第四章误差的合成与分配精选文档.ppt
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1、第四章误差的合成与分配本讲稿第一页,共五十五页 用各项误差求总误差的过程称为用各项误差求总误差的过程称为误差的合成。误差的合成。误差的合成,须具体考虑以下几个方面:误差的合成,须具体考虑以下几个方面:1、确定误差的性质、确定误差的性质 2、确定误差的分布规律、确定误差的分布规律 3、分项误差的相关性、分项误差的相关性 5、确定被测量与各影响因素之间的关系、确定被测量与各影响因素之间的关系 实实际际情情况况非非常常复复杂杂,误误差差合合成成应应根根据据具具体体情情况况进进行行,采采用用抓抓主主要要舍舍次次要要的的原原则则,使使误误差差合合成成的的最最后后结结果果能能够够简简便便而而真真实实地地表
2、表示示出测量结果与精度。出测量结果与精度。4 4、误差项的划分及数目、误差项的划分及数目本讲稿第二页,共五十五页间接测量间接测量 函数误差函数误差 间接测得的被测量误差也应是直接测得量及其误差的函数,故称这种间接测量的误差为函数误差函数误差 通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算出被测量 第一节函数误差间接测量的数学模型间接测量的数学模型 与被测量有函数关系的各个直接测量值与被测量有函数关系的各个直接测量值 y y 间接测量值间接测量值本讲稿第三页,共五十五页一、函数系统误差计算一、函数系统误差计算求上述函数求上述函数 y y 的全微分,其表达式为的全微分,其表达式为:误差的合成误差的合成
3、 间接测量数据处理的任务:间接测量数据处理的任务:根据直接测量量的测量值估计出间接测根据直接测量量的测量值估计出间接测量量的数学期望;量量的数学期望;根据直接测量量的测量值和误差估计出间接根据直接测量量的测量值和误差估计出间接测量量的误差。测量量的误差。对于这种有确定关系的误差的计算,常称为误差的合成。对于这种有确定关系的误差的计算,常称为误差的合成。如果各直接测量量定值系统误差为如果各直接测量量定值系统误差为 ,且各系统误差是微小的,且各系统误差是微小的,则用各则用各 代替上式中相应的代替上式中相应的 d dx xi i 后,即可得到间接测量量的系后,即可得到间接测量量的系统误差为统误差为本
4、讲稿第四页,共五十五页 为各个输入量在该测量点处的误差传播系数为各个输入量在该测量点处的误差传播系数 几种简单函数的系统误差几种简单函数的系统误差 1 1、线性函数、线性函数系统误差公式系统误差公式当当函数为各测量值之和时,其函数系统误差亦为各个测量值系统误差之和当函数为各测量值之和时,其函数系统误差亦为各个测量值系统误差之和 2 2、三角函数形式、三角函数形式 关于直接测量量关于直接测量量x xi i的分误差的分误差 本讲稿第五页,共五十五页【例】【例】用弓高弦长法间接测量大圆工件直径。用弓高弦长法间接测量大圆工件直径。如图所示如图所示,车间工人用一把卡尺量得弓高车间工人用一把卡尺量得弓高h
5、 h =50=50mmmm ,弦长,弦长l=500mml=500mm。已知,弓高的系统误已知,弓高的系统误差差 h h=-0.1=-0.1mm mm,弦长的系统误差弦长的系统误差 l l=-1mm=-1mm。试问车间工人测量该工件直径的系统误差,并求试问车间工人测量该工件直径的系统误差,并求修正后的测量结果。修正后的测量结果。【解】【解】建立间接测量大工件直径的函数模型建立间接测量大工件直径的函数模型 不考虑测量值的系统误差,可求出在不考虑测量值的系统误差,可求出在 处的直处的直径测量值径测量值 本讲稿第六页,共五十五页直径的系统误差直径的系统误差:故修正后的测量结果故修正后的测量结果:误差传
6、递系数为误差传递系数为:车间工人测量弓高车间工人测量弓高 h h、弦长、弦长 l l 的系统误差的系统误差 本讲稿第七页,共五十五页二、函数随机误差计算二、函数随机误差计算变量中只有随机误差时的误差传递公式变量中只有随机误差时的误差传递公式函数的一般形式函数的一般形式 或或 第第i i个直接测得量个直接测得量 的标准差的标准差 第第i i个测量值和第个测量值和第j j个测量值之间的相关系数个测量值之间的相关系数 第第i i个测量值和第个测量值和第j j个测量值之间的协方差个测量值之间的协方差 第第i i个直接测得量个直接测得量 对间接量对间接量 在该测量点在该测量点 处的误差传播系数处的误差传
7、播系数 本讲稿第八页,共五十五页或相互独立的函数标准差计算相互独立的函数标准差计算相互独立的函数标准差计算相互独立的函数标准差计算 若各测量值的随机误差是相互独立的,相关项若各测量值的随机误差是相互独立的,相关项 令则 当各个测量值的随机误差都为正态分布时,标准差用极限误差代替,可得函数的极限误差公式 第i个直接测得量 的极限误差 本讲稿第九页,共五十五页三角形式的函数随机误差公式三角形式的函数随机误差公式1 1)正弦函数形式为正弦函数形式为:函数随机误差公式为:函数随机误差公式为:2 2)余弦函数形式为余弦函数形式为:函数随机误差公式为:函数随机误差公式为:三角函数标准差计算三角函数标准差计
8、算 3 3)正切函数形式为正切函数形式为:函数随机误差公式为:函数随机误差公式为:4 4)余弦函数形式为余弦函数形式为:函数随机误差公式为:函数随机误差公式为:本讲稿第十页,共五十五页【解】【解】【例】【例】用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示,车间工用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示,车间工人用一把卡尺量得弓高人用一把卡尺量得弓高h h=50=50mmmm ,弦长,弦长l=500mml=500mm。已知,弓高的已知,弓高的系统误差系统误差 h h=-0.1=-0.1mm mm,弦长的系统误差弦长的系统误差 l l=-1mm =-1mm。试求测量该试求测量该工件直径的标准差,并求修正
9、后的测量结果。工件直径的标准差,并求修正后的测量结果。已知:已知:,有修正后的测量结果 本讲稿第十一页,共五十五页相关系数对函数误差的影响相关系数对函数误差的影响 函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的传播关系函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的传播关系 函数随机误差公式函数随机误差公式 反映了各随机误差分量相互间线性关联对函数总误差的影响反映了各随机误差分量相互间线性关联对函数总误差的影响 当相关系数当相关系数 时,误差线性无关时,误差线性无关当相关系数当相关系数 时,误差完全正相关时,误差完全正相关三、相关系数估计三、相关系数估计本讲稿第十二页,共五十五页相关系数的确定相
10、关系数的确定相关系数的确定相关系数的确定可判断可判断 的情形的情形 断定断定 与与 两分量之间没有相互依赖关系的影响两分量之间没有相互依赖关系的影响 当一个分量依次增大时,引起另一个分量呈正负交替变化,反之当一个分量依次增大时,引起另一个分量呈正负交替变化,反之亦然亦然 与与 属于完全不相干的两类体系分量,如人员操作引起的误属于完全不相干的两类体系分量,如人员操作引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量差分量与环境湿度引起的误差分量 与与 虽相互有影响,但其影响甚微,视为可忽略不计的弱虽相互有影响,但其影响甚微,视为可忽略不计的弱相关相关 1 1、直接判断法、直接判断法、直接判断法、直接判断法本
11、讲稿第十三页,共五十五页可判断可判断 或或 的情形的情形 断定断定 与与 两分量间近似呈现正的线性关系或负的线两分量间近似呈现正的线性关系或负的线性关系性关系 当一个分量依次增大时,引起另一个分量依次增大或减当一个分量依次增大时,引起另一个分量依次增大或减小,反之亦然小,反之亦然 与与 属于同一体系的分量,如用属于同一体系的分量,如用1 1m m基准尺测基准尺测2 2m m尺,则尺,则各米分量间完全正相关各米分量间完全正相关 2、试样观察法和简略计算法、试样观察法和简略计算法 (1 1)观察法观察法本讲稿第十四页,共五十五页 (2 2)简单计算法简单计算法简单计算法简单计算法其中,n2n3n4
12、n10(3 3)直接计算法直接计算法直接计算法直接计算法 根据 的多组测量的对应值 ,按如下统计公式计算相关系数 、分别为 、的算术平均值 AB本讲稿第十五页,共五十五页第二节随机误差的合成 任何测量结果都包含有一定的测量误差,这是测量过任何测量结果都包含有一定的测量误差,这是测量过程中各个环节一系列误差因素作用的结果。误差合成就是程中各个环节一系列误差因素作用的结果。误差合成就是在正确地分析和综合这些误差因素的基础上,正确地表述在正确地分析和综合这些误差因素的基础上,正确地表述这些误差的综合影响。这些误差的综合影响。标准差合成 极限误差合成解决随机误差的合成问题一般基于标准方差和根合成的解决
13、随机误差的合成问题一般基于标准方差和根合成的方法,其中还要考虑到误差传播系数以及各个误差之间方法,其中还要考虑到误差传播系数以及各个误差之间的相关性影响的相关性影响 随机误差的合成形式包括:本讲稿第十六页,共五十五页一、标准差合成一、标准差合成合成标准差表达式合成标准差表达式:q个单项随机误差,标准差 误差传播系数 v 由间接测量的显函数模型求得 v 根据实际经验给出 本讲稿第十七页,共五十五页当误差传播系数当误差传播系数 、且各相关系数均可视为、且各相关系数均可视为0 0的情形的情形 若各个误差互不相关,即相关系数若各个误差互不相关,即相关系数 则合成标准差则合成标准差 用标准差合成有明显的
14、优点,不仅简单方便,而且无论各单项用标准差合成有明显的优点,不仅简单方便,而且无论各单项随机误差的概率分布如何,只要给出各个标准差,均可计算出随机误差的概率分布如何,只要给出各个标准差,均可计算出总的标准差总的标准差 视各个误差分量的量纲与总误差量的量纲都一致,或者说各个误视各个误差分量的量纲与总误差量的量纲都一致,或者说各个误差分量已经折算为影响函数误差相同量纲的分量差分量已经折算为影响函数误差相同量纲的分量 本讲稿第十八页,共五十五页二、极限误差合成二、极限误差合成 单项极限误差单项极限误差:单项随机误差的标准差单项随机误差的标准差 单项极限误差的置信系数单项极限误差的置信系数 合成极限误
15、差合成极限误差:合成标准差合成标准差 合成极限误差的置信系数合成极限误差的置信系数 合成极限误差计算公式合成极限误差计算公式本讲稿第十九页,共五十五页根据已知的各单项极限误差和所选取的各个置信系数,即可进行极限误差的合成 各个置信系数 、不仅与置信概率有关,而且与随机误差的分布有关 对于相同分布的误差,选定相同的置信概率,其相应的各个置信系数相同 对于不同分布的误差,选定相同的置信概率,其相应的各个置信系数也不相同 ij 为第i个和第j个误差项之间的相关系数,可根据前一节的方法确定。应用极限误差合成公式时,应注意:应用极限误差合成公式时,应注意:本讲稿第二十页,共五十五页 当各个单项随机误差均
16、服从正态分布时,各单项误差的数目q较多、各项误差大小相近和独立时,此时合成的总误差接近于正态分布合成极限误差:合成极限误差:若和各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布,而各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布,而且他们之间常是线性无关或近似线性无关,是较为广泛且他们之间常是线性无关或近似线性无关,是较为广泛使用的极限误差合成公式使用的极限误差合成公式 时:此时本讲稿第二十一页,共五十五页第三节系统误差合成一、已定系统误差的合成一、已定系统误差的合成系统误差的分类:系统误差的分类:1)已定系统误差2)未定系统误差定义定义:误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差表示符号:表示符号:合成
17、方法合成方法:按照代数和法进行合成按照代数和法进行合成i 为第i个系统误差,ai为其传递系数系统误差可以在测量过程中消除,也可在合成后在测量结果中消除本讲稿第二十二页,共五十五页二、未定系统误差的合成二、未定系统误差的合成二、未定系统误差的合成二、未定系统误差的合成(一)(一)未定系统误差的特征及其评定未定系统误差的特征及其评定定义定义:误差大小和方向未能确切掌握,或者不须花费过多精力去掌握,而只能或者只需估计出其不致超过某一范围 e 的系统误差特征特征:1)在测量条件不变时为一恒定值,多次重复测量时其值固定不变,因而单项系统误差在重复测量中不具有抵偿性2)随机性。当测量条件改变时,未定系统误
18、差的取值在某极限范围内具有随机性,且服从一定的概率分布,具有随机误差的特性。表示符号:表示符号:极限误差:极限误差:e 标准差:标准差:u本讲稿第二十三页,共五十五页1、标准差合成、标准差合成(二)(二)未定系统误差的合成未定系统误差的合成 未定系统误差的取值具有一定的随机性,服从一定的概率未定系统误差的取值具有一定的随机性,服从一定的概率分布,因而若干项未定系统误差综合作用时,他们之间就具有分布,因而若干项未定系统误差综合作用时,他们之间就具有一定的抵偿作用。这种抵偿作用与随机误差的抵偿作用相似,一定的抵偿作用。这种抵偿作用与随机误差的抵偿作用相似,因而未定系统误差的合成,完全可以采用随机误
19、差的合成公式,因而未定系统误差的合成,完全可以采用随机误差的合成公式,这就给测量结果的处理带来很大方便。这就给测量结果的处理带来很大方便。同随机误差的合成时,未定系统误差合成时即可以按照标准同随机误差的合成时,未定系统误差合成时即可以按照标准差合成,也可以按照极限误差的形式合成。差合成,也可以按照极限误差的形式合成。若测量过程中有 s 个单项未定系统误差,它们的标准差分别为 u1,u2,us,其相应的误差传递系数为a1,a2,as,则合成后未定系统误差的总标准差 u 为:本讲稿第二十四页,共五十五页则由各单项未定系统误差标准差得到的合成未定系统误差极限误差为:式中,ij 为第 i 个和第 j
20、个误差项的相关系数当 ij=0 时2、极限误差的合成、极限误差的合成 因为各个单项未定系统误差的极限误差为:若总的未定系统误差极限误差表示为:则有:本讲稿第二十五页,共五十五页或者,由各单项未定系统误差极限误差得到的合成未定系统误或者,由各单项未定系统误差极限误差得到的合成未定系统误差极限误差为:差极限误差为:当各个单项未定系统误差均服从正态分布,且相互间独立无关,当各个单项未定系统误差均服从正态分布,且相互间独立无关,即即 ,则上式可简化为:,则上式可简化为:本讲稿第二十六页,共五十五页第四节系统误差与随机误差的合成第四节系统误差与随机误差的合成一、按极限误差合成一、按极限误差合成 误差的合
21、成可按照两种形式合成:按极限误差的误差形式合成、按标误差的合成可按照两种形式合成:按极限误差的误差形式合成、按标准差形式合成。准差形式合成。测量过程中,假定有测量过程中,假定有 r r 个单项已定系统误差,个单项已定系统误差,s s 个单项未定系统误个单项未定系统误差,差,q q 个单项随机误差。它们的误差值或极限误差分别为:个单项随机误差。它们的误差值或极限误差分别为:1、单次测量情况、单次测量情况 若各个误差的传递系数取各个误差的传递系数取 1 1,则测量结果总的极限误差为:,则测量结果总的极限误差为:式中,式中,R R 为各个误差之间的协方差之和。为各个误差之间的协方差之和。本讲稿第二十
22、七页,共五十五页 当各个误差均服从正态分布,且各个误差间互不相关时,测量结果当各个误差均服从正态分布,且各个误差间互不相关时,测量结果总的极限误差可简化为:总的极限误差可简化为:一般情况下,已定系统误差经修正后,测量结果总的极限误差就是总的未一般情况下,已定系统误差经修正后,测量结果总的极限误差就是总的未定系统误差与总的随机误差的均方根值,即:定系统误差与总的随机误差的均方根值,即:2、n 次重复测量情况次重复测量情况 当每项误差都进行当每项误差都进行 n n 次重复测量时,由于随机误差间具有抵偿性、系次重复测量时,由于随机误差间具有抵偿性、系统误差(包括未定系统误差)不存在抵偿性,总误差合成
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