12(3)幂级数.ppt

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1、幂级数的运算幂级数的运算第三节第三节 幂幂 级级 数数幂级数及其收敛性幂级数及其收敛性函数项级数的概念函数项级数的概念1.定义定义如如则则函数项级数函数项级数.定义定义1 1一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念为定义在为定义在(a,b)内内的函数序列的函数序列,称为定义在称为定义在(a,b)内内的的此表达式究竟此表达式究竟是什么？是什么？2.收敛点与收敛域收敛点与收敛域收敛收敛(发散发散)则称则称x0为函数项级数为函数项级数的收敛点的收敛点(发散点发散点).函数项级数函数项级数所有所有收敛点收敛点(发散点发散点)称为其称为其收敛域收敛域(发散域发散域).定义定义2 2则上述函数项级数就成则

2、上述函数项级数就成数项数项级数级数如如,它的收敛域为它的收敛域为发散域为发散域为等比级数等比级数因为对任意的因为对任意的|x|1,总有总有收敛收敛注注函数项级数在某点函数项级数在某点x的收敛问题的收敛问题,实质上是实质上是数项级数数项级数 的收敛问题的收敛问题.3.和函数和函数在收敛域上，在收敛域上，函数项级数的和就是函数项级数的和就是x的函数的函数.因为对任意的因为对任意的|x|1,总有总有分析等比级数分析等比级数所以所以就是此级数的收敛域，就是此级数的收敛域，定义定义3 3为函数项级数为函数项级数则则s(x)称为函数项级数称为函数项级数和函数和函数.的前的前n项和序列项和序列,若若存在存在

3、,即即如如,它的收敛域为它的收敛域为发散域为发散域为等比级数等比级数因为对任意的因为对任意的|x|0,使得使得),2,1,0(|0L=nMxann),2,1,0(|0L=nMxann由由(1)结论结论,这与所设矛盾这与所设矛盾.使级数收敛使级数收敛,则级数则级数时应收敛时应收敛,而有一点而有一点x1适合适合(1)如果幂级数在如果幂级数在x=x0收敛，则在收敛，则在(-|x0|,|x0|)内内Abel定理指出：定理指出：收敛收敛(且绝对收敛！且绝对收敛！)。(2)如果幂级数在如果幂级数在x=x0发散，则在发散，则在-|x0|,|x0|外外的任意点发散。的任意点发散。对于对于(1),在在(-|x0

4、|,|x0|)外的点敛散性如何外的点敛散性如何？对于对于(2),在在(-|x0|,|x0|)内的点敛散性如何？内的点敛散性如何？能不能借助一个数轴理解以上结论？能不能借助一个数轴理解以上结论？问题：问题：推论推论也也不是在整个数轴上都收敛不是在整个数轴上都收敛,则则必有一个完全确必有一个完全确幂级数幂级数 绝对收敛绝对收敛;幂级数幂级数 发散发散.幂级数幂级数可能收敛也可能发散可能收敛也可能发散.几何说明几何说明收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域如果幂级数如果幂级数不是仅在不是仅在x=0一点收敛一点收敛,定的正数定的正数R存在存在,它具有下列性质它具有下列性质:正数正数R称为幂级

5、数的称为幂级数的开区间开区间规定规定问问:如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径?定义定义收敛半径收敛半径.收敛区间收敛区间.(1)若若幂级数只幂级数只在在x=0处收敛处收敛,则则收敛区间收敛区间(2)若若幂级数对一切幂级数对一切 x 都都收敛收敛,则则收敛区间收敛区间幂级数的收敛域幂级数的收敛域称为幂级数的称为幂级数的可能有四种情况：可能有四种情况：设设定理定理2 2 幂级数幂级数1.第第(2)(3)种情况可以广义的归结为第种情况可以广义的归结为第(1)情情况况注：注：证明过程课下练习。证明过程课下练习。2.利用根值审敛法，也可得到收敛半径公式。利用根值审敛法，也可得到收敛半径公式。例

6、例 求下列幂级数的求下列幂级数的收敛半径收敛半径与与收敛域收敛域:解解 求求收敛半径收敛半径与与收敛域收敛域:是收敛的交错级数是收敛的交错级数.是调和是调和级数级数,发散发散.故收敛域为故收敛域为解解 求求收敛半径收敛半径与与收敛域收敛域:或解或解收敛收敛发散发散故收敛半径为故收敛半径为2，收敛域为，收敛域为解解(-1,3.即收敛半径为即收敛半径为2 收敛区间收敛区间即即收敛收敛求求收敛半径收敛半径与与收敛域收敛域:解解是是缺奇次幂缺奇次幂的幂级数的幂级数.例例 求函数项级数求函数项级数 的收敛半径的收敛半径.所以所以时，原级数收敛。时，原级数收敛。即即比比值值审审敛敛法法不能使用定理不能使用

7、定理2！时，原级数发散。时，原级数发散。即即所以原级数的收敛半径为所以原级数的收敛半径为1.代数运算性质代数运算性质(1)加减法加减法(其中其中三、幂级数的性质三、幂级数的性质的收敛半径各为的收敛半径各为R1和和R2,(2)乘法乘法(其中其中(3)除法除法(相除后的收敛区间比原来相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多两级数的收敛区间小得多)总之总之：幂级数的四则运算可以象有限多项式那样进行，：幂级数的四则运算可以象有限多项式那样进行，但是加减和乘法仅仅在较小的收敛区间内成立，除法可但是加减和乘法仅仅在较小的收敛区间内成立，除法可能在更小的收敛区间内成立。能在更小的收敛区间内成立。2.和函

8、数的分析运算性质和函数的分析运算性质在其收敛域内，不仅其结果仍然是函数，在其收敛域内，不仅其结果仍然是函数，而且保持了连续性。而且保持了连续性。意义：意义：并有逐项积分公式并有逐项积分公式逐项积分之后的新级数的收敛半径不变。逐项积分之后的新级数的收敛半径不变。意义：意义：内可积，内可积，在收敛域在收敛域的和函数的和函数幂级数幂级数Ixsxannn)()2(0 =且且求导得到的新级数和原级数的收敛半径相同求导得到的新级数和原级数的收敛半径相同并并有有逐项求导逐项求导公式公式(3)幂级数幂级数的和函数的和函数s(x)在其收敛区在其收敛区间间(-R,R)可导，可导，意义：意义：例例解解(1)先求收敛

9、域先求收敛域发散发散收敛收敛故级数的故级数的收敛域收敛域为为即即和函数的定义域和函数的定义域！(2)求求和函数和函数s(x)设所求和函数为设所求和函数为s(x),有有逐项求导逐项求导即即逐项求积逐项求积由牛由牛 莱公式得莱公式得:从从0到到x积分积分即即因此因此,当当x=0时时,所以所以例例一般一般再对和函数积分再对和函数积分(求导求导),求出原级数的和函数求出原级数的和函数.求和函数的一般过程是求和函数的一般过程是:首先找收敛域首先找收敛域,再利用在收敛区间上幂级数和函数的性质可再利用在收敛区间上幂级数和函数的性质可逐项求导逐项求导(积分积分),求得新的幂级数和函数求得新的幂级数和函数;最后最后此过程中，会用到一些已知和函数的级数此过程中，会用到一些已知和函数的级数.常用已知和函数的幂级数常用已知和函数的幂级数(主要是等比级数主要是等比级数)例例(1)求收敛域：求收敛域：(2)求求和函数和函数s(x)：逐项积分：逐项积分：所以所以解：解：