第八节 线性空间的同构.ppt

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1、高 等 代 数 6.8 线性空间的同构第八节第八节 线性空间的同构线性空间的同构第六章第六章 线性空间线性空间Linear Space6.8 线性空间的同构设设 1,2,n 是线性空间是线性空间 V 的一个基，在的一个基，在这个基下，这个基下，V 中每个向量都有确定的坐标，而向中每个向量都有确定的坐标，而向量的坐标可以看成量的坐标可以看成 P n 的元素的元素.因此，向量与它的因此，向量与它的坐标之间的对应实质上就是坐标之间的对应实质上就是 V 到到 P n 的一个映射的一个映射.这个这个这个这个映射映射映射映射既既既既是单射是单射是单射是单射又是又是又是又是满射满射满射满射，换句话说，坐标换

2、句话说，坐标给给出了线性空间出了线性空间 V 与与 P n 的一个双射的一个双射.这个对应的重这个对应的重要性表现在它与运算的关系上要性表现在它与运算的关系上.一、引入一、引入6.8 线性空间的同构设设 =a1 1+a2 2+an n,=b1 1+b2 2+bn n.即向量即向量 ,的坐标分别是的坐标分别是(a1,a2,.,an),(b1,b2,bn),那么那么 +=(a1+b1)1+(a2+b2)2+(an+bn)n,k =ka1 1+ka2 2+kan n.于是向量于是向量 +,k 的坐标分别是的坐标分别是6.8 线性空间的同构(a1+b1,a2+b2,an+bn)=(a1,a2,.,an

3、)+(b1,b2,bn),(ka1,ka2,.,kan)=k(a1,a2,.,an).以上的式子说明在向量用坐标表示之后，以上的式子说明在向量用坐标表示之后，它它们的运算就可以归结为它们坐标的运算们的运算就可以归结为它们坐标的运算.因而线性因而线性空间空间 V 的讨论也就可以归结为的讨论也就可以归结为 Pn 的讨论的讨论.6.8 线性空间的同构定义定义 1 数域数域 P 上两个线性空间上两个线性空间 V 与与 V 称为称为同构的，同构的，如果由如果由 V 到到 V 有一个双射有一个双射 ,具有以具有以下性质：下性质：1)(+)=()+()；2)(k )=k (),其中其中 ,是是 V 中中任意

4、向量，任意向量，k 是是 P 中任意数中任意数.这这样的映射样的映射 称为同构映射称为同构映射.二、同构的概念二、同构的概念6.8 线性空间的同构前面的讨论说明在前面的讨论说明在 n 维线性空间维线性空间V 中取定一个中取定一个基后，向量与它的坐标之间的对应就是基后，向量与它的坐标之间的对应就是 V 到到 P n 的的一个同构映射一个同构映射.因而，因而，数域数域 P 上任何一个上任何一个 n 维线性维线性空间都与空间都与 P n 同构同构.6.8 线性空间的同构1.(0)=0,(-)=-().2.(k1 1+k2 2+kr r)=k1 (1)+k2 (2)+kr (r).证明证明三、同构映射

5、的性质三、同构映射的性质 (0)(-)=(0 )=0,=0 ()=-1 ()=(-1 )=-().证明证明 (k1 1+k2 2+kr r)=(k1 1)+(k2 2)+(kr r)=k1 (1)+k2 (2)+kr (r).证毕证毕证毕证毕6.8 线性空间的同构3.V 中向量组中向量组 1,2,r 线性相关的充分线性相关的充分必要条件是，它们的像必要条件是，它们的像 (1),(2),(r)线性相关线性相关.证明证明 必要性必要性设设 1,2,r 线性相关，线性相关，即有不全为零的数即有不全为零的数 k1,k2,kr 使使k1 1+k2 2+kr r=0.由性质由性质 1，得，得 (k1 1+

6、k2 2+kr r)=(0)=0,再由性质再由性质 2，得，得k1 (1)+k2 (2)+kr (r)=0.6.8 线性空间的同构充分性充分性 设设 (1),(2),(r)线性线性相关，相关，即有不全为零的数即有不全为零的数 k1,k2,kr 使使k1 (1)+k2 (2)+kr (r)=0.于是有于是有 (k1 1+k2 2+kr r)=0,由于由于 是是 双射，只有双射，只有 (0)=0，所以，所以k1 1+k2 2+kr r=0,即即 1,2,r 线性线性相关相关.证毕证毕由此即得由此即得 (1),(2),(r)线性线性相关相关.6.8 线性空间的同构注注 同构的线性空间有相同的维数同构

7、的线性空间有相同的维数.4.如果如果 V1 是是 V 的一个线性子空间，那么，的一个线性子空间，那么，V1在在 下的像集合下的像集合 (V1)=()|V1 是是 (V)的子空间，并且的子空间，并且V1 与与 (V1)维数相同维数相同.5.同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射积还是同构映射.6.8 线性空间的同构证明证明设设 是线性空间是线性空间 V 到到 V 的同构映射，的同构映射，则逆映射则逆映射 -1 是是 V 到到 V 的一个双射的一个双射.下面证明下面证明 -1 也是同构映射，即也是同构映射，即 -1 满足定义满足定义 1中的条件中的条

8、件 1)与与 2).令令 ，是是 V 中任意两个向量，于是中任意两个向量，于是 -1(+)=-1(-1()+-1()=-1(-1()+-1()=-1 (-1()+-1()=-1()+-1().6.8 线性空间的同构现设现设 和和 分别是线性空间分别是线性空间 V 到到 V 和和 V 到到V 的同构映射，的同构映射，下面证明乘积下面证明乘积 是是 V 到到 V 的的一个同构映射一个同构映射.-1(k )=-1(-1(k )=-1(k -1()=-1(k -1()=-1 (k -1()=k -1().故故 -1满足定义满足定义1中的条件中的条件1)与与 2)，因而是同构映射因而是同构映射.6.8

9、线性空间的同构(+)=()+()=()+(),(k )=(k ()=k().故故 满足定义满足定义1中的条件中的条件 1)与与 2)，因而是同构映射因而是同构映射.证毕证毕 注注 同构作为线性空间之间的一种关系，具同构作为线性空间之间的一种关系，具有有反身性、对称性与传递性反身性、对称性与传递性.显然，显然，既既是单射又是满射是单射又是满射.又有又有6.8 线性空间的同构定理定理 数域数域 P 上两个有限维线性空间同构的上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数充分必要条件是它们有相同的维数.注注 定理说明了，维数是有限维线性空间的定理说明了，维数是有限维线性空间的唯一本质特征唯

10、一本质特征.四、同构的充分必要条件四、同构的充分必要条件证明证明 Pn 是是 n 维线性空间代表维线性空间代表,在在 Pn 中成立的中成立的结论结论,在其他线性空间中也成立在其他线性空间中也成立.数域数域 P 上的上的 n 维线性空间都与维线性空间都与 Pn 同构同构,的对称性与传递性的对称性与传递性,定理成立定理成立.证毕证毕 6.8 线性空间的同构例例 1 Px3 与与 P 3 同构，其同构映射为同构，其同构映射为 (a0+a1x+a2x2)=(a0,a1,a2).把把Px3的基的基 1,x,x2 映射成映射成 P 3 的基的基 e1,e2,e3,(1)=e1=(1,0,0),(x)=e2

11、=(0,1,0),(x2)=e3=(0,0,1).即即五、例子五、例子6.8 线性空间的同构例例 2 设设 V 是全体复数在实数域是全体复数在实数域 R 上构成的上构成的线性空间，则线性空间，则 V 与与 R2 同构同构.其同构映射为其同构映射为 (a+i b)=(a,b).把把 V 的基的基 1,i 映射成映射成 R2 的基的基 e1,e2,即即 (1)=e1=(1,0),(i)=e2=(0,1).6.8 线性空间的同构例例 3 数域数域 P 上的空间上的空间 P2 2 与与 P 4 同构同构.其同其同构映射为构映射为设设 P 4 的一个基为的一个基为 e1=(1,0,0,0),e2=(0,1,0,0),e3=(0,0,1,0),e4=(0,0,0,1),则可得则可得 P2 2 的一个的一个基为基为6.8 线性空间的同构