复变函数与积分变换 2-3.ppt

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1、第三节 初等函数一、指数函数二、对数函数三、乘幂 ab 与幂函数四、三角函数和双曲函数五、反三角函数和反双曲函数六、小结与思考1一、指数函数一、指数函数1.指数函数的定义指数函数的定义:2指数函数的定义等价于关系式指数函数的定义等价于关系式:32.加法定理加法定理证证4例例1 解解56例例2 解解求出下列复数的辐角主值求出下列复数的辐角主值:789例例3 解解10二、对数函数二、对数函数1.定义定义11其余各值为其余各值为特殊地特殊地,12例例4 解解注意注意:在实变函数中在实变函数中,负数无对数负数无对数,而复变数对而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广数函数是实变数对数函数的拓广.13例例

2、5解解14例例6解解15162.性质性质17证证(3)证毕证毕18三、乘幂三、乘幂 与幂函数与幂函数1.乘幂的定义乘幂的定义注意注意:1920特殊情况特殊情况:2122例例7 7解解答案答案课堂练习课堂练习23例例8 8解解242.幂函数的解析性幂函数的解析性它的它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的内是解析的,25它的它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的内是解析的,26四、三角函数和双曲函数四、三角函数和双曲函数1.三角函数的定义三角函数的定义将将两式相加与相减两式相加与相减,得得现在把余弦函数和正

3、弦函数的定义推广到自变现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况数取复值的情况.2728例例9 9解解292.双曲函数的定义双曲函数的定义30有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.31(注意：这是与实变函数完全不同的注意：这是与实变函数完全不同的)32其他复变数三角函数的定义其他复变数三角函数的定义33它们的导数分别为它们的导数分别为并有如下公式并有如下公式:它们都是以它们都是以 为周期的周期函数为周期的周期函数,34例例1010解解35例例1111解解36例例121

4、2解解3738例例1313解解39五、反三角函数和反双曲函数五、反三角函数和反双曲函数1.反三角函数的定义反三角函数的定义两端取对数得两端取对数得40 同样可以定义反正弦函数和反正切函数同样可以定义反正弦函数和反正切函数,重复以上步骤重复以上步骤,可以得到它们的表达式可以得到它们的表达式:2.反双曲函数的定义反双曲函数的定义41例例1414解解4243六、小结与思考六、小结与思考 复变初等函数是一元实变初等函数在复数复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广范围内的自然推广,它既保持了后者的某些基它既保持了后者的某些基本性质本性质,又有一些与后者不同的特性又有一些与后者不同的特性.如

5、如:1.指数函数具有周期性指数函数具有周期性2.负数无对数的结论不再成立负数无对数的结论不再成立3.三角正弦与余弦不再具有有界性三角正弦与余弦不再具有有界性4.双曲正弦与余弦都是周期函数双曲正弦与余弦都是周期函数44思考题思考题 实变三角函数与复变三角函数在性质上有实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同哪些异同?45思考题答案思考题答案 两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的类似的,而且导数的形式、加法定理、正余弦函数而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式的平方和等公式也有相同的形式.最大的区别是最大的区别是,实变三角函数中实变三角函数中,正余弦函数正余弦函数都是有界函数都是有界函数,但在复变三角函数中但在复变三角函数中,放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.46