第二章逻辑代数与硬件描述语言基础PPT讲稿.ppt

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1、第1页，共37页，编辑于2022年，星期二2.1 2.1 逻辑代数逻辑代数逻辑代数又称布尔代数，是英国数学家逻辑代数又称布尔代数，是英国数学家George.Boole在在1849年提年提出的。它是分析和设计现代数字逻辑电路不可缺少的数学工具，出的。它是分析和设计现代数字逻辑电路不可缺少的数学工具，逻辑代数有一系列的定律、定理和规则，用它们对数学表达式进逻辑代数有一系列的定律、定理和规则，用它们对数学表达式进行处理，可以完成对逻辑电路的化简、变换、分析和设计。行处理，可以完成对逻辑电路的化简、变换、分析和设计。2.1.1 2.1.1 2.1.1 2.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基

2、本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式2.1.2 2.1.2 2.1.2 2.1.2 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则2.1.3 2.1.3 2.1.3 2.1.3 逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法第2页，共37页，编辑于2022年，星期二2.1.1 2.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式基基 本本 公公 式式 第3页，共37页，编辑于2022年，星期二例：证明吸收律例：证明吸收律（1 1）用简单的公式证明略为复杂的公式。）用简单的公式证明略为复杂的公式

3、。公式的证明方法公式的证明方法第4页，共37页，编辑于2022年，星期二例例:用真值表证明反演律：用真值表证明反演律：（2 2）用真值表证明，即检验等式两边函数的真值表是否一致。）用真值表证明，即检验等式两边函数的真值表是否一致。第5页，共37页，编辑于2022年，星期二1 1代入规则代入规则基本内容：对于任何一个逻辑等式，以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等式两端任何对于任何一个逻辑等式，以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等式两端任何一个逻辑变量后，等式依然成立。一个逻辑变量后，等式依然成立。例如：在反演律中用例如：在反演律中用BC去代替等式中的去代替等式中的B，则新的等式仍成立：则新的等式仍成

4、立：2.2.对偶规则对偶规则将一个逻辑函数将一个逻辑函数 L 进行下列变换：进行下列变换：，0 1 ，1 0所得新函数表达式叫做所得新函数表达式叫做 L 的的对偶式对偶式，用，用 表示。表示。2.1.2 2.1.2 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则第6页，共37页，编辑于2022年，星期二对偶规则的基本内容：对偶规则的基本内容：如果两个逻辑函数表达式相等，那么它们的对偶式也一定相等。如果两个逻辑函数表达式相等，那么它们的对偶式也一定相等。基本公式中的公式基本公式中的公式 l 和公式和公式 2 就互为对偶就互为对偶 式。式。第7页，共37页，编辑于2022年，星期二3 3反演规则反演规则将一

5、个逻辑函数将一个逻辑函数 L 进行下列变换：进行下列变换：，；0 1 ，1 0；原变量原变量 反变量，反变量反变量，反变量 原变量。原变量。所得新函数表达式叫做所得新函数表达式叫做 L 的的反函数反函数，用，用 表示。表示。利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数。利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数。例：求以下函数的反函数。例：求以下函数的反函数。在应用反演规则求反函数时要注意以下两点：在应用反演规则求反函数时要注意以下两点：（1 1）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明，如例）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明，如例(1)(1)。（2 2）变换中，几个变量（一

6、个以上）的公共非号保持不变，如例）变换中，几个变量（一个以上）的公共非号保持不变，如例(2)(2)。第8页，共37页，编辑于2022年，星期二1 1逻辑函数式的常见形式逻辑函数式的常见形式 与与或式或式或或与式与式与非与非与非式与非式或非或非或非式或非式与与或非式或非式逻辑函数变换与化简的目的逻辑函数变换与化简的目的：用电路实现逻辑函数时，使用器件个数最少，种类最少，：用电路实现逻辑函数时，使用器件个数最少，种类最少，输入端子数最少。输入端子数最少。逻辑函数的最逻辑函数的最基本形式基本形式最简与最简与或表达式的标准：或表达式的标准：1）与项最少，即表达式中）与项最少，即表达式中“+”号最少。号

7、最少。2）每每个个与与项项中中的的变变量量数数最最少少，即即表表达式中达式中“”号最少。号最少。2.1.3 2.1.3 逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法第9页，共37页，编辑于2022年，星期二2 2逻辑函数的代数法化简逻辑函数的代数法化简 （1）并项法）并项法运用公式运用公式 ，将两项合并为一项，消去一个变量。，将两项合并为一项，消去一个变量。（2）吸收法）吸收法运用吸收律运用吸收律 A+AB=A，消去多余的与项。，消去多余的与项。第10页，共37页，编辑于2022年，星期二运用吸收律运用吸收律 消去多余的因子。消去多余的因子。（3）消去法消去法（4）配项法配项法 先通过乘以先通过乘

8、以 （=1）或加上）或加上 （=0），增加必要的乘积项，），增加必要的乘积项，再用以上方法化简。再用以上方法化简。在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻辑函数化为最简。在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻辑函数化为最简。第11页，共37页，编辑于2022年，星期二例：化简逻辑函数例：化简逻辑函数:（利用（利用A+AB=A）（利用（利用 ）（利用（利用 ）解：解：第12页，共37页，编辑于2022年，星期二例：化简逻辑函数例：化简逻辑函数并用最少的与非门实现。并用最少的与非门实现。最简与或式最简与或式与非与非与非式与非式第13页，共37页，编辑于2022年，星期二第14页，共3

9、7页，编辑于2022年，星期二例：化简逻辑函数例：化简逻辑函数:（增加冗余项（增加冗余项 ）（消去（消去1个冗余项个冗余项 ）（消去（消去1个冗余项个冗余项 ）（消去（消去1个冗余项个冗余项 ）由上例可知，逻辑函数的化简结果不是唯一的。由上例可知，逻辑函数的化简结果不是唯一的。代数化简法的特点：代数化简法的特点：优点：是不受变量数目的限制。优点：是不受变量数目的限制。缺点：没有固定的步骤可循；需要熟练运用各种公式和定理；在化简一些较为复杂的逻缺点：没有固定的步骤可循；需要熟练运用各种公式和定理；在化简一些较为复杂的逻辑函数时还需要一定的技巧和经验；有时很难判定化简结果是否最简。辑函数时还需要一

10、定的技巧和经验；有时很难判定化简结果是否最简。第15页，共37页，编辑于2022年，星期二2.2.1 2.2.1 最小项的定义与性质最小项的定义与性质n个变量的逻辑函数中，包含全部变量的乘积项称为个变量的逻辑函数中，包含全部变量的乘积项称为最小项最小项。n变量逻辑函数的变量逻辑函数的全部最小项共有全部最小项共有2n个。个。1.1.最小项的定义最小项的定义如三变量逻辑函数如三变量逻辑函数 L=f（A，B，C）的最小项共有）的最小项共有23=8个。个。2.2 2.2 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法第16页，共37页，编辑于2022年，星期二2 2最小项的基本性质最小项的基本性质以三变

11、量为例说明最小项的性质。以三变量为例说明最小项的性质。（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而其余各种变，而其余各种变量取值均使它的值为量取值均使它的值为0。第17页，共37页，编辑于2022年，星期二（2）不同的最小项，使它的值为）不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。的那组变量取值也不同。（3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。（4）对于变量的任一组取值，全体最小项的和为）对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。第18页，共37页，编辑于2022年，星期

12、二2.2.2 2.2.2 逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式任何一个逻辑函数表达式都可以转换为一组最小项之和，称为任何一个逻辑函数表达式都可以转换为一组最小项之和，称为最小项表达最小项表达式。式。例：将以下逻辑函数转换成最小项表达式例：将以下逻辑函数转换成最小项表达式为了简化，也可用最小项下标编号来表示最小项，故上式也可写为为了简化，也可用最小项下标编号来表示最小项，故上式也可写为 L（A，B，C）=m（1，3，6，7）第19页，共37页，编辑于2022年，星期二要把非要把非“与与或表达式或表达式”的逻辑函数变换成最小项表达式，应先将其变的逻辑函数变换成最小项表达式，应先将其变成成“

13、与与或表达式或表达式”再转换。式中有很长的非号时，先把非号去掉。再转换。式中有很长的非号时，先把非号去掉。=m7+m6+m3+m5=m（3，5，6，7）例：例：第20页，共37页，编辑于2022年，星期二2.2.3 2.2.3 卡诺图卡诺图1 1相邻最小项相邻最小项如果两个最小项中只有一个变量不同，则称这两个最小项为逻辑相如果两个最小项中只有一个变量不同，则称这两个最小项为逻辑相邻，简称邻，简称相邻项相邻项。如果两个相邻最小项出现在同一个逻辑函数中，可以合并为一项，同时消去如果两个相邻最小项出现在同一个逻辑函数中，可以合并为一项，同时消去互为反变量的那个量。互为反变量的那个量。第21页，共37

14、页，编辑于2022年，星期二2 2卡诺图卡诺图用小方格来表示最小项，一个小方格代表一个最小项，然后将这些用小方格来表示最小项，一个小方格代表一个最小项，然后将这些最小项按照相邻性排列起来。即用小方格几何位置上的相邻性来表示最最小项按照相邻性排列起来。即用小方格几何位置上的相邻性来表示最小项逻辑上的相邻性。小项逻辑上的相邻性。（1）二变量卡诺图）二变量卡诺图（2）三变量卡诺图）三变量卡诺图 第22页，共37页，编辑于2022年，星期二（3）四变量卡诺图）四变量卡诺图 仔细观察可以发现，仔细观察可以发现，卡诺图具有很强的相邻性卡诺图具有很强的相邻性：1）直观相邻性直观相邻性，只要小方格在几何位置上

15、相邻（不管上下左右），它代表的最小，只要小方格在几何位置上相邻（不管上下左右），它代表的最小项在逻辑上一定是相邻的。项在逻辑上一定是相邻的。2）对边相邻性对边相邻性，即与中心轴对称的左右两边和上下两边的小方格也具有相邻性，即与中心轴对称的左右两边和上下两边的小方格也具有相邻性。第23页，共37页，编辑于2022年，星期二2.2.42.2.4用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数 1 1从真值表到卡诺图从真值表到卡诺图 例：例：某逻辑函数的真值表如表所示，用卡诺图表示该逻辑函数。某逻辑函数的真值表如表所示，用卡诺图表示该逻辑函数。解：解：该函数为三变量，先画出三变量卡诺图，然后根据表该函数为三

16、变量，先画出三变量卡诺图，然后根据表3将将8个最小个最小项项L的取值的取值0或者或者1填入卡诺图中对应的填入卡诺图中对应的8个小方格中即可，如图所示。个小方格中即可，如图所示。第24页，共37页，编辑于2022年，星期二2 2从逻辑表达式到卡诺图从逻辑表达式到卡诺图 （1）如果逻辑表达式为最小项表达式，则只要将函数式中出现的）如果逻辑表达式为最小项表达式，则只要将函数式中出现的最小项在卡诺图对应的小方格中填入最小项在卡诺图对应的小方格中填入1，没出现的最小项则在，没出现的最小项则在卡诺图对应的小方格中填入卡诺图对应的小方格中填入0。例：例：用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数 解：写成简化

17、形式：解：写成简化形式：然后填入卡诺图：然后填入卡诺图：第25页，共37页，编辑于2022年，星期二（2）如果逻辑表达式不是最小项表达式，但是）如果逻辑表达式不是最小项表达式，但是“与与或表达式或表达式”，可将其先化成最小项，可将其先化成最小项表达式，再填入卡诺图。也可直接填入，直接填入的具体方法是：分别找出每一个表达式，再填入卡诺图。也可直接填入，直接填入的具体方法是：分别找出每一个与项所包含的所有小方格，全部填入与项所包含的所有小方格，全部填入1。例：用卡诺图表示逻辑函数例：用卡诺图表示逻辑函数解：直接填入解：直接填入第26页，共37页，编辑于2022年，星期二2.2.5 2.2.5 逻辑

18、函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法 1 1卡诺图化简逻辑函数的原理卡诺图化简逻辑函数的原理 （1）2个相邻的最小项结合（用一个包围圈表示），可以消去个相邻的最小项结合（用一个包围圈表示），可以消去1取值不取值不同的个变量，如图所示。同的个变量，如图所示。第27页，共37页，编辑于2022年，星期二（2）4个相邻的最小项结合，可以消去个相邻的最小项结合，可以消去2个取值不同的变量，如图。个取值不同的变量，如图。（3）同理：）同理：8个相邻的最小项结合，可以消去个相邻的最小项结合，可以消去3个取值不同的变量；个取值不同的变量；16个相邻的个相邻的最小项结合，可以消去最小项结合，可以消去4个取

19、值不同的变量。个取值不同的变量。总之，总之，2n个相邻的最小项结合，可以消去个相邻的最小项结合，可以消去n个取值不同的变量。个取值不同的变量。第28页，共37页，编辑于2022年，星期二2 2卡诺图化简逻辑函数的步骤卡诺图化简逻辑函数的步骤 例：用卡诺图化简逻辑函数例：用卡诺图化简逻辑函数 将逻辑函数化为最小项表达式；将逻辑函数化为最小项表达式；根据最小项表达式（或真值表）根据最小项表达式（或真值表）填卡洛图，凡式中包含的最小项，填卡洛图，凡式中包含的最小项，其对应方格填其对应方格填1，其余方格填，其余方格填0；步步 骤骤第29页，共37页，编辑于2022年，星期二 合并最小项合并最小项(画圈

20、画圈)原则原则：保持相邻性；保持相邻性；u 上下上下;左右相邻左右相邻u 最上行与最下行相邻最上行与最下行相邻u 最左行与最右行相邻最左行与最右行相邻u 4角相邻角相邻 相邻格被包围数应为相邻格被包围数应为2n个个(n为正整数为正整数)；每个圈方格数尽量多；每个圈方格数尽量多；方格可重复包围，但新圈需要有新格；方格可重复包围，但新圈需要有新格；写最简与或表达式：写最简与或表达式：L=B+CD。每一个圈写一个最简与项，规则是，取值为每一个圈写一个最简与项，规则是，取值为l的变量用原变量表示，取值为的变量用原变量表示，取值为0的变量的变量用反变量表示，将这些变量相与。然后将所有与项进行逻辑加，即得

21、用反变量表示，将这些变量相与。然后将所有与项进行逻辑加，即得最简与最简与或表或表达式达式。第30页，共37页，编辑于2022年，星期二例：用卡诺图化简逻辑函数例：用卡诺图化简逻辑函数 L（A,B,C,D）=m（0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15）解：（解：（1）由表达式填出卡诺图）由表达式填出卡诺图（2）画包围圈合并最小项，得简化）画包围圈合并最小项，得简化的与的与或表达式或表达式第31页，共37页，编辑于2022年，星期二 例：用卡诺图化简逻辑函数例：用卡诺图化简逻辑函数解：（解：（1）由表达式填出卡诺图）由表达式填出卡诺图（2）画包围圈合并最小项，得）画包围圈合并最小项，

22、得简化的与简化的与或表达式或表达式 第32页，共37页，编辑于2022年，星期二例：某逻辑函数的真值表如表所示，用卡诺图化简该逻辑函数。例：某逻辑函数的真值表如表所示，用卡诺图化简该逻辑函数。解：（解：（1）由真值表画出卡诺图；）由真值表画出卡诺图；（2）画包围圈合并最小项。）画包围圈合并最小项。通过这个例子可以看出，一个逻辑函数的真值表通过这个例子可以看出，一个逻辑函数的真值表是唯一的，卡诺图也是唯一的，但化简结果有时不是是唯一的，卡诺图也是唯一的，但化简结果有时不是唯一的唯一的。第33页，共37页，编辑于2022年，星期二3 3卡诺图化简逻辑函数的另一种方法（圈卡诺图化简逻辑函数的另一种方

23、法（圈0 0法）法）如果一个逻辑函数用卡诺图表示后，如果一个逻辑函数用卡诺图表示后，里面的里面的0很少且相邻性很强很少且相邻性很强，这时用，这时用圈圈0法更简便。但要注意，圈法更简便。但要注意，圈0后，应写出反函数，再取非，得原函数。后，应写出反函数，再取非，得原函数。例：例：已知逻辑函数的卡诺图如图，分别用已知逻辑函数的卡诺图如图，分别用“圈圈0法法”和和“圈圈1法法”化简。化简。第34页，共37页，编辑于2022年，星期二4 4具有无关项的逻辑函数的化简具有无关项的逻辑函数的化简（1）无关项定义无关项定义 例：在十字路口有红绿黄三色交通信号灯，规定例：在十字路口有红绿黄三色交通信号灯，规定

24、红灯停红灯停，绿灯行绿灯行，黄灯等一等黄灯等一等，试，试分析车行与三色信号灯之间逻辑关系。分析车行与三色信号灯之间逻辑关系。解：设红、绿、黄灯分别用解：设红、绿、黄灯分别用A、B、C表示，且灯亮为表示，且灯亮为1，灯灭为，灯灭为0。车用。车用L表示，车行表示，车行L=1，车停，车停L=0。列出该函数的真值表。列出该函数的真值表。显而易见，在这个函显而易见，在这个函数中，有数中，有5个最小项是不个最小项是不会出现的会出现的，因为一个正常，因为一个正常的交通灯系统不可能出现的交通灯系统不可能出现这些情况，如果出现了，这些情况，如果出现了，车可以行也可以停，即逻车可以行也可以停，即逻辑值任意。辑值任

25、意。在有些逻辑函数中，输入变量的某些取值组合不会出现，在有些逻辑函数中，输入变量的某些取值组合不会出现，或者一旦出现，逻辑值可以是任意的。这样的取值组合或者一旦出现，逻辑值可以是任意的。这样的取值组合所对应的最小项称为无关项、任意项或约束项，在卡诺所对应的最小项称为无关项、任意项或约束项，在卡诺图中用符号图中用符号来表示其逻辑值。来表示其逻辑值。带无关项的逻辑函数的最小项带无关项的逻辑函数的最小项表达式为：表达式为：L=m()+d()如本例如本例L=m(2)+d(0,3,5,6,7)第35页，共37页，编辑于2022年，星期二（2）具有无关项的逻辑函数的化简）具有无关项的逻辑函数的化简化简具有

26、无关项的逻辑函数时，要充分利用无关项可以当化简具有无关项的逻辑函数时，要充分利用无关项可以当0也可以当也可以当1的特点，的特点，尽量扩大卡诺圈，使逻辑函数更简。尽量扩大卡诺圈，使逻辑函数更简。卡诺图化简法的特点：优点是简单、直观，有一定的化简步骤可循，不易出错，且容卡诺图化简法的特点：优点是简单、直观，有一定的化简步骤可循，不易出错，且容易化到最简。但是在逻辑变量超过易化到最简。但是在逻辑变量超过5个时，就失去了简单、直观的优点，其实用意个时，就失去了简单、直观的优点，其实用意义大打折扣。义大打折扣。在考虑无关项时，哪些无关项当作在考虑无关项时，哪些无关项当作1，哪些无关项当作，哪些无关项当作0，要以尽量扩，要以尽量扩大卡诺圈、减少圈的个数，使逻辑函大卡诺圈、减少圈的个数，使逻辑函数更简为原则。数更简为原则。第36页，共37页，编辑于2022年，星期二2.3 2.3 硬件描述语言硬件描述语言VerilogHDLVerilogHDL基础基础第37页，共37页，编辑于2022年，星期二