第4讲 第三章泊松过程(2).ppt

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1、性质性质1 1 N(t),t0是是Poisson过程，已知在过程，已知在(0,t时间内时间内A出现出现1 次次,则：这则：这1 次到达时间次到达时间W1条件分布密度为条件分布密度为 即服从即服从 0,t上均匀分布上均匀分布三三.到达时间的条件分布到达时间的条件分布 下面介绍到达时间的条件分布的几个重要结论下面介绍到达时间的条件分布的几个重要结论 证明证明:（独立增量）l性质性质2 2定理定理3.43.4 设设N(t),t0是是Poisson过程，已知在过程，已知在(0,t时间时间内内A出现出现n 次次,则这则这n 次到达时次到达时W1,W2,Wn的联合条件的联合条件分布密度为分布密度为 证明：

2、证明：t1titnt0注注若在若在(0,t时间内时间内A出现出现n 次次,则这则这n 次到达时间次到达时间W1,W2,Wn与与 n个相互独立的个相互独立的 0,t上的均匀分布随上的均匀分布随机变量机变量U1,U2,Un的顺序统计量的顺序统计量U(1),U(2),U(n)有有相同分布相同分布.性质性质3 设设N(t),t0)是参数为是参数为的泊松过程的泊松过程,若事件若事件A在在(0,t)时间区间内出现时间区间内出现n次，则第次，则第k k次次事件事件A的的发生时间发生时间 的条件概率密度为：的条件概率密度为：证明：证明：例例3.6 设某仪器受到震动而引起损伤，若震动次数设某仪器受到震动而引起损

3、伤，若震动次数N(t)按强度为按强度为的的Possion过程发生过程发生,第第k 次震动时引起的损伤次震动时引起的损伤为为Dk,且且D1,D2,相互独立同分布相互独立同分布,与与N(t),t0相互独立。相互独立。又假设仪器受到震动而引起损伤将随时间按指数衰减，又假设仪器受到震动而引起损伤将随时间按指数衰减，各次损伤可叠加。求各次损伤可叠加。求t t时的总平均损伤程度时的总平均损伤程度.解：解：每次损伤初始为每次损伤初始为Dk，经时间，经时间t 后衰减为后衰减为则在则在t 时刻的总损伤：时刻的总损伤：Wk 为第为第k 次受震动的时刻，次受震动的时刻，Dket，t0 (0);需求需求ED(t).由

4、全期望公式来计算期望由全期望公式来计算期望.(根据定理根据定理3.4)（Dk 与与N(t),Wk相互独立）相互独立）性质性质4 N(t),t0)是参数为是参数为的泊松过程的泊松过程,若事件若事件A在在(0,t】时间区间内出现时间区间内出现n次，则次，则:证明证明：PN(s)=k|N(t)=n,0kn,0stPN(s)=k|N(t)=n 齐次泊松过程中有齐次泊松过程中有“增量平稳增量平稳”的假定条件的假定条件,假定到达率假定到达率是常数是常数.当过程的到达率随时间而变化当过程的到达率随时间而变化,此假设就不合理此假设就不合理了了.3.3 非齐次泊松过程非齐次泊松过程 若过程的增量平稳条件不满足，

5、到达率随时间改变，若过程的增量平稳条件不满足，到达率随时间改变，设到达率为时间函数设到达率为时间函数(t),则引入则引入非齐次泊松过程概念：非齐次泊松过程概念：定义：定义：如果计数过程满足下列条件如果计数过程满足下列条件1）N(0)=0；2）N(t),t0 是一个独立增量过程；是一个独立增量过程；称称N(t),t0是具有速率函数为是具有速率函数为(t)的的非齐次非齐次poisson过程过程.定理定理3.5 若若N(t),t0是非齐次泊松过程，且达到率是非齐次泊松过程，且达到率(t)是连续函数，是连续函数，st,则则 特别特别：解：解：参数为参数为(t),的泊松过程的泊松过程N(t),t0,事件

6、事件A第第n 次次出现的到达时间出现的到达时间Wn,求其求其Wn的的概率密度。概率密度。例例3.83.8例例3.93.9 设某路公共汽车从早晨设某路公共汽车从早晨5 5时至晚上时至晚上9 9时有车出时有车出发。乘客流量如下：发。乘客流量如下：5 5时按平均乘客为时按平均乘客为200/200/时计算；时计算；5 5时至时至8 8时乘客平均到达率按线性增加；时乘客平均到达率按线性增加；8 8时到达率为时到达率为1400/1400/时；时；8 8时至时至1818时保持平均到达率不变，时保持平均到达率不变，1818时至时至2121时乘客平均到达率按线性减少，到时乘客平均到达率按线性减少，到2121时为

7、时为200/200/时。时。假定乘客数假定乘客数 在不相重叠的时间间隔内是独立的。求在不相重叠的时间间隔内是独立的。求1212时至时至1414时有时有20002000人来站乘车的概率，并求出这两小人来站乘车的概率，并求出这两小时内来站乘车人数的数学期望。时内来站乘车人数的数学期望。2001400133ot16 解：解：将时间将时间5 5时至时至2121时平移至时平移至0 0时至时至1616时。时。到达率到达率 的图形：的图形：2001400133ot16791212时至时至1414时的平均客流量为：时的平均客流量为：设设(0,t)内通过关键路口的车量数内通过关键路口的车量数 N(t)是一个是一

8、个poisson过程，而每辆车的载客人数为过程，而每辆车的载客人数为Yn n，则经公交，则经公交车通过此路口的人数为：车通过此路口的人数为：3.4 复合泊松过程复合泊松过程这里这里 独立同分布独立同分布将股票交易次数将股票交易次数N(t)看作看作一个一个poisson过程过程,Yn表示第表示第n 次次与第与第n1次易手前后股票价格差次易手前后股票价格差,则则直到直到t 时刻股票的时刻股票的价格变化：价格变化：-复合泊松过程描述了这一类模型。复合泊松过程描述了这一类模型。这里这里 独立同分布独立同分布定义：定义：设设N(t),t0是强度为的齐次是强度为的齐次poisson过程过程,Yn,n1是相

9、互独立且同分布，并与是相互独立且同分布，并与N(t)相互独立相互独立,称称为为复合复合poisson过程过程.注：注：复合复合poisson过程过程 X(t)是包含泊松过程的一是包含泊松过程的一个复合模型，通常不是泊松过程。个复合模型，通常不是泊松过程。定理定理3.6 3.6 设设 是复合泊松过程是复合泊松过程其中其中N(t),t0是强度为是强度为的泊松过程的泊松过程,Yn n,n=1,2,相互独立且同分布，则相互独立且同分布，则2）3）1 1）X(t),t0 是独立平稳、增量过程是独立平稳、增量过程其中其中 为为Yi的特征函数的特征函数证明：证明：1）显然只与泊松过程在区间显然只与泊松过程在

10、区间 内增量值及内增量值及 的值有关。的值有关。由泊松过程在独立增量性及由泊松过程在独立增量性及 的独立性同分布知，的独立性同分布知，X(t),t0 是独立增量过程是独立增量过程由泊松过程在平稳增量性及由泊松过程在平稳增量性及 的独立性同分布知，的独立性同分布知，X(t),t0 是平稳增量过程是平稳增量过程2 2）由全期望公式来计算期望由全期望公式来计算期望.3）注：注：N(t),t0为非平稳为非平稳泊松过程时泊松过程时,有有成立！成立！设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有均每周有3户定居。如果每户的人数是相互独立且户定居。如果每户的人数是相

11、互独立且同分布的随机变量，其分布律为同分布的随机变量，其分布律为 每每户户人数人数123概率概率0.20.30.5求在求在4周内移民到该区人口的数学期望及方差。周内移民到该区人口的数学期望及方差。例例3.10 解解：设设N(t)是是t周为止到该地区定居的总户数，周为止到该地区定居的总户数，Yn n1是各户的人数。是各户的人数。X(t)是是t周为止到该地区定居的总人数。则：周为止到该地区定居的总人数。则：其中其中，N(t)强度为强度为 的泊松过程，的泊松过程，每每户户人数人数123概率概率0.20.30.5Yn 的分布律：的分布律：例例3.11 设某营业厅营业时间为上午8至16点，(8,t内来营业厅的顾客数为泊松过程，到达率函数为：（1）求12时至13时有20人来商场的概率。（2）若该营业厅只有一个服务窗口，窗口为每个顾客服务的时间服从【0,0.5】上的均匀分布，求服务窗口在12至13时实际为顾客服务的平均时间。解（解（2）设设Yn n1是每个顾客在窗口接受的服务时间是每个顾客在窗口接受的服务时间X(t)是是t时时为止到窗口服务于顾客的实际时间。为止到窗口服务于顾客的实际时间。