本矢量基本矢量，简称，简称基矢基矢是矢量是矢量A在三个方向上的分量在三个方向上的分量类类 比比状态被算符状态被算符Q Q正交归一函数系正交归一函数系 展展开开Q表象表象下的列下的列矩阵表矩阵表示形式示形式本讲稿第十七页，共五十二页所以我们可以把状态所以我们可以把状态类比成一个矢量类比成一个矢量态矢量态矢量。选取一个特定。选取一个特定力学量力学量 Q 表象表象

17、，相当于选取，相当于选取特定的坐标系特定的坐标系。算符算符Q 的正交归一本征函数系的正交归一本征函数系 u u1 1(x),u(x),u2 2(x),.,u(x),.,un n(x),.u(x),.uq q(x)(x)是是Q Q表表象象下的下的基本矢量基本矢量简称简称基矢基矢。a1(t),a2(t),.,an(t),.aq(t)是是 Q 表象表象 的态矢量沿各基矢方向的态矢量沿各基矢方向的分量。的分量。Q表象的基矢有表象的基矢有无限多个无限多个，所以态矢量所在的空间是一，所以态矢量所在的空间是一个无限维的抽象的个无限维的抽象的函数空间函数空间，称为称为Hilbert空间。空间。状态状态在在Q表

18、象下的形式叫做表象下的形式叫做Q表象下的波函数表象下的波函数本讲稿第十八页，共五十二页前面所提的前面所提的Q只是指一个力学量，只是指一个力学量，事实上它也可以是一组力学量。事实上它也可以是一组力学量。如果力学量如果力学量F，G拥有共同的完备的本征函数拥有共同的完备的本征函数uun n(x),n=1,2,3(x),n=1,2,3，则任意波函数则任意波函数 可以被其展开为可以被其展开为我们同样可以把系数写为列矩阵形式我们同样可以把系数写为列矩阵形式被称为状态被称为状态 在在F，G的的共同表象下共同表象下的表示的表示本讲稿第十九页，共五十二页例：例：本征函数本征函数 um(x)在在A A表象中的矩阵

19、表示。表象中的矩阵表示。同样将同样将 um(x)按按 的本征函数展开的本征函数展开：显然：显然：所以所以 um(x)在在A表象中的矩阵表示如下：表象中的矩阵表示如下：本讲稿第二十页，共五十二页证明:假设假设(x,t)(x,t)是归一化波函数，则是归一化波函数，则 C(p,t)C(p,t)也是归一。也是归一。作作 业业本讲稿第二十一页，共五十二页 算符的矩阵表示算符的矩阵表示在上一节，我们统一使用在上一节，我们统一使用列矩阵列矩阵来表示来表示同一个同一个状态在不状态在不同表象下的形式。归一化公式被统一的写成矩阵相乘的同表象下的形式。归一化公式被统一的写成矩阵相乘的形式。下面我们将使用形式。下面我

20、们将使用矩阵矩阵表示表示同一个同一个算符在不同表象算符在不同表象下的形式。下的形式。本讲稿第二十二页，共五十二页以下是一个坐标表象形式下的方程：以下是一个坐标表象形式下的方程：假设假设Q只有分立本征值，将只有分立本征值，将,按按Q的正交归一本征函数系的正交归一本征函数系un(x)展展开：开：（一）力学量算符的矩阵表示（一）力学量算符的矩阵表示两边左乘两边左乘下面我们来看这个方程在下面我们来看这个方程在Q表象下的形式表象下的形式把展开式代入上面的方程把展开式代入上面的方程本讲稿第二十三页，共五十二页设设可得可得两边对空间坐标取积分两边对空间坐标取积分参照矩阵乘法的定义式，这个关系式可以写成如下的

21、矩阵形式参照矩阵乘法的定义式，这个关系式可以写成如下的矩阵形式本讲稿第二十四页，共五十二页对照原来对照原来的方程的方程上面的矩阵形式是从下面的方程推导出来的，因此只要下面的方程成立，上面的矩阵形式是从下面的方程推导出来的，因此只要下面的方程成立，则这个矩阵等式必然成立。当然上面的矩阵等式成立的话，下面的方程也则这个矩阵等式必然成立。当然上面的矩阵等式成立的话，下面的方程也成立。因此上下两个关系是成立。因此上下两个关系是等价等价的。而且很容易看出这两个等式具有的。而且很容易看出这两个等式具有非常明显的非常明显的对应性对应性。因此上面的矩阵等式可以看成是下面方程在因此上面的矩阵等式可以看成是下面方

22、程在Q表象下的形式表象下的形式状态状态 在不在不同表象下的同表象下的表示表示状态状态 在不同在不同表象下表象下的形式的形式本讲稿第二十五页，共五十二页以上式子可以以上式子可以简写成简写成=F矩阵矩阵称为是算符称为是算符 在在Q表象下表象下的表示的表示 注意矩阵元素的计算公式注意矩阵元素的计算公式状态状态在在Q表象下的表象下的列矩阵列矩阵表示表示状态状态在在Q表象下的表象下的列矩阵列矩阵表示表示算符算符 在在Q表象表象下的下的方阵方阵表示表示本讲稿第二十六页，共五十二页（二）（二）Q表象中力学量算符表象中力学量算符 F F 的性质的性质F F矩阵矩阵m m行行n n列元列元素的共轭素的共轭F F

23、转置矩阵转置矩阵n n行行m m列列元素的共轭元素的共轭这里的矩阵这里的矩阵 叫做矩阵叫做矩阵F F的共轭的共轭矩阵。它被定义为矩阵。它被定义为矩阵矩阵F F转置之后再转置之后再取共轭取共轭下面我们要探讨力学量算符下面我们要探讨力学量算符 在在Q表象下的矩阵表象下的矩阵F有什么性质有什么性质算符算符 是是厄米算符厄米算符由此可知，矩阵由此可知，矩阵F F与它的共轭矩阵相等，这样的矩阵叫做厄米与它的共轭矩阵相等，这样的矩阵叫做厄米矩阵。因此，力学量算符矩阵。因此，力学量算符 在在Q Q表象下的矩阵是厄米矩阵。表象下的矩阵是厄米矩阵。本讲稿第二十七页，共五十二页力学量算符在自身表象中的形式力学量算

24、符在自身表象中的形式结论：结论：算符在自身表象中是一对角矩阵，对角元素就是算符的本征值。算符在自身表象中是一对角矩阵，对角元素就是算符的本征值。由矩阵元公式，我们可按如下方式得到算符由矩阵元公式，我们可按如下方式得到算符 在在Q表象下的表象下的矩阵形式。注意：这时候矩阵形式。注意：这时候本讲稿第二十八页，共五十二页下面我们验证一下这两个矩阵是厄密矩阵。下面我们验证一下这两个矩阵是厄密矩阵。例：我们已经知道例：我们已经知道 L Lx x,L,Ly y在在 L L2 2,L,Lz z共同表象中具有如下的矩阵形共同表象中具有如下的矩阵形式（我们只考虑式（我们只考虑 l=1=1的情况，即的情况，即L

25、L2 2具有确定值具有确定值 此时此时L2,Lz 共同本征函数只有共同本征函数只有Y10，Y1-1，Y11，所有状态都可由这三个，所有状态都可由这三个状态展开）状态展开）本讲稿第二十九页，共五十二页由此我们证明了两个矩阵确实是厄密矩阵由此我们证明了两个矩阵确实是厄密矩阵本讲稿第三十页，共五十二页如果如果 Q只有连续本征值只有连续本征值q，上面的讨论仍然适用，只需将，上面的讨论仍然适用，只需将u,a,b的角标从可数的的角标从可数的 n,m 换成连续变化的换成连续变化的 q，求和换成积分，求和换成积分分立谱分立谱连续谱连续谱算符算符F在在Q表象仍是一个矩阵，矩阵元由下式确定：表象仍是一个矩阵，矩阵

26、元由下式确定：只是该矩阵的只是该矩阵的行列是不可数的行列是不可数的，而是用，而是用连续连续下标表示下标表示（三）（三）Q 有连续本征值的情况有连续本征值的情况本讲稿第三十一页，共五十二页例例:求坐标表象中算符求坐标表象中算符F F的矩阵元的矩阵元筛选性原理筛选性原理本讲稿第三十二页，共五十二页例：例：求动量表象中求动量表象中F F的矩阵元的矩阵元如果如果Q的本征值既包含分立谱又包含连续谱，则的本征值既包含分立谱又包含连续谱，则Q表象中任何表示算表象中任何表示算符的矩阵既包含可数的行列，又包含连续不可数的行列符的矩阵既包含可数的行列，又包含连续不可数的行列本讲稿第三十三页，共五十二页3 3 量子

27、力学公式的矩阵表述量子力学公式的矩阵表述为简化起见，本节我们只举为简化起见，本节我们只举Q的本征值只构成分立谱的例子，的本征值只构成分立谱的例子，其他一般情况结果类似。其他一般情况结果类似。本讲稿第三十四页，共五十二页坐标表象下的平均值公式坐标表象下的平均值公式现在我们想知道在现在我们想知道在Q表象中的平均值公式表象中的平均值公式我们知道任意波函数可被我们知道任意波函数可被Q Q的本征函数的本征函数 展开为如下形式：展开为如下形式：展开式展开式对应共轭式对应共轭式代入平均值公式代入平均值公式（一）平均值公式（一）平均值公式本讲稿第三十五页，共五十二页式右写成矩阵相乘形式式右写成矩阵相乘形式简写

28、成简写成坐标表象坐标表象Q表象表象本讲稿第三十六页，共五十二页坐标表象下的本征值方程坐标表象下的本征值方程在上一节我们已经知道，在在上一节我们已经知道，在Q表象中这类方程可直接写成矩阵的形式表象中这类方程可直接写成矩阵的形式（二）本征方程（二）本征方程把等号式子移到左边把等号式子移到左边本讲稿第三十七页，共五十二页本讲稿第三十八页，共五十二页以上等式其实是一个齐次线性方程组，未知数是以上等式其实是一个齐次线性方程组，未知数是a1,a2,a3,an,以上方程可以简写为以上方程可以简写为在坐标表象下求解本征值方程的问题在坐标表象下求解本征值方程的问题转换转换为在某个为在某个Q表象下求表象下求解解线

29、性方程组线性方程组的问题。只要未知数的问题。只要未知数a1,a2,a3,an,确定了，状确定了，状态也就确定了。态也就确定了。下面我们讨论一下这方程组的求解。下面我们讨论一下这方程组的求解。本讲稿第三十九页，共五十二页在线性代数中，我们已经知道如上方程组在线性代数中，我们已经知道如上方程组有非平庸解的条件有非平庸解的条件是方程组是方程组系数构成的系数构成的行列式行列式等于零等于零首先，这个方程组，肯定存在一组解。即首先，这个方程组，肯定存在一组解。即未知数全部为零未知数全部为零。这组解在线性代。这组解在线性代数中被称之为数中被称之为平庸解平庸解。在物理上，意味着波函数为常数零，这是没有意义的。

30、在物理上，意味着波函数为常数零，这是没有意义的。因此我们把注意力主要放在求因此我们把注意力主要放在求非平庸解非平庸解补充补充:行列式：行列式：设有一设有一方阵方阵B本讲稿第四十页，共五十二页行列式是一个行列式是一个多元函数多元函数，其自变量是方阵阵列中的，其自变量是方阵阵列中的所有所有元素。现在给元素。现在给出几个最简单行列式的求法出几个最简单行列式的求法如下记法称为方阵如下记法称为方阵B的行列式的行列式交叉乘再相减交叉乘再相减总之，行列式是方阵元素的总之，行列式是方阵元素的乘积和式乘积和式本讲稿第四十一页，共五十二页由于行列式是方阵各项的由于行列式是方阵各项的乘积和式乘积和式，因此如上的行列

31、式其实是一，因此如上的行列式其实是一个关于本征值个关于本征值 的的幂级数幂级数，即以上等式具有如下的形式，即以上等式具有如下的形式这是一个关于这是一个关于 （本征值）的高次线性方程，我们称为（本征值）的高次线性方程，我们称为久期方程久期方程。由于由于F Fmnmn都是确定的，因此以上行列式的取值由本征值的都是确定的，因此以上行列式的取值由本征值的 决定。要决定。要使行列式等于零，则必然要对使行列式等于零，则必然要对 的取值的取值有所限定有所限定。因此。因此为了使原来为了使原来的线性方程组具有非平庸解的线性方程组具有非平庸解，我们首先要找到满足如上等式的本征，我们首先要找到满足如上等式的本征值值

32、 。只要求出只要求出久期方程的根久期方程的根，我们就找到了符合如上行列式等式的，我们就找到了符合如上行列式等式的本征值本征值本讲稿第四十二页，共五十二页求解此久期方程得到一组求解此久期方程得到一组值：值：1 1,2 2,.,.,n n,.,.就是就是F F的本征值。的本征值。在这里我们看到了从另一个角度求解本征值的方法。再次在这里我们看到了从另一个角度求解本征值的方法。再次强调一下强调一下，这，这里求得的本征值与前面使用本征值方程求得的本征值是里求得的本征值与前面使用本征值方程求得的本征值是完全相同完全相同的。的。我们只不过是我们只不过是另一表象另一表象下求解相同的问题。下求解相同的问题。将求

33、得的求其方程的根将求得的求其方程的根 分别代入原齐分别代入原齐次线性方程组次线性方程组求解以上的方程组，我们就可以得到一求解以上的方程组，我们就可以得到一组解。即算符组解。即算符 在在Q表象下的本征矢量表象下的本征矢量本讲稿第四十三页，共五十二页本征值本征值坐标表象坐标表象本征方程本征方程Q表象表象本征代数方程组本征代数方程组求解微分方程求解微分方程求解线求解线性代数性代数方程组方程组久期久期方程方程波函数标波函数标准条件准条件本讲稿第四十四页，共五十二页此时此时m m只能取只能取-1-1，0 0，1 1。根据前面的例子，我们已经知道。根据前面的例子，我们已经知道L L2 2,L,Lz z的共

34、的共同本征函数只有同本征函数只有 Y Y1111,Y,Y1010,Y,Y1-11-1.在在 L L2 2,L,Lz z 的共同表象中的矩阵形式就特的共同表象中的矩阵形式就特别简单别简单。即可以记为：即可以记为：例：求例：求 L Lx x本征态在本征态在 L2,Lz共同共同表象中的矩阵表示，只讨论表象中的矩阵表示，只讨论(=1)=1)情况。情况。我们还知道我们还知道Lx在这个共同表象下的矩阵形式在这个共同表象下的矩阵形式本讲稿第四十五页，共五十二页因此在这个共同表象下，因此在这个共同表象下，L Lx x的本征方程为：的本征方程为：欲得欲得a1 1,a2 2,a3 3 有不全为零的解，必须要求系数

35、行列式等于零有不全为零的解，必须要求系数行列式等于零把等号左边的项移到右边把等号左边的项移到右边本讲稿第四十六页，共五十二页利用公式利用公式可以得到可以得到解得本征值解得本征值本讲稿第四十七页，共五十二页取取=代入本征方程得：代入本征方程得：我们可以通过归一化条件确定我们可以通过归一化条件确定 a2 2解得：解得：。则则 L Lx x 属于本征属于本征值值 的本征态可记为的本征态可记为：可以取实数得可以取实数得本讲稿第四十八页，共五十二页同理得另外两个本征值同理得另外两个本征值 分别代入本征方程，也可得分别代入本征方程，也可得到相应的本征函数到相应的本征函数=-=-，0 0本讲稿第四十九页，共五十二页左乘左乘 u um m*(t)*(t)对对 x x 整个空间积分整个空间积分按力学量算符按力学量算符 Q Q的本征函数展开的本征函数展开（三）（三）SchrodingerSchrodinger方程的矩阵形式方程的矩阵形式这里这里本讲稿第五十页，共五十二页 H H 都是矩阵都是矩阵简写简写本讲稿第五十一页，共五十二页作作 业业周世勋：量子力学教程 4.5本讲稿第五十二页，共五十二页