第三章 量子力学基础.ppt

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1、第三章 量子力学基础(Fundamental of Quantum Mechanics)微观粒子的动力学理论参考书目l关洪,量子力学基础，北京：高等教育出版社(第一版),2000l周世勋,量子力学教程，北京：高等教育出版社(第一版),1980lP.A.M.Dirac，Principle of Quantum Mechanics,Clarendon:Oxford(Fourth Edition),1958量子力学基本原理Basic Principle of Quantum Mechanicsl波函数的引出和意义l物理量与算符对应关系l测量值和平均值l波函数的演化l粒子全同性假设l测不准原理波函数的

2、引出 Introduction to Wave Functionsl量子力学认为所有微观粒子都由波函数描述，粒子具有波动性。1.1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样;我们看一下电子的衍射实验我们看一下电子的衍射实验2.2.入射电子流强度大，很快显示衍射图样入射电子流强度大，很快显示衍射图样.电子源电子源感感光光屏屏QQO波函数的引出Introduction to Wave Functions l结论：结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：衍射实验所揭示的电子的波动性是：许多电子在同一个实验中的统计结果，或许

3、多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。l波函数波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，基础上，Born Born 提出了波函数意义的统计解释。提出了波函数意义的统计解释。波函数的意义Significance of Wave Functions r r 点附近衍射花样的强度点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目，正比于该点附近感光点的数目，正比于该点附近出现的电子数目，正比于该点附近出现的电子数目，正比于电子出现在正比于电子出现在 r r 点附近的几点附

4、近的几率。率。在电子衍射实验中，在电子衍射实验中，照相底片上照相底片上 假设衍射波波幅用假设衍射波波幅用 (r(r，t)t)描述，与光波相似，描述，与光波相似，衍射花纹的强度则用衍射花纹的强度则用|(r,t)|(r,t)|2 2 描述，但意义与光波不同。描述，但意义与光波不同。波函数的意义Sigificance of Wave Functions据此，据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运动的一种动的一种统计统计规律性，波函数规律性，波函数(r,tr,t)有时也称为几率幅（概有时也称为几率幅（概率幅）。率幅）。这就是首先由这就是首先由 B

5、ornBorn 提出的提出的波函数的几率解释波函数的几率解释，它是，它是量量子力学的基本原理子力学的基本原理。|(r,t)|(r,t)|2 2 的意义是代表电子出现在的意义是代表电子出现在 r r 点附近几率的大小，确切点附近几率的大小，确切的说，的说，|(r,t)|(r,t)|2 2 x y z x y z 表示在表示在 r r 点处，体积元点处，体积元x y x y zz中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，平方）和在这点找到粒子的几率成比例，波函数的性质IProperties of

6、Wave Functions Il在在 t t 时刻，时刻，r r 点，点，d =d =dxdx dydy dzdz 体积内，找到体积内，找到由波函数由波函数 (r,t)(r,t)描写的粒子的几率是：描写的粒子的几率是：ld W(r,t)=C|(r,t)|d W(r,t)=C|(r,t)|2 2 d d，其中，其中，C C是比例系数。是比例系数。根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：（1 1）几率和几率密度）几率和几率密度 Density of Probability Density of Probability 在在 t t 时刻时刻 r r

7、 点，单位体积内找到粒子的几率是：点，单位体积内找到粒子的几率是：(r,t)=r,t)=dW(rdW(r,t)/d =C|(r,t)|,t)/d =C|(r,t)|2 2 称为几率密度。称为几率密度。在体积在体积 V V 内，内，t t 时刻找到粒子的几率为：时刻找到粒子的几率为：W(t)=W(t)=V V dWdW=V V(r,t)d=C(r,t)d=CV V|(r,t)|(r,t)|2 2 d d波函数的性质IIProperties of Wave Functions II（2 2）平方可积平方可积由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和

8、湮灭情况），所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：CC|(r,t)|(r,t)|2 2 d=1 d=1,从而得常数从而得常数 C C 之值为：之值为：C=1/C=1/|(r,t)|(r,t)|2 2 d d这即是要求描写粒子量子这即是要求描写粒子量子状态的波函数状态的波函数 必须是绝必须是绝对值平方可积的函数。对值平方可积的函数。若若|(r,t)|(r,t)|2 2 d d ,则则 C C 0 0,这是没有意义的。这是没有意义的。注意：自由粒子波函数注意：自由粒子波函数 不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归

9、一化问题，以后再予以讨论。题，以后再予以讨论。波函数的性质IIIProperties of Wave Functions III（3 3）归一化波函数）归一化波函数l这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的 2 2 倍），倍），则相应的波动能量将为原来的则相应的波动能量将为原来的 4 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。经倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。典波无归一化问题。(r,t)(r,t)和和 C(r,t)C(r,t)所描写状态的相对几率是相所描写状态的相对几率是相同的，这里的同的，这里的 C C 是常数。因为在是常数。因为在

10、t t 时刻，空间任意两点时刻，空间任意两点 r r1 1 和和 r r2 2 处找到粒子的相对几率之比是：处找到粒子的相对几率之比是：由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即 (r,t)(r,t)和和 C(r,t)C(r,t)描述同一状态描述同一状态可见，可见，(r,t)(

11、r,t)和和 C(r,t)C(r,t)描述的是同一几率波，描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。所以波函数有一常数因子不定性。波函数的性质IVProperties of Wave Functions IV（4 4）单值性单值性(r,t)是粒子在空间和时间上概率幅，具有客观实在性质。是粒子在空间和时间上概率幅，具有客观实在性质。如果如果(r,t)某个时刻，在空间上某点位置的值不是唯一，某个时刻，在空间上某点位置的值不是唯一，而是而是多个值多个值，那么也就是说这时刻空间这点上出现粒子的，那么也就是说这时刻空间这点上出现粒子的概率不唯一概率不唯一，我们就无法准确的预测粒子的状态，显然这，

12、我们就无法准确的预测粒子的状态，显然这种种不确定性不确定性违背了物理规律。违背了物理规律。波函数的性质VProperties of Wave Functions V（5 5）叠加性叠加性S1S2电子源电子源感感光光屏屏P感光板上粒子的状态：感光板上粒子的几率分布：态叠加原理：可以用描述一个系统的状态的所有态函数 ,组成集合 ,系统的任意态函数都可以表示为集合里任意态函数的线性叠加。l所有力学量（可观察的物理量）均由线性厄米算符表示。这些算符作用在态的波函数上给出算符所对应物理量。物理量与算符的对应Correspondence of Operator with Physical Quantity

13、2、线性算符3、厄米算符1、算符的定义算符的定义Definition of Operator定义：数学上算符就是对函数的微分和积分等运算。例如对平面波的时间导数和空间导数，可以表示为时间算符能量算符空间算符动量算符线性算符Linear Operatorl线性算符，算符A满足以下条件，称为线性算符这说明对一系统态函数的测量可以等效为对构成该态函数的态函数集合的测量之和，这与态叠加原理对应常见的线性算符有：厄米算符Hermitian Operators 一算符的厄米共轭算符表示为：（）运算为内积运算，表示为：厄米算符的定义物理量与厄米算符Physical Quantity and Hermitia

14、n Operators物理量为实数算符具有厄米性算符A的两本征函数：算符的厄米性注意：上述推导过程中，使用了算符厄米的性质，也就是要保证物理量为实数的其中一必要条件就是算符具有厄米性质测量值与平均值IMeasure and Average Value Il微观粒子体系使用态函数 描述其状态测量其可观察力学量 ，那么所测量得到 平均值为（期望值Expected Value）量子力学测量公设 1、平均值是对大量同一状态的粒子系统多次测量的平均 2、对于每次测量的值都为算符的本征值之一，不会得到其它值。3、平均值为实数，因为这是实验的要求，被算符的厄米性保证 4、单次测量后，粒子的状态受到测量影响塌

15、缩其中一个本征态，具体坍缩到哪一个本征态是随机的,不同本征态具有不同塌缩几率。5、要同时测量两个物理量A、B，其充分条件为A,B=AB-BA=0测量值与平均值IMeasure and Average Value I算符的本征值和本征函数：粒子的任意一态函数可展开：粒子对应该算符的平均值：多次测量平均值单次测量粒子初始态粒子测量后状态对物理量A做测量得到相应本征值 ，粒子塌缩到本征态 对物理量A做测量波函数的时间演化Temporal Evolution of Wave Functions量子力学认为一个微观粒子体系的态函数时间演化规律遵循薛定谔方程。薛定谔方程如下：一维自由粒子：势能V0，那么薛

16、定谔方程为利用分离变量法,我们得到自由粒子态函数数为：粒子的全同性Identity of Particlesl量子力学认为相同的多粒子体系中，体系中的各个粒子在原则上是不可分辨的，任意交换两个粒子不改变体系的态函数。置换两粒子一次：置换两粒子两次：使用全同性原理有：两次置换后态函数相同，因此有即全同性原理的两推论1、全同粒子体系的全部可观察力学量算符相对于两粒子间的交换是对称的。2、全同粒子体系的全部可能状态相对于两粒子间的交换要么完全对称，要么 完全反对称，中间不出现其它状态。完全对称对应于玻色子，即自旋为 整数的粒子，而反对称应于费米子，即自旋为半整数的粒子。例如空间坐标算符x和动量算符p

17、，互易关系x,p=,有不确定关系测不准原理Uncertainty Principle如果两物理量对应的算符不互易，即A,BiC0那么测量的统计偏差满足不等式 ，这称为测不准原理或不确定关系 物理意义如果两算符互不互易，那么没有相同本征函数，在任何态中都不能同时测量得到他们的准确值，他们的均方根偏差都满足以上不等式。注意，两算符的均方差是指对微粒同一态分别多次测量所对应的物理量的统计均方差。这一性质与薛定谔的演化规律无关，是微观粒子本来的属性量子力学中的因果关系The Causality of Quantum Mechanicsl随机性对微观粒子体系的单次测量，得到的值具有随机性，满足一定的概率分布。但是当体系的态函数确定后，多次测量的平均值是确定的。l规律性微观粒子体系的空间和时间的演化满足薛定谔方程。如果一体系的初始态函数确定，那么以后的态函数都被确定下来，从而对应的测量平均值也就确定下来。作业l在单次测量示意图中，如果将第二次测量的物理量换成算符B，那么在第二次测量后微粒体系处于什么状态？(分两种情况讨论，一种A,B=0,另一种A,B0)l从一维自由粒子的薛定谔方程解出粒子的波函数。第四章 一维势阱的例子微观粒子的动力学理论