数学史二.ppt

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1、自然科学史数学史：危机中的大发展数学史：危机中的大发展19世纪的数学革命 18 18世纪末，微积分学得到了巨大的成功，世纪末，微积分学得到了巨大的成功，“数数学分析学分析”正式成为数学三大学科之一。同时，在概正式成为数学三大学科之一。同时，在概率论、代数方程、图论等方面也都建立了相当完善率论、代数方程、图论等方面也都建立了相当完善的理论体系。一切似乎都已经很完美了，包括拉格的理论体系。一切似乎都已经很完美了，包括拉格朗日、欧拉、达朗贝尔等人在内的很多著名数学家朗日、欧拉、达朗贝尔等人在内的很多著名数学家认为数学已经达到了完善，其新思想的源泉已近枯认为数学已经达到了完善，其新思想的源泉已近枯竭竭

2、 但事实上，很多问题被数学家们忽视了，这些但事实上，很多问题被数学家们忽视了，这些问题包括：问题包括：随着对这些问题研究的深入，一个又一个数学随着对这些问题研究的深入，一个又一个数学领域出现了令人意想不到的突破领域出现了令人意想不到的突破1919世纪的数学世纪的数学不仅没有枯竭，反而迎来了一场革命。不仅没有枯竭，反而迎来了一场革命。19世纪的数学革命欧几里得第五公设是否能被证明？五次以上方程有没有一般性解法？数学分析中的基本概念如何定义？19世纪的数学革命欧几里得第五公设是否能被证明？非欧几何的诞生 非欧几何学的诞生源于对欧几里得非欧几何学的诞生源于对欧几里得“第五公设第五公设”的质疑。的质疑

3、。第五公设：当两条直线被第三条直线所截，如第五公设：当两条直线被第三条直线所截，如有一侧的两个内角之和小于两直角，则将这两条直有一侧的两个内角之和小于两直角，则将这两条直线向该侧适当延长后必定相交。线向该侧适当延长后必定相交。与其他四条公设相比，这一条公设表达语句非与其他四条公设相比，这一条公设表达语句非常繁琐，而且含义不清，因此，从几何原本诞常繁琐，而且含义不清，因此，从几何原本诞生以来，人们就强烈质疑这一命题的公设地位。生以来，人们就强烈质疑这一命题的公设地位。非欧几何的诞生 欧几里得的其他四条公设分别是：1、由任意一点到另外任意一点可画直线。2、一条有限直线可以任意延长。3、以任意点为圆

4、心，任意长的距离可以画圆。4、凡直角都彼此相等。很显然，与它们相比，第五公设过于繁冗了。对于繁冗的第五公设，许多研究者都试图利用对于繁冗的第五公设，许多研究者都试图利用其他四条公设对其进行证明，或者采用另一条简单其他四条公设对其进行证明，或者采用另一条简单明了的命题来替代它。这一过程持续了两千多年，明了的命题来替代它。这一过程持续了两千多年，试图证明第五公设的学者和他们提出的等价命题多试图证明第五公设的学者和他们提出的等价命题多不胜数，但始终没有得到令人满意的结果。不胜数，但始终没有得到令人满意的结果。目前普遍采用的第五公设的替代命题是英国数目前普遍采用的第五公设的替代命题是英国数学家普雷菲尔

5、提出的：学家普雷菲尔提出的：过直线外一点，有且只有一过直线外一点，有且只有一条直线与该直线平行条直线与该直线平行。所以，第五公设也称为。所以，第五公设也称为“平平行公设行公设”。非欧几何的诞生 1733 1733年，意大利数学家萨开里在排除任何谬年，意大利数学家萨开里在排除任何谬误的欧几里得中用反证法来证明第五公设。误的欧几里得中用反证法来证明第五公设。萨开里假设角萨开里假设角A A、B B均为直均为直角，且角，且AD=BCAD=BC，可知，可知C C、D D两角两角相等。然后萨开里假设两角均相等。然后萨开里假设两角均为锐角，导出了一系列匪夷所为锐角，导出了一系列匪夷所思的命题。然后以以思的命

6、题。然后以以“不合情理不合情理”为由否定了所推为由否定了所推出的命题。萨开里将直观的合理性和逻辑的必然性出的命题。萨开里将直观的合理性和逻辑的必然性混为一谈，结果是在新的数学领域前戛然止步。混为一谈，结果是在新的数学领域前戛然止步。非欧几何的诞生 瑞士数学家兰贝特继承了萨开里的方法，并对瑞士数学家兰贝特继承了萨开里的方法，并对第五公设的可证性提出了怀疑，但他未能再向前一第五公设的可证性提出了怀疑，但他未能再向前一步。类似的，德国人高斯和匈牙利人鲍耶也都做了步。类似的，德国人高斯和匈牙利人鲍耶也都做了类似的探索，但由于惧怕传统的压力，二人都没有类似的探索，但由于惧怕传统的压力，二人都没有将自己的

7、成果公开。将自己的成果公开。对非欧几何做出决定性贡献的是俄罗斯喀山大对非欧几何做出决定性贡献的是俄罗斯喀山大学的罗巴切夫斯基。学的罗巴切夫斯基。非欧几何的诞生 面对第五公设，罗巴切夫斯基最初跟萨开里一面对第五公设，罗巴切夫斯基最初跟萨开里一样选择了反证法，并同样得到一系列奇怪的命题。样选择了反证法，并同样得到一系列奇怪的命题。但是罗巴切夫斯基并没有轻率的将其否定，而是清但是罗巴切夫斯基并没有轻率的将其否定，而是清楚地认识到在不同公理基础上可以建立不同的几何楚地认识到在不同公理基础上可以建立不同的几何体系体系一种新的几何学诞生了。一种新的几何学诞生了。罗巴切夫斯基的发现被称为罗氏几何学，但并罗巴

8、切夫斯基的发现被称为罗氏几何学，但并未引起人们重视，直到未引起人们重视，直到18661866年，意大利数学家贝尔年，意大利数学家贝尔特拉米给出了第一个罗氏几何的适用空间特拉米给出了第一个罗氏几何的适用空间伪球伪球面空间，才使罗氏几何学在数学上得到了确认。面空间，才使罗氏几何学在数学上得到了确认。非欧几何的诞生 1854 1854年，德国数学家黎曼推广了空间的概念。年，德国数学家黎曼推广了空间的概念。黎曼将高斯曲率的概念作为不同空间之间差异的量黎曼将高斯曲率的概念作为不同空间之间差异的量度。零曲率空间即为欧几里得空间，负曲率空间则度。零曲率空间即为欧几里得空间，负曲率空间则为罗巴切夫斯基空间，正

9、曲率空间则被称为黎曼空为罗巴切夫斯基空间，正曲率空间则被称为黎曼空间，或椭圆几何空间。人们对传统空间概念的认识间，或椭圆几何空间。人们对传统空间概念的认识又加深一步。又加深一步。19 19世纪世纪7070年代，德国数学家克莱因在埃尔朗根年代，德国数学家克莱因在埃尔朗根大学做了近代几何学研究的比较评述，将群论大学做了近代几何学研究的比较评述，将群论引入几何，并以群论为基础统一了几何学。这一观引入几何，并以群论为基础统一了几何学。这一观点，后来被称为点，后来被称为“埃尔朗根纲领埃尔朗根纲领”。非欧几何的诞生题外话代数的革命 19世纪，古老的代数学也发生了革命，而这革命的萌芽，则酝酿于16世纪卡当和

10、塔塔利亚的时代。代数的革命 数系的发展与解方程密不可分。数系的发展与解方程密不可分。16世纪世纪的卡当公式为三次方程提供了通用的解法，的卡当公式为三次方程提供了通用的解法，但这一公式在应用中有时会出现负数开平方但这一公式在应用中有时会出现负数开平方的问题。面对这一问题，卡当承认了虚数的的问题。面对这一问题，卡当承认了虚数的存在。存在。17世纪之后，在欧拉、达朗贝尔等人世纪之后，在欧拉、达朗贝尔等人的努力下，虚数逐渐为数学界所承认。的努力下，虚数逐渐为数学界所承认。1831年，高斯在哥廷根学报上发表文章，提年，高斯在哥廷根学报上发表文章，提出了复平面的概念，并为出了复平面的概念，并为“复数复数”

11、定名，数定名，数系由传统的实数系扩展到了复数系。系由传统的实数系扩展到了复数系。代数的革命 作为二元数的复数可以进行加减乘除等作为二元数的复数可以进行加减乘除等代数运算，这一现象产生的直接问题就是：代数运算，这一现象产生的直接问题就是：是否存在可以进行运算的三元数？是否存在可以进行运算的三元数？1843年，爱尔兰数学家哈密顿发现了四年，爱尔兰数学家哈密顿发现了四元数，除了不满足乘法交换律，四元数可以元数，除了不满足乘法交换律，四元数可以与实数、复数一样进行四则运算。与实数、复数一样进行四则运算。与实数、复数可以通过几何直观描述不与实数、复数可以通过几何直观描述不同，四元数只能通过抽象的方式来认

12、识，四同，四元数只能通过抽象的方式来认识，四元数的发现使人们对于数系的代数性质提高元数的发现使人们对于数系的代数性质提高了一大步。了一大步。代数的革命 代数根本性的革命同样源于解方程。塔代数根本性的革命同样源于解方程。塔塔利亚、卡当、费拉里等人解决了三次、四塔利亚、卡当、费拉里等人解决了三次、四次方程求解公式的问题，数学家们继续对五次方程求解公式的问题，数学家们继续对五次及五次以上方程的公式解发起冲击，这一次及五次以上方程的公式解发起冲击，这一工作持续了二百多年，无一人获得成功。工作持续了二百多年，无一人获得成功。在这一背景下，一些数学家开始怀疑五在这一背景下，一些数学家开始怀疑五次以上方程是

13、否有公式解。次以上方程是否有公式解。1770年，拉格朗年，拉格朗日提出五次方程不能用代数方法求解，日提出五次方程不能用代数方法求解，1799年，拉格朗日的学生鲁菲尼提出高于四次的年，拉格朗日的学生鲁菲尼提出高于四次的一般方程了不可解性的一个证明，但这一证一般方程了不可解性的一个证明，但这一证明存在缺陷。明存在缺陷。代数的革命 “五次以上方程是否可解五次以上方程是否可解”已经成为挑战已经成为挑战人类智慧的难题。而这一难题的解决则有赖人类智慧的难题。而这一难题的解决则有赖于两位命途多舛的青年数学才俊于两位命途多舛的青年数学才俊阿贝尔阿贝尔和伽罗华。和伽罗华。1824年，挪威数学家阿贝尔做出了一般年

14、，挪威数学家阿贝尔做出了一般五次方程用根式不可解的正确证明，并证明五次方程用根式不可解的正确证明，并证明了其中一个关键性命题了其中一个关键性命题也就是现在的阿也就是现在的阿贝尔定理。贝尔定理。阿贝尔为抽象代数打开了一扇门，真正阿贝尔为抽象代数打开了一扇门，真正带领人们走进去的，则是另一位年轻的数学带领人们走进去的，则是另一位年轻的数学家伽罗华。家伽罗华。代数的革命 五次以上方程没有公式解，但并不排除五次以上方程没有公式解，但并不排除一些特殊形式的五次以上方程可以用根式求一些特殊形式的五次以上方程可以用根式求解。那么什么样的方程可以求解呢？阿贝尔解。那么什么样的方程可以求解呢？阿贝尔来不及解决这

15、个问题，这个问题的解决留给来不及解决这个问题，这个问题的解决留给了比他更年轻，命运也更曲折悲惨的伽罗华。了比他更年轻，命运也更曲折悲惨的伽罗华。伽罗华最主要的成就是提出了群这一概伽罗华最主要的成就是提出了群这一概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，并由此发展了一整套关于群和域的的问题，并由此发展了一整套关于群和域的理论，创立了抽象代数学。这一理论不仅为理论，创立了抽象代数学。这一理论不仅为数学研究提供了新的工具，也对物理学、化数学研究提供了新的工具，也对物理学、化学的许多分支产生了重大影响。学的许多分支产生了重大影响。从实数理论到集合论 代数和几

16、何的革命给人代数和几何的革命给人们带来了新的思想和新的方们带来了新的思想和新的方法，而给数学带来最深刻变法，而给数学带来最深刻变化的则是分析学的革命，这化的则是分析学的革命，这一革命使整个数学都发生了一革命使整个数学都发生了变化。变化。从实数理论到集合论 由无穷小量带来的第二次数学危机使数由无穷小量带来的第二次数学危机使数学家们投入到为微积分奠定严格基础的工作学家们投入到为微积分奠定严格基础的工作上来。捷克数学家波尔查诺开始将严格的论上来。捷克数学家波尔查诺开始将严格的论证导入到分析学中，但当时，他的工作并未证导入到分析学中，但当时，他的工作并未被重视。真正做出开拓性工作的则是法国数被重视。真

17、正做出开拓性工作的则是法国数学家柯西。学家柯西。1821 1821年，柯西先后出版了分析教程、年，柯西先后出版了分析教程、无穷小计算讲义、无穷小计算在几何无穷小计算讲义、无穷小计算在几何中的应用等几部著作。在这几部著作中，中的应用等几部著作。在这几部著作中，柯西给出了数学分析一系列基本概念的严格柯西给出了数学分析一系列基本概念的严格定义。定义。从实数理论到集合论 但柯西的工作也遇到了一些困难，最主但柯西的工作也遇到了一些困难，最主要的问题是，在那个时代，实数理论尚未建要的问题是，在那个时代，实数理论尚未建立，最基本的极限概念的定义就难以完成，立，最基本的极限概念的定义就难以完成，实际上，现在普

18、遍沿用的柯西定义是半个世实际上，现在普遍沿用的柯西定义是半个世纪后维尔斯塔拉斯在柯西的基础上完成的。纪后维尔斯塔拉斯在柯西的基础上完成的。自从毕达哥拉斯学派发现无理数以来，自从毕达哥拉斯学派发现无理数以来，作为实数重要组成部分的无理数一直没有明作为实数重要组成部分的无理数一直没有明确的定义，这使得无穷小概念无法建立。确的定义，这使得无穷小概念无法建立。新的进展发生在新的进展发生在18721872年。年。从实数理论到集合论 1872 1872年，高斯的学生，德国数学家戴德年，高斯的学生，德国数学家戴德金提出金提出“戴德金分割戴德金分割”用以定义无理数；与用以定义无理数；与此同时，康托提出无理数的

19、此同时，康托提出无理数的“基本序列基本序列”定定义，而维尔斯塔拉斯则提出用递增有界数列义，而维尔斯塔拉斯则提出用递增有界数列来定义无理数来定义无理数实数的三大派理论同一年实数的三大派理论同一年在德国诞生。在德国诞生。在实数理论基础上，在实数理论基础上，18751875年，康托在著年，康托在著作流形理论中发表了集合论的思想，并作流形理论中发表了集合论的思想，并于于18831883年出版一般流形理论基础，使集年出版一般流形理论基础，使集合论形成一个独立分支，并渗透到所有的数合论形成一个独立分支，并渗透到所有的数学领域中。现在，集合论已经被公认是全部学领域中。现在，集合论已经被公认是全部数学的基础。

20、数学的基础。从实数理论到集合论 集合论为函数理论提供了逻辑基础，结集合论为函数理论提供了逻辑基础，结束了数学分析的混乱局面，并推动了函数论束了数学分析的混乱局面，并推动了函数论的发展。的发展。但康托工作的更重要价值在哲学上，康但康托工作的更重要价值在哲学上，康托对无穷集合的研究推动了对无限概念的探托对无穷集合的研究推动了对无限概念的探讨，使人们对无限有了更深刻的理解，并得讨，使人们对无限有了更深刻的理解，并得到了一系列令人匪夷所思的结论到了一系列令人匪夷所思的结论有理数有理数和自然数一样多，一条直线上的点跟一个平和自然数一样多，一条直线上的点跟一个平面上的点一样多，无穷大和无穷大不相等。面上的

21、点一样多，无穷大和无穷大不相等。公理化运动与20世纪的数学 19 19世纪后世纪后3030年，数学公理化运动开展起年，数学公理化运动开展起来。这一运动起源于康托的集合论。来。这一运动起源于康托的集合论。18991899年，年，希尔伯特阐述了欧氏几何学的公理系统，掀希尔伯特阐述了欧氏几何学的公理系统，掀起了功利化的热潮：一方面，数学家们为各起了功利化的热潮：一方面，数学家们为各个数学分支建立起公理体系，另一方面，则个数学分支建立起公理体系，另一方面，则通过略去、否定或其他方式改变所论体系的通过略去、否定或其他方式改变所论体系的公理来探索新体系、新问题。公理来探索新体系、新问题。总的来说，总的来说

22、，1717世纪是许多新兴科目始创世纪是许多新兴科目始创阶段，阶段，1818世纪是充实和发展阶段，世纪是充实和发展阶段，1919世纪则世纪则是回顾、推广和改革阶段。是回顾、推广和改革阶段。到到2020世纪，数学的发展使数学体系更为世纪，数学的发展使数学体系更为庞大。庞大。公理化运动与20世纪的数学 随着公理化运动的发展，建立在集合论随着公理化运动的发展，建立在集合论基础上的数学大厦已经巍然屹立。到基础上的数学大厦已经巍然屹立。到2020世纪世纪中期，随着原子能、电子计算机和空间技术中期，随着原子能、电子计算机和空间技术的兴起，现代数学也显示出一种新的面貌：的兴起，现代数学也显示出一种新的面貌：数

23、学理论与数学方法层出不穷，计算数学、数学理论与数学方法层出不穷，计算数学、信息论、控制论、模糊数学、分形理论、耗信息论、控制论、模糊数学、分形理论、耗散结构等新理论不断产生，数学各基础分支散结构等新理论不断产生，数学各基础分支之间不断交叉与渗透，数学的三大难题中的之间不断交叉与渗透，数学的三大难题中的费马猜想、四色猜想一一解决，哥德巴赫猜费马猜想、四色猜想一一解决，哥德巴赫猜想也只剩了最后一步，数学的内容更深刻，想也只剩了最后一步，数学的内容更深刻，也更加丰富多彩。也更加丰富多彩。公理化运动与20世纪的数学 在新的理论体系下，数学研究的范围不在新的理论体系下，数学研究的范围不断扩大，数学中的概

24、念也不断更新断扩大，数学中的概念也不断更新“量量”的概念意义更加普遍，适用性更广，内容的概念意义更加普遍，适用性更广，内容也更加深刻。除了也更加深刻。除了“数量数量”之外，还有向量、之外，还有向量、张量、旋量、群、超复数等。现代数学的分张量、旋量、群、超复数等。现代数学的分支也更多更细，从大的方面看，数学就包括支也更多更细，从大的方面看，数学就包括了代数学、数论、几何学、数学分析、函数了代数学、数论、几何学、数学分析、函数论、泛函分析、微分方程、概率论与数理统论、泛函分析、微分方程、概率论与数理统计、数理逻辑、计算数学等，每一分支还可计、数理逻辑、计算数学等，每一分支还可以有更小的分支，如几何

25、学就包括解析几何、以有更小的分支，如几何学就包括解析几何、非欧几何、微分几何、拓扑学等。非欧几何、微分几何、拓扑学等。第三次数学危机 在辉煌的背后，危机不期而至，如果说在辉煌的背后，危机不期而至，如果说前两次数学危机的根源在于概念的模糊，那前两次数学危机的根源在于概念的模糊，那么第三次数学危机则根源于逻辑么第三次数学危机则根源于逻辑我们的我们的数学赖以存在的基础。数学赖以存在的基础。第三次数学危机直接打击了现代数学的第三次数学危机直接打击了现代数学的基础基础集合论。集合论。第三次数学危机 罗素悖论：把所有集合分为两类，第一罗素悖论：把所有集合分为两类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为元素，假令第一类集合所组成合不以自身为元素，假令第一类集合所组成的集合为的集合为P P，第二类所组成的集合为，第二类所组成的集合为Q Q，问，问，Q Q属于属于P P还是还是Q Q？罗素悖论还有一个通俗的形式：理发师罗素悖论还有一个通俗的形式：理发师悖论。悖论。我也许不能为你打开这扇门因为钥匙在你的手中