经济数学-泰勒级数与幂级数1.ppt

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1、一、函数的泰勒级数一、函数的泰勒级数二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算三、幂级数的运算四、小结四、小结 思考题思考题第四节第四节 泰勒级数与幂级数（泰勒级数与幂级数（1 1）一、函数的泰勒级数图形演示图形演示 图形演示图形演示图形演示图形演示图形演示图形演示数值实验数值实验数值实验数值实验结论结论图形演示图形演示图形演示图形演示图形演示图形演示图形演示图形演示数值实验数值实验数值实验数值实验结论结论二、幂级数及其收敛性1.1.函数项级数定义函数项级数定义设设是定义在数集是定义在数集上的函数列上的函数列,称为定义在称为定义在 上的上的函数项级数函数项级数.而而称为函数项级数

2、称为函数项级数的的部分和部分和.对对如果常数项级数如果常数项级数收敛收敛,即即表达式表达式存在存在,则称函数项级数则称函数项级数在点在点收敛收敛,称为该函数项级数的称为该函数项级数的收敛点收敛点.如果如果不存在不存在,点点发散发散.称为该函数项级数的称为该函数项级数的收敛域收敛域,而全体发散点的集合而全体发散点的集合合称为合称为发散域发散域.设函数项级数设函数项级数的收敛域的收敛域为为则对则对内的每一点内的每一点存在存在,在在则称函数项级数则称函数项级数全体收敛点的集合全体收敛点的集合函数项级数函数项级数记记它是它是的函数的函数,的的和函数和函数.称为函数项称为函数项称称为函数项级数为函数项级

3、数的的余项余项.对于收敛域上的对于收敛域上的每一点每一点有有根据上述定义可知根据上述定义可知,问题问题,函数项级数在某区域的收敛性函数项级数在某区域的收敛性是指函数项级数在该区域内任意一点的收敛是指函数项级数在该区域内任意一点的收敛性问题性问题,上是常数项级数的收敛问题上是常数项级数的收敛问题.常数项级数的收敛性判别法常数项级数的收敛性判别法而函数项级数在某点而函数项级数在某点 的收敛问题的收敛问题,实质实质这样这样,我们仍可利用我们仍可利用来判断函数项级数的收来判断函数项级数的收敛性敛性.例例1几何级数几何级数就是一个函数项级数就是一个函数项级数,根据本章第一节的讨论知根据本章第一节的讨论知

4、:级数收敛级数收敛;级数发散级数发散.此此,发散域为发散域为有有当当时时,当当时时,这个级数的收敛域是区间这个级数的收敛域是区间在收敛域内在收敛域内即几何级数即几何级数的和函数为的和函数为因因这个结果作许多问题中均有重要作用这个结果作许多问题中均有重要作用.幂级数系数幂级数系数 注注:变量代换变量代换转化为转化为的形式的形式,以后主要针对形如以后主要针对形如的级数展开讨论的级数展开讨论.可通过作可通过作所以所以,对于形如对于形如的幂级数的幂级数,二、幂级数二、幂级数幂级数的收敛域幂级数的收敛域再来考察幂级数再来考察幂级数对于给定的幂级数对于给定的幂级数显然显然,当当时时,它它收敛于收敛于这说明

5、幂级数的收敛域总是非空的这说明幂级数的收敛域总是非空的.的收敛性的收敛性.这个级数当这个级数当时收敛于和时收敛于和当当时时,它发散它发散.故该级数的收敛域为故该级数的收敛域为这个例子表明这个例子表明,幂级数幂级数的收敛域是一个区间的收敛域是一个区间.事实上事实上,这个结论对于一般的幂级数也是成立的这个结论对于一般的幂级数也是成立的.定理定理1(阿贝尔定理阿贝尔定理)如果级数如果级数收敛收敛,则对于满足不等式则对于满足不等式的一切的一切级级数数绝对收敛绝对收敛;如果级数如果级数发发散散,则对于满足不等式则对于满足不等式的一切的一切级数级数发散发散.反之反之,根据定理根据定理,如果幂级数在数轴上既

6、有收敛点如果幂级数在数轴上既有收敛点(不仅是不仅是散点散点,从原点出发沿负向走去的情形也是如此从原点出发沿负向走去的情形也是如此.点点 与与关于原点对称关于原点对称.重要结论重要结论:原点原点)也有发散点也有发散点,最初只遇到收敛点最初只遇到收敛点,则从数轴的原点出发沿正向走去则从数轴的原点出发沿正向走去,越过一个分界点后越过一个分界点后,就只遇到发就只遇到发这个分界点可能是收敛点这个分界点可能是收敛点,也可能是发散点也可能是发散点.且两个边界且两个边界根据上述分析根据上述分析,可得到以下可得到以下推论推论1如果幂级数如果幂级数不是仅在不是仅在一点一点收敛收敛,也不是在整个数轴上都收敛也不是在

7、整个数轴上都收敛,则必存在一个则必存在一个完全确定的正数完全确定的正数使得使得当当时时,当当时时,当当时时,与与发散发散.上述推论中的正数上述推论中的正数称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.级数绝对收敛级数绝对收敛;级数发散级数发散;幂级数可能收敛也可能幂级数可能收敛也可能称为幂级数的称为幂级数的收敛区间收敛区间.域为域为则则若幂级数的收敛若幂级数的收敛故幂级数的收敛域故幂级数的收敛域是收敛区间是收敛区间与收敛与收敛端点的并集端点的并集.敛敛,收敛域只有一个点收敛域只有一个点特别地特别地,处收处收如果幂级数只在如果幂级数只在则规定收敛半径则规定收敛半径半径半径此时收敛域为此时收敛域为如果

8、幂级数对一切如果幂级数对一切 都收敛都收敛,则规定收敛则规定收敛规定规定问题问题如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径?证明证明由比值审敛法由比值审敛法,求收敛域的基本步骤求收敛域的基本步骤求幂级数求幂级数 收敛域的基本步骤收敛域的基本步骤:(1)判别常数项级数判别常数项级数(2)的收敛性的收敛性;(3)求出收敛半径求出收敛半径当当 时时,写出幂级数的收敛域写出幂级数的收敛域.例例2 2 求下列幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域:解解该级数收敛该级数收敛;该级数发散该级数发散;例例3解解即即所以原级数的收敛域为所以原级数的收敛域为求函数项级数求函数项级数的收敛域的收敛域.令令原级数变为原

9、级数变为容易求得级数容易求得级数的收敛域为的收敛域为解此不等式得解此不等式得解解缺少偶次幂的项缺少偶次幂的项级数收敛级数收敛,级数发散级数发散,级数发散级数发散,级数发散级数发散,原级数的收敛域为原级数的收敛域为解解发散发散收敛收敛故收敛域为故收敛域为(0,1.解解三、幂级数的运算1.1.代数运算性质代数运算性质:(1)加减法加减法(其中其中(2)乘法乘法(其中其中柯柯西西乘乘积积定理定理设幂级数设幂级数 的收敛半径为的收敛半径为则则幂级数的和函数幂级数的和函数 在其收敛域在其收敛域 上连续上连续;幂级数的和函数幂级数的和函数 在其收敛域在其收敛域 上可积上可积,在在 上有逐项积分公式上有逐项

10、积分公式并并且逐项积分后得到的幂级数和原级数有相同的收敛且逐项积分后得到的幂级数和原级数有相同的收敛且逐项积分后得到的幂级数和原级数有相同的收敛且逐项积分后得到的幂级数和原级数有相同的收敛幂级数的和函数幂级数的和函数 在其收敛区间在其收敛区间 内可内可并在并在 内有逐项求导公式内有逐项求导公式且逐项求导后得到的幂级数和原级数有相同的收敛且逐项求导后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径半径;导导,半径半径.注注:反复应用结论反复应用结论(3)可得可得:幂级数的和函数幂级数的和函数 在其在其收敛区间收敛区间 内具有任意阶导数内具有任意阶导数.它常用它常用此外此外,几何级数的和函数几何级数的和函数是

11、幂级数求和中的一个基本的结果是幂级数求和中的一个基本的结果.质转化为几何级数的求和问题来解决质转化为几何级数的求和问题来解决.上述运算性质称为幂级数的上述运算性质称为幂级数的分析运算性质分析运算性质.于求幂级数的和函数于求幂级数的和函数.许多级数求和的问题许多级数求和的问题我们所讨论的我们所讨论的都可以利用幂级数的运算性都可以利用幂级数的运算性幂级数经逐项求导或逐项积分后，所得之幂级幂级数经逐项求导或逐项积分后，所得之幂级数的收敛半径不变；数的收敛半径不变；说明：说明：在收敛区间的端点处的收敛性可能改变；在收敛区间的端点处的收敛性可能改变；若经逐项求导或逐项积分后得幂级数在某一端若经逐项求导或

12、逐项积分后得幂级数在某一端点处收敛，则在该点处点处收敛，则在该点处(2)、(3)仍成立。仍成立。例例它们的收敛半径都是它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是但它们的收敛域各是解解例：由几何级数的收敛得到的几个结论例：由几何级数的收敛得到的几个结论两边求导得两边求导得 两边积分得两边积分得解解两边积分得两边积分得显然，级数的收敛域为（显然，级数的收敛域为（1，1解解收敛区间收敛区间(-1,1),四、小结2.幂级数的收敛性幂级数的收敛性:收敛半径收敛半径R3.幂级数的运算幂级数的运算:分析运算性质分析运算性质1.函数的泰勒级数函数的泰勒级数思考题思考题解答思考题解答（注意下角标的灵活处理）（注意下角标的灵活处理）练练 习习 题题练习题答案练习题答案