第五章 大数定律和中心极限定理PPT讲稿.ppt

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1、第五章 大数定律和中心极限定理第1页，共28页，编辑于2022年，星期三1 1 设每次试验中某事件设每次试验中某事件发生的概率为发生的概率为0.80.8，请用切比雪夫不等式估计：，请用切比雪夫不等式估计：需要多大，才能使得在需要多大，才能使得在次重复独立试验次重复独立试验发生的频率在发生的频率在0.790.790.810.81之间的之间的中事件中事件概率至少为概率至少为0.950.95？第2页，共28页，编辑于2022年，星期三 1 1 解解 设设表示表示次重复独立试验中事件次重复独立试验中事件出现的次数，则出现的次数，则出现的频率为出现的频率为则则第3页，共28页，编辑于2022年，星期三由

2、题意得由题意得 可见做可见做3200032000次重复独立试验中次重复独立试验中发生的频率在发生的频率在0.790.790.810.81之间的概率之间的概率至少为至少为0.95.0.95.可使事件可使事件续续第4页，共28页，编辑于2022年，星期三2 设设为相互独立的随机变量序列，且为相互独立的随机变量序列，且试证试证服从大数定律服从大数定律第5页，共28页，编辑于2022年，星期三2 证明：随机变量的数字特征为证明：随机变量的数字特征为，第6页，共28页，编辑于2022年，星期三对于任意给定的正数对于任意给定的正数，由切比雪夫不等式知，由切比雪夫不等式知所以所以服从大数定律服从大数定律续续

3、第7页，共28页，编辑于2022年，星期三3 设设是独立同分布的随机变量序列，是独立同分布的随机变量序列，都服从都服从U(a，b)（a00），任给），任给n，第8页，共28页，编辑于2022年，星期三3 证证明：任给明：任给，且，且则当则当axb时，有时，有当当时，有时，有当当时，有时，有第9页，共28页，编辑于2022年，星期三任给任给，有，有若若，则，则故故若若续续第10页，共28页，编辑于2022年，星期三所以任给所以任给，有，有，续续第11页，共28页，编辑于2022年，星期三4 4 某灯泡厂生产的灯泡的平均寿命为某灯泡厂生产的灯泡的平均寿命为2000h2000h，标准差为标准差为25

4、0h250h现采用新工艺使平均寿命提高现采用新工艺使平均寿命提高到到2250h2250h，标准差不变为确认这一改革成果，标准差不变为确认这一改革成果，从使用新工艺生产的这批灯泡中抽取若干只来从使用新工艺生产的这批灯泡中抽取若干只来检查若检查出的灯泡的平均寿命为检查若检查出的灯泡的平均寿命为2200h2200h，就承认改革有效并批准采用新工艺试问要就承认改革有效并批准采用新工艺试问要使检查通过的概率不小于使检查通过的概率不小于0.9970.997，应至少检查，应至少检查多少只灯泡？多少只灯泡？第12页，共28页，编辑于2022年，星期三4 解解 记记则则 记记 检查灯泡的总寿命检查灯泡的总寿命，

5、则，则，第13页，共28页，编辑于2022年，星期三则通过检查的概率为：则通过检查的概率为：即即 因此，要使检查通过的概率不小于因此，要使检查通过的概率不小于0.9970.997，应至少检查应至少检查190190只灯泡只灯泡续续第14页，共28页，编辑于2022年，星期三5 5 计算机在进行数值计算时，遵从四舍五入的原则计算机在进行数值计算时，遵从四舍五入的原则为简单计，现对小数点后面第一位进四舍五入运为简单计，现对小数点后面第一位进四舍五入运算，则误差可以认为服从均匀分布算，则误差可以认为服从均匀分布U-0.5U-0.5，0.0.若在一项计算中进行了若在一项计算中进行了100100次数值计算

6、求平均次数值计算求平均误差落在区间误差落在区间上的概率上的概率第15页，共28页，编辑于2022年，星期三记记则则 记记S=100=100次计算产生的误差次计算产生的误差 则则 根据中心极限定理得：根据中心极限定理得：S=5 5 解解第16页，共28页，编辑于2022年，星期三6 6 设设每箱装每箱装1000+1000+a个产品，次品率为个产品，次品率为0.0140.014，次品数次品数X为一随机变量试求最小整数为一随机变量试求最小整数a，使，使第17页，共28页，编辑于2022年，星期三6 6 解解 随机变量随机变量X X服从二项分布服从二项分布B(1000+(1000+a，0.014)0.

7、014)，由棣莫弗由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理有拉普拉斯中心极限定理有第18页，共28页，编辑于2022年，星期三查表得查表得所以所以可得可得续续第19页，共28页，编辑于2022年，星期三 7 7 某大型商场每天接待顾客某大型商场每天接待顾客1000010000人，人，设每位顾客的消费额（元）在设每位顾客的消费额（元）在100100，10001000上服从均匀分布，且顾客的消费额是相互独上服从均匀分布，且顾客的消费额是相互独立的，求该商场的销售额在平均销售额上下波动立的，求该商场的销售额在平均销售额上下波动不超过不超过2000020000元的概率元的概率第20页，共28页，编辑于2022年，

8、星期三7 7 解解 设第设第k位顾客的消费额为位顾客的消费额为商场日销售额为商场日销售额为X X，则，则因为因为在在上服从均匀分布，所以上服从均匀分布，所以第21页，共28页，编辑于2022年，星期三日平均销售额和销售额方差分别为：日平均销售额和销售额方差分别为：续续第22页，共28页，编辑于2022年，星期三续续第23页，共28页，编辑于2022年，星期三8 8 在一次空战中，双方分别出动在一次空战中，双方分别出动5050架轰炸机和架轰炸机和100100架歼敌机每架轰炸机受歼敌机攻击，这样架歼敌机每架轰炸机受歼敌机攻击，这样空战分离为空战分离为5050个一对二的小单元进行在每个小个一对二的小

9、单元进行在每个小单元内，轰炸机被打下的概率为单元内，轰炸机被打下的概率为0.40.4，两架歼敌，两架歼敌机同时被打下的概率为机同时被打下的概率为0.20.2，恰有一架歼敌机被，恰有一架歼敌机被打下的概率为打下的概率为0.50.5试求：试求：（1 1）空战中，有不少于）空战中，有不少于35%35%的轰炸机被打下的概率；的轰炸机被打下的概率；（2 2）歼敌机以）歼敌机以90%90%的概率被打下的最大架数的概率被打下的最大架数第24页，共28页，编辑于2022年，星期三8 解解 设设分别表示在第分别表示在第i i个小单元内，个小单元内，其分布规律分别为：其分布规律分别为：，数学期望和方差分别为：数学期望和方差分别为：轰炸机和歼击机被打下的架数轰炸机和歼击机被打下的架数第25页，共28页，编辑于2022年，星期三续续第26页，共28页，编辑于2022年，星期三续续由列维定理知由列维定理知(1)(1)事件事件“空战中，有不少于空战中，有不少于35%35%的轰炸机被打下的轰炸机被打下”即即则则第27页，共28页，编辑于2022年，星期三续续（2 2）记）记M M为歼击机被打下来的最大架数，则得为歼击机被打下来的最大架数，则得 因为因为为正整数，且为正整数，且 所以取所以取第28页，共28页，编辑于2022年，星期三