6系统的稳定性.ppt

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1、第六章系统的稳定性第六章系统的稳定性本章的主要内容本章的主要内容1.1.系统稳定性的定义和条件系统稳定性的定义和条件2.2.系统稳定判据系统稳定判据3.3.稳定性裕量稳定性裕量4.4.根轨迹根轨迹本章重点与难点本章重点与难点1.1.系统稳定的条件系统稳定的条件2.2.系统稳定判据系统稳定判据 6 61 1系统稳定的条件系统稳定的条件一稳定的概念和定义一稳定的概念和定义 图图1稳定平衡点稳定平衡点 图图2不不稳定平衡点稳定平衡点 图图3 3 稳定区域（条件稳定）稳定区域（条件稳定）所谓的稳定性是指系统在使它偏离平衡状态的干扰消除所谓的稳定性是指系统在使它偏离平衡状态的干扰消除之后，系统能以足够的

2、精度逐渐恢复到原来的状态。之后，系统能以足够的精度逐渐恢复到原来的状态。二系统稳定的条件二系统稳定的条件 系统的传递函数系统的传递函数 系统的特征方程系统的特征方程系统稳定的充要条件是：系统稳定的充要条件是：稳定系统的特征方程根必须全部具有负实部，稳定系统的特征方程根必须全部具有负实部，系统传递函数的极点全部位于系统传递函数的极点全部位于 复平面的左半部分。复平面的左半部分。一一般般情情况况下下，确确定定系系统统稳稳定定性性的的方方法法有有两两种：种：n1 1直直接接计计算算或或间间接接得得知知系系统统特特征征方方程程式的根式的根n2 2确确定定保保证证特特征征方方程程的的根根具具有有负负实实

3、部部的系统参数的区域的系统参数的区域62劳斯劳斯胡尔维茨稳定判据胡尔维茨稳定判据 一一.胡尔维茨稳定判据胡尔维茨稳定判据 系统的特征方程式系统的特征方程式首项系数首项系数系统稳定的充要条件是：系统稳定的充要条件是：1.1.系统特征方程式的各项系数全部为正值。系统特征方程式的各项系数全部为正值。即即 2.2.由各项系数组成的由各项系数组成的 阶行列式中各阶子行列式阶行列式中各阶子行列式 都大于零。都大于零。首首先先在在主主对对角角线线上上从从 开开始始依依次次写写进进特特征征方方程程的的系系数数，直直到到写写到到 为为止止，然然后后由由主主对对角角线线上上的的系系数数出出发发，写写出出每每一一列

4、列的的各各元元素素，每每列列元元素素由由上上到到下下按按 的的脚脚标标递递增增。当当写写到到特特征征方方程程中中不不存存在在的的系系数数时以零代替。时以零代替。例：系统的特征方程为例：系统的特征方程为 ，判断系统的稳定性判断系统的稳定性例：单位负反馈系统的开环传递函数，求使系统稳定的例：单位负反馈系统的开环传递函数，求使系统稳定的 值范围值范围 阶行列式是按下列规则建立的：阶行列式是按下列规则建立的：二二.劳斯判据劳斯判据 1.1.列出系统特征方程列出系统特征方程 其中其中 ，各项系数均为实数。检查各项系数是否都，各项系数均为实数。检查各项系数是否都大于零，若都大于零，则进行第二步。大于零，若

5、都大于零，则进行第二步。2.2.按系统的特征方程式列出劳斯表按系统的特征方程式列出劳斯表3 3考考察察表表中中第第一一列列各各数数的的符符号号，若若第第一一列列各各数数均均为为正正数数，系系统统稳稳定定，如如果果第第一一列列中中有有负负数数，系系统统不不稳稳定定，第第一一列列中中数数值值符符号号的的改改变变次次数数即即等于特征方程含有正实部根的数目。等于特征方程含有正实部根的数目。例：系统的特征方程为例：系统的特征方程为6 63 3奈氏稳定判据奈氏稳定判据系统的传递函数系统的传递函数 系统的特征方程系统的特征方程 令令函数函数 的零点数的零点数 ，极点数为，极点数为上述各函数零点与极点之间的对

6、应关系可示意如下上述各函数零点与极点之间的对应关系可示意如下Z Z闭环右极点个数，正整数或零闭环右极点个数，正整数或零P P开右极点个数，正整数或零开右极点个数，正整数或零N N 从从 时，时，封闭曲线在封闭曲线在 平面内包围平面内包围 点的次数。当按逆时针方向包围点的次数。当按逆时针方向包围 ，当按顺时针方向包围，当按顺时针方向包围 ，曲线不包围，曲线不包围点时点时我们可以根据上式，根据开环右极点数目和开环奈我们可以根据上式，根据开环右极点数目和开环奈氏曲线对氏曲线对 点的包围次数点的包围次数N N，来判断闭环右极来判断闭环右极点数点数Z Z是否等于零。若系统稳定，闭环不能有右极是否等于零。

7、若系统稳定，闭环不能有右极点，即必须使点，即必须使 ,也就是要求也就是要求 。由幅角定理可以证明由幅角定理可以证明应用奈氏判据判断系统稳定性的一般步骤如下：应用奈氏判据判断系统稳定性的一般步骤如下：1.1.根据开环传递函数确定根据开环传递函数确定P P2.2.绘绘制制 从从 时时开开环环频频率率特特性性，并并在在曲曲线线上标出上标出 从从 的方向。根据曲线包围的方向。根据曲线包围 点的次数和方向，求出点的次数和方向，求出N N的大小和正负的大小和正负3.3.运用判据运用判据 ，确定系统是否稳定，确定系统是否稳定如如果果刚刚好好通通过过 点点，系系统统处处于于临临界界稳稳定定状状态态，归入不稳定

8、情况。归入不稳定情况。二二.奈氏判据举例奈氏判据举例 1.1.开环传递函数中没有开环传递函数中没有 的极点的极点 例：单位负反馈系统的开环传递函数为例：单位负反馈系统的开环传递函数为 ，其中其中 判断系统的稳定性判断系统的稳定性例：2.2.开环传递函数中有开环传递函数中有 的极点的极点 6 64 4系统的相对稳定性系统的相对稳定性关于相位裕量和幅值裕量的一些说明关于相位裕量和幅值裕量的一些说明 1.1.控制系统的相位裕量和幅值裕量，是开环奈氏曲线对点控制系统的相位裕量和幅值裕量，是开环奈氏曲线对点靠近的度量，因此这两个裕量可以用作设计准则。靠近的度量，因此这两个裕量可以用作设计准则。2.2.为

9、了得到满意的性能，相位裕量为了得到满意的性能，相位裕量 应在应在 之间，幅值裕之间，幅值裕量量 应当大于应当大于3.3.对于最小相位系统，只有当相位裕量和幅值裕量都为正时，系对于最小相位系统，只有当相位裕量和幅值裕量都为正时，系统才是稳定的，为了确定系统的稳定性储量，必须同时考虑相位统才是稳定的，为了确定系统的稳定性储量，必须同时考虑相位裕量和幅值裕量两项指标，只用其中一项指标不足以说明系统的裕量和幅值裕量两项指标，只用其中一项指标不足以说明系统的相对稳定性。相对稳定性。4.4.对于最小相位系统，开环幅频和相频特性之间有确定的对应关对于最小相位系统，开环幅频和相频特性之间有确定的对应关系，系，

10、的相位裕量意味着在开环波德图上，对数幅频特性曲的相位裕量意味着在开环波德图上，对数幅频特性曲线线在在幅幅值值交交界界频频率率处处的的斜斜率率必必须须大大于于4040，在在大大多多数数实实际际系系统统中中，为了保证系统稳定，要求处的斜率为为了保证系统稳定，要求处的斜率为2020，如果处的斜率必须为，如果处的斜率必须为4040，系统即使稳定，相位裕量也较小，相对稳定性也是很差的。，系统即使稳定，相位裕量也较小，相对稳定性也是很差的。例：已知系统的开环传递函数，例：已知系统的开环传递函数，当当 时，时，求系统的相位裕量和幅值裕量。求系统的相位裕量和幅值裕量。6.5根轨迹简介根轨迹简介 一根轨迹一根轨

11、迹所谓的根轨迹是指开环系统某个参数由零变化到无穷所谓的根轨迹是指开环系统某个参数由零变化到无穷大时，闭环系统特征方程的根在大时，闭环系统特征方程的根在 平面上移动的平面上移动的轨迹。轨迹。根轨迹图表示了根轨迹图表示了 变化时闭环极点所有可能的分布情变化时闭环极点所有可能的分布情况，根轨迹作图法的思路是依据系统的开环与闭环传递况，根轨迹作图法的思路是依据系统的开环与闭环传递函数的确定关系，由开环的零极点来寻找闭环极点的轨函数的确定关系，由开环的零极点来寻找闭环极点的轨迹。迹。n例：已知单位负反馈系统的开环传递函例：已知单位负反馈系统的开环传递函数为数为n试分析该系统的特征方程的根随参数试分析该系

12、统的特征方程的根随参数K的的变化在变化在S平面上的分布情况平面上的分布情况二根轨迹作图方法二根轨迹作图方法n1绘制根轨迹的依据绘制根轨迹的依据n根轨迹的基本任务在于：由已知的开环根轨迹的基本任务在于：由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的办法找出闭环极点，解的办法找出闭环极点，K由零变到无穷由零变到无穷大时，闭环系统特征方程的根在大时，闭环系统特征方程的根在S平面上平面上运动的轨迹。因此，系统的特征方程便运动的轨迹。因此，系统的特征方程便是绘制根轨迹的依据。是绘制根轨迹的依据。系统的特征方程为系统的特征方程为2.绘制根轨迹的基本规则1.1.根轨迹是

13、连续的。根轨迹是连续的。2.2.根轨迹对称于根平面的实轴。根轨迹对称于根平面的实轴。3.3.根轨迹的起点、终点和条数根轨迹的起点、终点和条数根轨迹的条数为特征方程中根轨迹的条数为特征方程中 的最高次方的最高次方起点为开环极点，终点为开环零点。起点为开环极点，终点为开环零点。起点为开环极点，终点为开环零点起点为开环极点，终点为开环零点n当当 时，开环极点数与零点数相同时，时，开环极点数与零点数相同时，根轨迹的起点与终点均有确定的值。根轨迹的起点与终点均有确定的值。n当当 时，其中时，其中 条终止于个开环零点，条终止于个开环零点，另另 条终止于条终止于 平面无穷远处，平面无穷远处，n当当 时，其中

14、时，其中 条起始于个条起始于个 开环极开环极点，另点，另 条起始于条起始于 平面无穷远处，平面无穷远处，4.4.实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 由由位位于于实实轴轴上上的的开开环环零零点点、极极点点来来确确定定。其其存存在在的的条条件件是是：在在其其线线段段右右边边有有奇奇数数个个开开环环零零点和开环极点，点和开环极点，5.根轨迹的渐进线根轨迹的渐进线根轨迹趋向无穷远的渐根轨迹趋向无穷远的渐近线。近线。6.6.分离点分离点n一般常见的根轨迹分离点是位于实轴上两条根一般常见的根轨迹分离点是位于实轴上两条根轨迹分支的分离点，或根轨迹位于实轴上两个轨迹分支的分离点，或根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点

15、之间（其中一个可以是无限极相邻的开环极点之间（其中一个可以是无限极点），则在这两个极点之间至少存在一个分离点），则在这两个极点之间至少存在一个分离点。若根轨迹位于实轴上两个相邻的零点（一点。若根轨迹位于实轴上两个相邻的零点（一个零点可以位于无穷远处）之间，则在这两个个零点可以位于无穷远处）之间，则在这两个相邻的零点之间，至少存在一个分离点，但有相邻的零点之间，至少存在一个分离点，但有些情况下根轨迹的分离点也可能以共轭形式成些情况下根轨迹的分离点也可能以共轭形式成对出现在复平面上，复平面上的分离点表明系对出现在复平面上，复平面上的分离点表明系统特征方程的根中至少有两对相等的共轭复根统特征方程的根

16、中至少有两对相等的共轭复根存在。存在。求分离点的方程求分离点的方程当开环系统无有限零点时当开环系统无有限零点时7.起始角与终止角起始角与终止角n起始角：根轨迹离开起始角：根轨迹离开n开环复数极点处的开环复数极点处的n切线方向与实轴切线方向与实轴n正方向的夹角正方向的夹角n终止角：根轨迹进入终止角：根轨迹进入n开环复数零点处的开环复数零点处的n切线方向与实轴切线方向与实轴n正方向的夹角正方向的夹角8.求根轨迹与虚轴的交点求根轨迹与虚轴的交点n根轨迹与虚轴的交点，就是闭环系统特征方程根轨迹与虚轴的交点，就是闭环系统特征方程的纯虚根，的纯虚根，n用用 代入特征方程，然后再使其实部和代入特征方程，然后再使其实部和虚部分别等于零，虚部为零可求出根轨迹与虚虚部分别等于零，虚部为零可求出根轨迹与虚轴的交点轴的交点 ，用，用 代入实部方程，可求出代入实部方程，可求出系统开环根轨迹增益的临界值系统开环根轨迹增益的临界值 n例：已知单位负反馈系统的开环传递函例：已知单位负反馈系统的开环传递函数为数为n绘制该系统的根轨迹绘制该系统的根轨迹