D4_1.2正项级数的审敛准则.ppt

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1、目录 上页 下页 返回 结束 第一节第一节(2)(2)常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 1目录 上页 下页 返回 结束 1.21.2 正项级数的审敛准则正项级数的审敛准则若若定理定理 1.2 正项级数正项级数收敛收敛部分和数列部分和数列有界有界.若若收敛收敛,部分和数列部分和数列有界有界,故故从而从而又已知又已知故有界故有界.则称则称为为正项级数正项级数.单调递增单调递增,收敛收敛,也收敛也收敛.证证:“”“”特点特点:部分和单调增部分和单调增.2目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.3 (比较审敛法比较审敛法I)I)设设并且并且(1)若若则则(2)若若则则证证:收敛收敛,也收敛也收敛

2、;发散发散,也发散也发散.分别表示两个级数的部分和分别表示两个级数的部分和是两个是两个正项级数正项级数,证明的基本思路与无穷积分的比较准则证明的基本思路与无穷积分的比较准则I相同相同.由于由于(2)是是(1)的逆否命题，因此只证明的逆否命题，因此只证明(1)即即可可.根据根据定理定理1.2,级数级数必收敛必收敛.3目录 上页 下页 返回 结束 注注:根据性质根据性质1.2,定理定理1.3中的条件中的条件“”因为改变级数的有限项，不影响级数的敛散性因为改变级数的有限项，不影响级数的敛散性可以改为可以改为“”4目录 上页 下页 返回 结束 推论推论设设且存在且存在对一切对一切有有(1)若若强强级数

3、级数则则弱弱级数级数(2)若若弱弱级数级数则则强强级数级数收敛收敛,也收敛也收敛;发散发散,也发散也发散.是两个是两个正项级数正项级数,(常数常数 k 0),5目录 上页 下页 返回 结束 证明级数证明级数发散发散.证证:因为因为而级数而级数发散发散根据比较审敛法可知根据比较审敛法可知,所给级数发散所给级数发散.例例1.1.6目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.4 1.4(比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式)则有则有两个级数同时收敛或发散两个级数同时收敛或发散;(2)当当 l=0(3)当当 l=设两正项级数设两正项级数满足满足(1)当当 0 l 0下面证明下面证明,交错级数交错级数

4、易见上式右端的前易见上式右端的前n项之和就是级数项之和就是级数的敛散性的敛散性.时收敛时收敛,特别地特别地,当当p=1时时,级数也是收敛的级数也是收敛的.的和为的和为ln2,并估计用并估计用部分和近似代替级数和时所产生的余项误差部分和近似代替级数和时所产生的余项误差.的部分和的部分和并且并且24目录 上页 下页 返回 结束 Leibniz判别法判别法是判别交错级数收敛的充分条件是判别交错级数收敛的充分条件,故级数故级数的和的和很多的交错级数和变号级数不能用此法判别很多的交错级数和变号级数不能用此法判别.下面的下面的绝对收敛准则绝对收敛准则是更常用的一种判别法是更常用的一种判别法.25目录 上页

5、 下页 返回 结束 绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 定义定义:对任意的级数对任意的级数若若若原级数收敛若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散但取绝对值以后的级数发散,收敛收敛,数数为条件收敛为条件收敛.均为绝对收敛均为绝对收敛.例如例如：绝对收敛绝对收敛；则称原级则称原级数数条件收敛条件收敛.则称原级则称原级26目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.9 若级数若级数证证:因为因为根据级数的根据级数的Cauchy收敛原理收敛原理，收敛收敛.收敛收敛,收敛收敛,则级数则级数也收敛也收敛若级数绝对收敛，则必收敛若级数绝对收敛，则必收敛.27目录 上页 下页 返回 结束 例例7.7.证明下列

6、级数绝对收敛证明下列级数绝对收敛 :证证:(1)而而收敛收敛,收敛收敛因此因此绝对收敛绝对收敛.28目录 上页 下页 返回 结束(2)令令因此因此收敛收敛,绝对收敛绝对收敛.小结小结29目录 上页 下页 返回 结束 例例1.12 讨论级数的敛散性讨论级数的敛散性,若收敛若收敛,是否绝对收敛是否绝对收敛?证证:(1)而而收敛收敛,30目录 上页 下页 返回 结束 其和分别为其和分别为 绝对收敛级数的性质绝对收敛级数的性质 定理定理1.10 绝对收敛级数绝对收敛级数重排重排后仍绝对收敛后仍绝对收敛,而且和不变而且和不变.(P275 定理定理)(证明见证明见 P275P277)定理定理1.11.(绝

7、对收敛级数的乘法绝对收敛级数的乘法)则对所有乘积则对所有乘积 按按任意顺序任意顺序排列得到的级数排列得到的级数也绝对收敛也绝对收敛,设级数设级数与与都绝对收敛都绝对收敛,其和为其和为(P277 定理定理)说明说明:绝对收敛级数有类似绝对收敛级数有类似有限项和有限项和的性质的性质,但条件收敛级数不具有这两条性质但条件收敛级数不具有这两条性质.绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.31目录 上页 下页 返回 结束 THE END32目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结2.判别正项级数敛散性的方法与步骤判别正项级数敛散性的方法与步骤必要条

8、件必要条件不满足不满足发发 散散满足满足比值审敛法比值审敛法根值审敛法根值审敛法收收 敛敛发发 散散不定不定 比较审敛法比较审敛法用它法判别用它法判别积分判别法积分判别法部分和极限部分和极限33目录 上页 下页 返回 结束 3.3.任意项级数审敛法任意项级数审敛法为收敛级数为收敛级数Leibniz判别法判别法:则交错级数则交错级数收敛收敛概念概念:绝对收敛绝对收敛条件收敛条件收敛34目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习设正项级数设正项级数收敛收敛,能否推出能否推出收敛收敛?提示提示:由比较判敛法可知由比较判敛法可知收敛收敛.注意注意:反之不成立反之不成立.例如例如,收敛收敛,发散

9、发散.35目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1.判别级数的敛散性判别级数的敛散性:解解:(1)发散发散,故故原级数发散原级数发散.不是不是 p级数级数(2)发散发散,故原级数发散故原级数发散.36目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P266 1(1),(3),(5);2 (2),(3),(4);*3 (1),(2);4 (1),(3),(5),(6);5(2),(3),(5)第三节第三节 37目录 上页 下页 返回 结束 2.2.则则级数级数(A)发散发散;(B)绝对收敛绝对收敛;(C)条件收敛条件收敛;(D)收敛性根据条件不能确定收敛性根据条件不能确定.分析分析:(B)错错;又又C38